一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

§6.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

5.63 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

7.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）不定积分的概念与性质换元积分法与分部积分法③ 掌握后可解锁可降阶的高阶微分方程高阶线性微分方程解的结构微分方程的几何与物理应用

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 一阶线性通解公式的两种推导：积分因子法与常数变易法★★ 必会

通解公式

y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)

不应当只是背下来，还应当会用两种方法把它推导出来，这样即使一时忘记，也能当场重新导出。积分因子法的想法是：设法把左端

y^{'} + P y

化为某个乘积

(μ y)^{'}

的导数，为此只需

μ^{'} = P μ

，取

μ = e^{\int P d x}

即可。常数变易法的想法是：先解对应的齐次方程，得

y = C e^{- \int P d x}

。非齐次方程与它相比，只是右端多了

Q

，因此设它的解仍取上面的形式，只是把其中的常数

C

随

x

而变化，以适应右端的

Q

。后一种方法贯穿本章，并可以直接推广到高阶线性方程，尤应掌握。

证明 / 推导

积分因子法. 取

μ = e^{\int P d x}

（不带

+ C

），则

μ^{'} = P μ

，于是

(μ y)^{'} = μ y^{'} + μ^{'} y = μ (y^{'} + P y) = μ Q .

两端积分，得

μ y = \int μ Q d x + C

，两端再除以

μ

，即得通解公式。

常数变易法. 齐次方程的解为

y = C e^{- \int P d x}

。令

C \to C (x)

，设

y = C (x) e^{- \int P d x}

，记

E = e^{- \int P d x}

（

E^{'} = - P E

），则

y^{'} + P y = C^{'} E + C E^{'} + P C E = C^{'} E - P C E + P C E = C^{'} E .

（含

C

的项恰好相消，这是因为

E

是齐次方程的解。）令

C^{'} E = Q

得

C^{'} = Q e^{\int P d x}

，积分得

C = \int Q e^{\int P d x} d x + C_{0}

，代回即得同一个通解公式。

■

举例说明

例. 用常数变易法解

y^{'} - y = x

。

齐次方程

y^{'} - y = 0 \Rightarrow y = C e^{x}

。令

y = C (x) e^{x}

，则

y^{'} = C^{'} e^{x} + C e^{x}

，代入原方程，得

y^{'} - y = C^{'} e^{x} = x ⟹ C^{'} = x e^{- x} ⟹ C = - (x + 1) e^{- x} + C_{0} .

故

y = [- (x + 1) e^{- x} + C_{0}] e^{x} = C_{0} e^{x} - x - 1

。验证

y^{'} - y = (C_{0} e^{x} - 1) - (C_{0} e^{x} - x - 1) = x

✓。上面含

C

的项相消，只剩下

C^{'} e^{x} = x

，这说明齐次解已经自动满足方程的齐次部分，而

C (x)

只用来处理非齐次项。

2. 齐次方程为什么令 u=y/x：右端在伸缩变换下不变，代入后一定可以分离变量★★ 必会

齐次方程

y^{'} = φ (y / x)

的右端只依赖于比值

y / x

，在伸缩变换

(x, y) \mapsto (t x, t y)

下保持不变，因此沿着过原点的任一射线，积分曲线的斜率处处相同。既然只有这个比值起作用，就把它取作新的未知函数

u = y / x

。结论：作这样的代换以后一定能化为可分离变量的方程，不会再出现两个变量相互纠缠的情形。正是因为如此，这一换元对一切齐次方程都有效。

证明 / 推导

令

u = \frac{y}{x}

，即

y = ux

，则

\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

。代入

y^{'} = φ (u)

，得

u + x \frac{d u}{d x} = φ (u) ⟹ x \frac{d u}{d x} = φ (u) - u .

右端只含

u

，左端的

x d u / d x

把

x

与

u

完全分开，因此总能分离变量：

\frac{d u}{φ ( u ) - u} = \frac{d x}{x} .

特别地，如果有

u_{0}

使

φ (u_{0}) - u_{0} = 0

，则

u \equiv u_{0}

（即直线

y = u_{0} x

）也是方程的解，它就是分离变量时被除去的常值解。

■

举例说明

例. 解

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^{2}

。

φ (u) = u + u^{2}

，令

u = y / x

：

u + x u^{'} = u + u^{2} \Rightarrow x u^{'} = u^{2}

。分离变量，得

\frac{d u}{u ^{2}} = \frac{d x}{x}

，积分得

- \frac{1}{u} = ln ∣ x ∣ + C

，即

u = - \frac{1}{ln ∣ x ∣ + C}

。再把

u = y / x

代回，得

y = - \frac{x}{ln ∣ x ∣ + C} .

