换元积分法与分部积分法

§3.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.67 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

9.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）不定积分的概念与性质求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁有理函数及三角有理式积分定积分的计算一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 凑微分（第一类换元）是链式法则的逆用，关键全在于认出 $g^{'} (x) d x = d g$ 这一形式★★ 必会

凑微分之所以成立，是因为它就是链式法则的逆向运用。这里的要领不在于记忆，而在于从被积表达式中认出某个函数的微分：看到

2 x d x

想到

d (x^{2})

，看到

\frac{d x}{x}

想到

d (ln x)

，看到

\frac{d x}{c o s ^{2} x}

想到

d (tan x)

……如果常数因子凑不齐，补上相应的常数即可。微分公式表熟练以后，大部分基础积分都可以直接凑出来。

证明 / 推导

第一类换元定理及其证明。 设

\int f (u) d u = F (u) + C

，即

F^{'} = f

。下面证明

\int f (φ (x)) φ^{'} (x) d x = F (φ (x)) + C

。为此只需对右端求导。由链式法则得

\frac{d}{d x} F (φ (x)) = F^{'} (φ (x)) \cdot φ^{'} (x) = f (φ (x)) φ^{'} (x),

它恰好等于被积函数，因此等式成立。由此可见，凑微分就是把链式法则反过来使用。

■

举例说明

求

\int tan x d x

。改写成

\frac{sin x}{cos x}

，注意

- sin x d x = d (cos x)

，于是

\int tan x d x = \int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int \frac{d ( cos x )}{cos x} = - ln ∣ cos x ∣ + C .

与此相类似，

\int cot x d x = ln ∣ sin x ∣ + C

。这两个结果是凑微分的标准结论，应当熟记。

2. 第二类换元中的三角代换：三种根式各有相应的代换，关键在于限定 $t$ 的范围★★ 必会

第二类换元最常用于去掉根号，三种根式分别对应三种代换：

a^{2} - x^{2}

用

x = a sin t

、

a^{2} + x^{2}

用

x = a tan t

、

x^{2} - a^{2}

用

x = a sec t

。最容易出错的地方不是代换本身，而是忘记限定 $t$ 的范围。范围一经确定（通常取

t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

等），既能保证

x = ψ (t)

单调可逆，又能保证根式开方后取正号（例如

a^{2} - x^{2} = a cos t

就要求

cos t > 0

）。求出结果以后，还必须回代原变量 $x$ 。

证明 / 推导

以

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}}

（

a > 0

）为例，令

x = a tan t, t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

。在这一范围内

sec t > 0

，故

x^{2} + a^{2} = a tan^{2} t + 1 = a sec t

；又

d x = a sec^{2} t d t

。代入原积分，得

\int \frac{a sec ^{2} t}{a sec t} d t = \int sec t d t = ln ∣ sec t + tan t ∣ + C .

回代

tan t = \frac{x}{a}, sec t = \frac{x ^{2} + a ^{2}}{a}

，并把常数

- ln a

并入

C

，得

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = ln (x + x^{2} + a^{2}) + C .

这是一条常用补充公式，值得注意。

■

举例说明

求

\int 1 - x^{2} d x

。令

x = sin t, t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

，则

1 - x^{2} = cos t (\geq 0)

，

d x = cos t d t

，于是

\int cos^{2} t d t = \int \frac{1 + cos 2 t}{2} d t = \frac{t}{2} + \frac{sin 2 t}{4} = \frac{t}{2} + \frac{sin t cos t}{2} .

回代

t = arcsin x, sin t = x, cos t = 1 - x^{2}

，得

\int 1 - x^{2} d x = \frac{1}{2} arcsin x + \frac{1}{2} x 1 - x^{2} + C .

3. 分部积分选 $u$ 时的反对幂三指次序：其目的是使 $\int v d u$ 比原积分更容易计算★★ 必会

分部积分公式

\int u d v = uv - \int v d u

把计算

\int u d v

化为计算

\int v d u

，只有当后者比前者简单时，这样做才有意义。反、对、幂、三、指（反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数）这一次序给出了选取

u

的先后顺序：排在越前面的，越优先取作

u

。其道理在于，排在前面的函数求导以后形式更简单（例如

arctan x, ln x

求导后成为有理式，幂函数求导后次数降低），因此把它放进

d u

；排在后面的函数则容易求出原函数（例如

e^{x}, sin x

都容易积分），因此把它连同

d x

放进

d v

。这样

\int v d u

才会比原积分容易计算。

举例说明

求

\int arctan x d x

（被积函数只有反三角函数，没有可与之配对的因子）。按上述次序，反三角函数优先取作

u

：

u = arctan x, d v = d x, v = x

，

d u = \frac{d x}{1 + x ^{2}}

，于是

\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C .

