高阶线性微分方程解的结构

§6.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.47 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

2.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁常系数齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 解空间的维数为什么恰好等于阶数 n：与初值向量之间的线性同构★ 要懂

n

阶齐次线性方程的通解含

n

个独立常数，这个个数为什么恰好是

n

，既不多也不少？根据在于初值问题的存在唯一性：

n

阶方程的解，只要给定

x_{0}

处的

n

个初值

y (x_{0}), y^{'} (x_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (x_{0})

，就被唯一确定；反过来，任给一组

n

个初值，总存在解与之对应。于是解与

n

维初值向量一一对应，解空间的维数自然就是

n

。这样，维数

=

阶数就由一句断言变成了可以证明的结论，同时也说明了任意

n

个线性无关的解都构成基础解系。

证明 / 推导

设系数在区间

I

上连续，

x_{0} \in I

，并以

V

记

L [y] = 0

的全体解所成的集合。定义

Φ : V \to R^{n}, Φ (y) = (y (x_{0}), y^{'} (x_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (x_{0})) .

线性：求值与求导都是线性运算，故

Φ (c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}) = c_{1} Φ (y_{1}) + c_{2} Φ (y_{2})

。
单射：若

Φ (y) = 0

，即

y

与零解有相同的初值，则由唯一性

y \equiv 0

，从而

ker Φ = {0}

。
满射：任给

c \in R^{n}

，由存在性知有解

y

使

Φ (y) = c

。
因此

Φ

是线性同构，

dim V = n

。

■

2. 朗斯基行列式在一点不为零就处处不为零，以及刘维尔公式的推导

判断两个解

y_{1}, y_{2}

是否线性无关，最便于使用的是朗斯基行列式

W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}

。它有一个重要性质：对同一个齐次线性方程的解，

W (x)

或者恒等于零，或者处处不为零。由此可见，只需在某一点

x_{0}

计算

W (x_{0})

：如果它不为零，那么这两个解线性无关，构成基础解系；如果它等于零，那么这两个解线性相关。下面的刘维尔（Liouville）公式就是这一性质的来源。

证明 / 推导

设

y_{1}, y_{2}

是

y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = 0

的解，

W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}

。对它求导，得

W^{'} = y_{1}^{'} y_{2}^{'} + y_{1} y_{2}^{''} - y_{2}^{'} y_{1}^{'} - y_{2} y_{1}^{''} = y_{1} y_{2}^{''} - y_{2} y_{1}^{''} .

再代入

y_{i}^{''} = - a_{1} y_{i}^{'} - a_{0} y_{i}

，得

W^{'} = y_{1} (- a_{1} y_{2}^{'} - a_{0} y_{2}) - y_{2} (- a_{1} y_{1}^{'} - a_{0} y_{1}) = - a_{1} (y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}) = - a_{1} W .

因此

W (x) = W (x_{0}) e^{- \int_{x_{0}}^{x} a_{1} (t) d t}

。指数因子恒为正，所以

W (x)

与

W (x_{0})

同号，或者同时为零：

W (x_{0}) = 0 \Rightarrow W \equiv 0

，二者线性相关；

W (x_{0}) \neq = 0 \Rightarrow W

处处不为零，二者线性无关。

■

3. 由若干个非齐次特解反求通解，这是常考的方法★★ 必会

给出非齐次方程的几个特解而求通解，是数学二常考的题型。所依据的是解的结构定理的两条推论：两个非齐次解之差是对应齐次方程的解（

L [y_{i} - y_{j}] = f - f = 0

）；其中任何一个非齐次解都可以取作特解。求解分三步：① 把已知的特解两两作差，得到若干个齐次解；② 从中挑出线性无关的解，凑齐基础解系，其个数

=

方程的阶数；③ 通解

=

齐次方程的通解

+

任取的一个原特解。必须注意检验线性无关，即两解之比不是常数，因为所作的差之间也可能线性相关。

举例说明

例. 已知

y_{1} = 1, y_{2} = 1 + e^{x}, y_{3} = 1 + e^{x} + x e^{x}

是某二阶非齐次线性方程的三个解，求通解。

作差得齐次解：

y_{2} - y_{1} = e^{x}

，

y_{3} - y_{2} = x e^{x}

。二者之比

\frac{x e ^{x}}{e ^{x}} = x

不是常数，所以

e^{x}, x e^{x}

线性无关，构成对应齐次方程的基础解系（它对应于特征方程有二重根

1

）。

写出通解：齐次方程的通解为

Y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}

，而

y_{1} = 1

是原方程的一个特解，于是

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x} + 1 .