此外，由

φ (u) - u = u^{2} = 0

得

u = 0

，即

y \equiv 0

，它也是一个解，这个解是在两端除以

u^{2}

时丢失的。

3. 分离变量为什么会丢解：原因在于解的存在唯一性★ 要懂

分离变量时要在两端除以

g (y)

。如果有

y_{0}

使

g (y_{0}) = 0

，那么常值函数

y \equiv y_{0}

就在这一步被除去了。补回常值解并不是一条机械的规则，它的依据是解的存在唯一性：对于初值问题

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

，若

f

与

f_{y}

在该点的某个邻域内连续，则过这一点的解唯一。反之，如果

f_{y}

在某处趋于无穷，唯一性失效，那里就可能出现不包含在通解族中的奇解。分离变量时丢失的

y \equiv y_{0}

往往就是这样的奇解，因此补回它并不是形式上的手续，而是补上了通解公式根本无法包含的解。

证明 / 推导

丢解之处也就是唯一性可能失效之处. 分离变量要在两端除以

g (y)

，因此丢解只可能发生在

g (y_{0}) = 0

处。当

f = f (x) g (y)

时

f_{y} = f (x) g^{'} (y)

。如果在

y_{0}

附近

g

光滑，

f_{y}

有界，那么唯一性成立，过该点的解唯一，它已经包含在通解族中，不会另有奇解。真正产生独立奇解的情形，是

g

在

y_{0}

处不光滑，

f_{y}

无界之处。所以，检查是否遗漏常值解

=

检查唯一性可能失效的点。

■

举例说明

例. 解

\frac{d y}{d x} = 2 y (y \geq 0)

，并说明其中丢失的解。

分离变量（设

y > 0

）：

\frac{d y}{2 y} = d x \Rightarrow y = x + C \Rightarrow y = (x + C)^{2} (x \geq - C)

。

丢失的解：

g (y) = 2 y

在

y = 0

处为零，而

y \equiv 0

也满足方程（

0 = 20

），却不包含在

(x + C)^{2}

之中，它是一个奇解。

从唯一性来看：

f_{y} = 1/ y \to \infty (y \to 0^{+})

，唯一性在

y = 0

处失效，因此过点

(x_{0}, 0)

既有

y \equiv 0

，又有

y = (x - x_{0})^{2}

，两个解同时存在。这就是必须单独补回

y \equiv 0

的根本原因。

4. 当对 y 而言三种类型都不适用时，把 x 看作 y 的函数★★ 必会

解一阶方程时，如果把

y

看作未知函数，则可分离变量、齐次、（关于

y

的）一阶线性这三种类型都不适用，此时不必放弃，可以把方程取倒数，改把

x

看成

y

的函数

\frac{d x}{d y}

。判断的方法是：方程中如果

x

只以一次的形式出现（而

y

的表达式却很复杂），那么取倒数以后往往就化为关于

x (y)

的一阶线性方程。这是一阶方程中很常见的一种情形，也是相应的处理办法。

证明 / 推导

由反函数求导法则，当

\frac{d y}{d x} \neq = 0

时有

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x}

。如果原方程可以写成

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{a ( y ) x + b ( y )}

（右端分母对

x

是一次式），那么取倒数即得

\frac{d x}{d y} = a (y) x + b (y) ⟹ \frac{d x}{d y} - a (y) x = b (y),

这就是以

x

为未知函数，以

y

为自变量的一阶线性方程，可以直接用通解公式求解。

■

举例说明

例. 解

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e ^{y} - x}

。

若把

y

看作未知函数，则右端既不可分离变量，也不是齐次的，更不是线性的。取倒数，得

\frac{d x}{d y} = e^{y} - x

，即

\frac{d x}{d y} + x = e^{y}

。这是关于

x (y)

的一阶线性方程，其中

P (y) = 1, Q (y) = e^{y}

。取积分因子

μ = e^{y}

，

(e^{y} x)^{'} = e^{y} \cdot e^{y} = e^{2 y}

，积分得

e^{y} x = \frac{1}{2} e^{2 y} + C

，故

x = \frac{1}{2} e^{y} + C e^{- y} .