剩下的

\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x

确实比原积分简单，用凑微分即可求出。这说明按上述次序选取

u

是有效的。

4. 分部积分的两种进一步用法：循环后解方程与建立递推公式降次★ 要懂

分部积分并不限于一次求出结果，还有两类常见的用法：
（一）循环型：

\int e^{a x} cos b x d x

、

\int e^{a x} sin b x d x

，两次分部后原积分重新出现，记原积分为

I

，得到

I = (\dots) \pm I

型的方程，移项即可解出

I

。
（二）递推型：

\int x^{n} e^{x} d x

、

\int sin^{n} x d x

等，每作一次分部积分，就把幂次

n

降到

n - 1

，由此建立递推公式，逐步递推下去。这两类用法都说明，分部积分能把复杂的积分转化为较简单的积分。

证明 / 推导

循环型的一般结论（应当熟记）：

\int e^{a x} cos b x d x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C,

\int e^{a x} sin b x d x = \frac{e ^{a x} ( a sin b x - b cos b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C .

以第一式为例，记

I = \int e^{a x} cos b x d x, J = \int e^{a x} sin b x d x

。作两次分部积分（每次都取

e^{a x}

作

u

）得

I J = \frac{e ^{a x} sin b x}{b} - \frac{a}{b} J = - \frac{e ^{a x} cos b x}{b} + \frac{a}{b} I .

把

J

代入

I

的表达式，再解这个关于

I

的一次方程，即得上式。

■

举例说明

递推型的例子：求

\int x^{2} e^{x} d x

。取

u = x^{2}, d v = e^{x} d x

，得

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x .

对

\int x e^{x} d x

再作一次分部积分，得

(x - 1) e^{x}

，代回原式，得

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 (x - 1) e^{x} + C = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C .

每作一次分部积分，幂次就降低

1

，

n

次以后即化为

\int e^{x} d x

。

💡 小知识

分部积分有句口诀叫反对幂三指，指的是反三角、对数、幂、三角、指数，排在前面的优先取作

u

。这个次序并非随意：越靠前的函数求导之后越简单，越靠后的越容易求出原函数，这样换出来的

\int v d u

才会比原来好算。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用凑微分法求

\int 2 x 1 + x^{2} d x

。难度 1

观察到

2 x d x

恰好是

1 + x^{2}

的微分：

d (1 + x^{2}) = 2 x d x

。于是把

1 + x^{2}

整体看作新变量：

\int 2 x 1 + x^{2} d x = \int 1 + x^{2} d (1 + x^{2}) .

套幂函数公式

\int u^{1/2} d u = \frac{2}{3} u^{3/2}

（这里

u = 1 + x^{2}

）：

= \frac{2}{3} (1 + x^{2})^{3/2} + C .

方法总结：凑微分的关键是认出「被积式里藏着某个函数的微分」。看到

2 x d x

就想到

d (1 + x^{2})

。

例 2 求

\int \frac{ln x}{x} d x

。难度 1

这里

\frac{d x}{x}

正是

ln x

的微分：

d (ln x) = \frac{d x}{x}

。把

ln x

当新变量：

\int \frac{ln x}{x} d x = \int ln x d (ln x) = \frac{1}{2} ln^{2} x + C .

方法总结：出现

\frac{1}{x}

、

\frac{1}{x}

、

e^{x}

、

cos x

等「和某函数微分成比例」的因子时，先凑微分。求导检验：

(\frac{1}{2} ln^{2} x)^{'} = ln x \cdot \frac{1}{x}

，正确。

例 3 用分部积分法求

\int x e^{x} d x

。难度 2

被积函数是「幂

\times

指数」，按口诀「反对幂三指」取幂函数作

u

：设

u = x

、

d v = e^{x} d x

，则

d u = d x

、

v = e^{x}

。代入分部公式

\int u d v = uv - \int v d u

：

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C .