验证

\frac{d x}{d y} + x = (\frac{1}{2} e^{y} - C e^{- y}) + (\frac{1}{2} e^{y} + C e^{- y}) = e^{y}

✓。

5. 由方程的两个解求通解：一阶线性方程解的结构

一阶线性方程的解也具有下述结构：通解

=

齐次通解

+

一个特解。由此可得一条常用的结论：如果

y_{1}, y_{2}

是同一一阶线性方程

y^{'} + P y = Q

的两个解，那么它们的差

y_{1} - y_{2}

是齐次方程

y^{'} + P y = 0

的解，即

y_{1} - y_{2} = C e^{- \int P d x}

。于是通解可写成

y = y_{1} + C (y_{1} - y_{2})

，只要给出两个特解，就能直接写出通解，不必再解方程。高阶线性方程由若干个特解求通解，所用的也是同样的方法。

证明 / 推导

设

y_{1}^{'} + P y_{1} = Q, y_{2}^{'} + P y_{2} = Q

，两式相减，得

(y_{1} - y_{2})^{'} + P (y_{1} - y_{2}) = 0,

于是

w = y_{1} - y_{2}

满足齐次方程，从而

w = C e^{- \int P d x}

。又

y_{1}

是一个特解，由解的结构定理，通解为

y = y_{1} + \tilde{C} e^{- \int P d x} = y_{1} + \tilde{C} (y_{1} - y_{2}) (把 C 并入 \tilde{C}) .

■

举例说明

例. 已知

y_{1} = x

与

y_{2} = x + e^{- x}

是同一个一阶线性方程的两个解，求它的通解。

作差求出齐次解：

y_{1} - y_{2} = - e^{- x}

，故齐次通解为

C e^{- x}

。取

y_{1} = x

为特解，于是通解为

y = x + C e^{- x} .

（还可以反过来求出原方程：由齐次解

e^{- x}

知齐次方程为

y^{'} + y = 0

，而

y_{1} = x

代入原方程得

Q = y_{1}^{'} + y_{1} = 1 + x

，所以原方程为

y^{'} + y = x + 1

。容易验证

y = x + C e^{- x}

确为其通解。）

💡 小知识

积分因子

e^{\int P d x}

是一阶线性方程的通用解法：乘上它以后，

y^{'} + P y

这个看似拆不开的组合，就被拼成了一个乘积的导数

(e^{\int P d x} y)^{'}

。乘上一个因子、把零散的项凑成整体，这个思路后来在热力学里再次出现：并非全微分的热量 δQ 乘上 1/T 就变成了全微分 dS，也就是熵。同一个办法，在两个领域各开了一道门。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求微分方程

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y

的通解。难度 1

右端是

x

的函数乘

y

的函数，属可分离变量方程。把含

y

与含

x

的部分分家：

\frac{d y}{y} = 3 x^{2} d x .

两边积分

\int \frac{d y}{y} = \int 3 x^{2} d x

，得

ln ∣ y ∣ = x^{3} + C_{1}

。于是

∣ y ∣ = e^{C_{1}} e^{x^{3}}

，记

C = \pm e^{C_{1}}

，通解

y = C e^{x^{3}} .

分离时除以了

y

，而由

g (y) = y = 0

得的常值解

y = 0

恰好含于

C = 0

的情形，无需另补。验证：

y^{'} = 3 x^{2} \cdot C e^{x^{3}} = 3 x^{2} y

，成立。

例 2 求微分方程

y^{'} - \frac{y}{x} = x (x > 0)

的通解。难度 1

方程已是标准形

y^{'} + P (x) y = Q (x)

，其中

P (x) = - \frac{1}{x}, Q (x) = x

。先算积分因子

μ = e^{\int P d x} = e^{- \int \frac{1}{x} d x} = e^{- l n x} = \frac{1}{x} .

乘以

μ

后左边凑成乘积的导数：

(\frac{y}{x})^{'} = μ Q = \frac{1}{x} \cdot x = 1

。两边积分

\frac{y}{x} = x + C ⟹ y = x^{2} + C x .

验证：

y^{'} = 2 x + C

，

y^{'} - \frac{y}{x} = 2 x + C - \frac{x ^{2} + C x}{x} = 2 x + C - x - C = x

。

例 3 求齐次方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + tan \frac{y}{x} (x > 0)

的通解。难度 2

右端只依赖比值

\frac{y}{x}

，是齐次方程。令

u = \frac{y}{x}

，则

y = ux

，

\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

，代入：

u + x \frac{d u}{d x} = u + tan u ⟹ x \frac{d u}{d x} = tan u .

已化为可分离变量。分离并积分（

tan u \neq = 0

）：

\frac{cos u}{sin u} d u = \frac{d x}{x} ⟹ ln ∣ sin u ∣ = ln ∣ x ∣ + C_{1} .

即

sin u = C x

。回代

u = \frac{y}{x}

，得通解

sin \frac{y}{x} = C x .

（另有由

tan u = 0

得的解

y = k π x

，含于

C = 0

。）

例 4 求微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y ^{2}}

的通解。难度 2

若把

y

看成

x

的函数，右端既非可分离、又非齐次、也不是（关于

y

的）线性——三类都套不上。反客为主：把

x

看成

y

的函数，对方程取倒数：

\frac{d x}{d y} = x + y^{2} ⟹ \frac{d x}{d y} - x = y^{2} .

这是关于未知函数

x (y)

的一阶线性方程，

P (y) = - 1, Q (y) = y^{2}

。积分因子

μ = e^{\int (- 1) d y} = e^{- y}

，故

(e^{- y} x)^{'} = y^{2} e^{- y} .

右边分部积分两次：

\int y^{2} e^{- y} d y = - (y^{2} + 2 y + 2) e^{- y} + C

。于是

e^{- y} x = - (y^{2} + 2 y + 2) e^{- y} + C ⟹ x = C e^{y} - (y^{2} + 2 y + 2) .

点评：对

y

三类都不像时，试着取倒数、把

x

当作

y

的函数，常能起死回生。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

求微分方程

x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} - (y^{'})^{2} = 0

（

x > 2

）满足条件

y ∣_{x = 3} = \frac{1}{2}

，

y^{'} ∣_{x = 3} = - 9

的解。

2025 年 · 数二 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

微分方程

(2 y - 3 x) d x + (2 x - 5 y) d y = 0

满足条件

y (1) = 1

的解为 ___。

2024 年 · 数二 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

微分方程

y^{'} = \frac{1}{( x + y ) ^{2}}

满足条件

y (1) = 0

的解为 ___。

2023 年 · 数二 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设曲线

L : y = y (x) (x > e)

经过点

(e^{2}, 0)

，

L

上任一点

P (x, y)

到

y

轴的距离等于该点处的切线在

y

轴上的截距。
（Ⅰ）求

y (x)

；
（Ⅱ）在

L

上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

微分方程

y y^{'} = x

的通解是（　）。

A $y^{2} - x^{2} = C$
B $x^{2} + y^{2} = C$
C $y = C x$
D $y = C x^{2}$

练习 2 · 填空题

设

y = y (x)

满足

y^{'} + y = e^{- x}

且

y (0) = 0

，则

y =

____。

练习 3 · 填空题

求微分方程

\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{y}{x} (x > 0)

满足

y (1) = 0

的特解

y =

____。

练习 4 · 选择题

微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 2 y}

关于

y

不属于可分离、齐次、一阶线性中任何一类。若把

x

看作

y

的函数，它可化为（　）。

A $\frac{d x}{d y} - x = 2 y$
B $\frac{d x}{d y} + x = 2 y$
C $\frac{d x}{d y} - 2 x = y$
D $\frac{d x}{d y} = 2 x y$

练习 5 · 选择题

设

y = y (x)

是初值问题

2 x y y^{'} = x^{2} + y^{2} (x > 0, y > 0)

，

y (1) = 2

的解，则

y (2) =

（　）。

A $4$
B $6$
C $22$
D $10$

练习 6 · 填空题

设可导函数

y = y (x)

满足

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} [2 t y (t) + t] d t

，则

y (x) =

____。

练习 7 · 解答题

设曲线

y = y (x)

位于第一象限，过点

(1, 1)

，且曲线上任一点

P (x, y)

处的切线在

y

轴上的截距恰等于该点横坐标的平方

x^{2}

。

(1) 求曲线

y = y (x)

的方程；

(2) 求该曲线与

x

轴所围成的平面图形的面积

S

；

(3) 求该平面图形绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积

V

。

2022 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设函数

y (x)

是微分方程

2 x y^{'} - 4 y = 2 ln x - 1

满足条件

y (1) = \frac{1}{4}

的解，求曲线

y = y (x)

(1 \leq x \leq e)

的弧长。

2021 年 · 数二 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设函数

y = y (x)

（

x > 0

）满足微分方程

x y^{'} - 6 y = - 6

，且满足

y (3) = 10

。
（I）求

y (x)

；
（II）

P

为曲线

y = y (x)

上的一点，曲线

y = y (x)

在点

P

的法线在

y

轴上截距为

I_{P}

，为使

I_{P}

最小，求

P

的坐标。