方法总结：选

u

要让

d u

更简单——

x

求导变常数，正好把积分「降一档」。求导检验：

((x - 1) e^{x})^{'} = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}

。

例 4 求

\int e^{x} cos x d x

。难度 2

这是「指数

\times

三角」型，连用两次分部会「转回原积分」，用解方程的办法。记

I = \int e^{x} cos x d x

。
第一次分部（取

u = e^{x}

、

d v = cos x d x

、

v = sin x

）：

I = e^{x} sin x - \int e^{x} sin x d x .

第二次对

\int e^{x} sin x d x

分部（

u = e^{x}

、

d v = sin x d x

、

v = - cos x

）：

\int e^{x} sin x d x = - e^{x} cos x + \int e^{x} cos x d x = - e^{x} cos x + I .

代回：

I = e^{x} sin x - (- e^{x} cos x + I) = e^{x} (sin x + cos x) - I

。移项解出

2 I = e^{x} (sin x + cos x) ⟹ I = \frac{1}{2} e^{x} (sin x + cos x) + C .

方法总结：「指数×三角」两次分部后原积分重现，令其为

I

解方程即可。别忘最后补

+ C

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

函数

f (x) = ln (2 + x)

在区间

[0, 2]

上的平均值为 ___。

2023 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 + x ^{2}}, (x + 1) cos x, x ⩽ 0, x > 0

的一个原函数为（　　）

A $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x), (x + 1) cos x - sin x, x ⩽ 0, x > 0$
B $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x) + 1, (x + 1) cos x - sin x, x ⩽ 0, x > 0$
C $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x), (x + 1) sin x + cos x, x ⩽ 0, x > 0$
D $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x) + 1, (x + 1) sin x + cos x, x ⩽ 0, x > 0$

2020 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

\int_{0}^{1} \frac{arcsin x}{x ( 1 - x )} d x =

（　　）

A $\frac{π ^{2}}{4}$
B $\frac{π ^{2}}{8}$
C $\frac{π}{4}$
D $\frac{π}{8}$

2019 年 · 数二 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int \frac{3 x + 6}{( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + x + 1 )} d x

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\int sin 3 x d x =

______

练习 2 · 选择题

\int x e^{x^{2}} d x =

（　　）

A $e^{x^{2}} + C$
B $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$
C $2 e^{x^{2}} + C$
D $\frac{x ^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

练习 3 · 填空题

\int ln x d x =

______

练习 4 · 选择题

\int \frac{d x}{4 - x ^{2}} =

（　　）

A $arcsin \frac{x}{2} + C$
B $arcsin x + C$
C $\frac{1}{2} arcsin \frac{x}{2} + C$
D $2 arcsin \frac{x}{2} + C$

练习 5 · 填空题

\int x cos x d x =

______

练习 6 · 选择题

\int \frac{( x ^{2} + x + 1 ) e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} d x =

（　　）

A $\frac{x e ^{x}}{x + 1} + C$
B $\frac{e ^{x}}{x + 1} + C$
C $\frac{x ^{2} e ^{x}}{x + 1} + C$
D $\frac{x e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} + C$

练习 7 · 填空题

\int_{0}^{l n 2} e^{x} - 1 d x =

______

练习 8 · 解答题

计算

\int_{0}^{1} \frac{arctan x}{( 1 + x ) ^{2}} d x

。

2018 年 · 数二 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int e^{2 x} arctan e^{x} - 1 d x

。

2009 年 · 数二 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

计算不定积分

\int ln (1 + \frac{1 + x}{x}) d x (x > 0)

。

换元积分法与分部积分法

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 凑微分（第一类换元）是链式法则的逆用，关键全在于认出 g′(x)dx=dg 这一形式★★ 必会

2. 第二类换元中的三角代换：三种根式各有相应的代换，关键在于限定 t 的范围★★ 必会

3. 分部积分选 u 时的反对幂三指次序：其目的是使 ∫vdu 比原积分更容易计算★★ 必会

4. 分部积分的两种进一步用法：循环后解方程与建立递推公式降次★ 要懂

基础例题

真题精选

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1. 凑微分（第一类换元）是链式法则的逆用，关键全在于认出 $g^{'} (x) d x = d g$ 这一形式★★ 必会

2. 第二类换元中的三角代换：三种根式各有相应的代换，关键在于限定 $t$ 的范围★★ 必会

3. 分部积分选 $u$ 时的反对幂三指次序：其目的是使 $\int v d u$ 比原积分更容易计算★★ 必会