（容易验证

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都满足

y^{''} - 2 y^{'} + y = 1

。）

4. 注意：由 W(x₀)=0 不能断定一般函数线性相关，反例是 x² 与 x|x|

用朗斯基行列式作判别有一个严格的前提：所判定的函数必须是同一个齐次线性方程的解。对任意的函数，

W \equiv 0

只是线性相关的必要条件，而不是充分条件，确实存在处处

W = 0

却线性无关的函数对。因此必须分清两种情形：对一般的函数，不能由

W \equiv 0

断定线性相关；对方程的解，则可以。

证明 / 推导

取

f_{1} (x) = x^{2}, f_{2} (x) = x ∣ x ∣

，所论区间为

(- \infty, + \infty)

。

朗斯基行列式恒为零：因为

f_{2}^{'} = 2∣ x ∣

，所以

W = x^{2} 2 x x ∣ x ∣ 2∣ x ∣ = 2 x^{2} ∣ x ∣ - 2 x^{2} ∣ x ∣ = 0 (\forall x) .

但二者线性无关：设

c_{1} x^{2} + c_{2} x ∣ x ∣ \equiv 0

。取

x = 1

，得

c_{1} + c_{2} = 0

；取

x = - 1

，得

c_{1} - c_{2} = 0

。由此解得

c_{1} = c_{2} = 0

，故二者线性无关。

为什么这并不矛盾：

x ∣ x ∣

在

x = 0

处二阶导数不存在，因此

f_{1}, f_{2}

不可能同时是某个系数连续的二阶线性方程的解，定理的前提没有满足，所以定理中由

W \equiv 0 \Rightarrow

线性相关这一推理，在此不适用。

■

💡 小知识

把求导看成一种线性运算，n 阶齐次线性微分方程的解就与齐次线性方程组 Ax=0 的解遵循同一套规矩：n 个线性无关的解构成它的基础解系，任意解都由它们线性组合得到；非齐次方程的通解则永远是一个特解加上齐次通解。线性方程组解的结构学通了，微分方程这一节几乎不必重新去背。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 已知

y_{1} = cos x

与

y_{2} = sin x

都是方程

y^{''} + y = 0

的解，判断它们是否线性无关，并写出通解。难度 1

先验证是解：

y_{1}^{''} + y_{1} = - cos x + cos x = 0

，

y_{2}^{''} + y_{2} = - sin x + sin x = 0

。计算朗斯基行列式

W (x) = cos x - sin x sin x cos x = cos^{2} x + sin^{2} x = 1 \neq = 0.

故

y_{1}, y_{2}

线性无关，构成二阶齐次方程的基础解系。由解的结构定理，通解为

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x .

例 2 已知

y_{1} = x^{2}

与

y_{2} = x^{2} + e^{3 x}

是某二阶非齐次线性方程

L [y] = f (x)

的两个解，求其对应齐次方程

L [y] = 0

的一个非零解。难度 2

记左端线性算子

L [y] = y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y

，则

L [y_{1}] = f, L [y_{2}] = f

。由

L

的线性性，

L [y_{2} - y_{1}] = L [y_{2}] - L [y_{1}] = f - f = 0,

即两个非齐次解之差是对应齐次方程的解。故

y_{2} - y_{1} = (x^{2} + e^{3 x}) - x^{2} = e^{3 x}

是齐次方程的一个非零解。

例 3 已知

y_{1} = x, y_{2} = x + e^{2 x}, y_{3} = x + e^{2 x} + e^{- x}

是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，求该方程的通解。难度 2

两个非齐次解之差是对应齐次方程的解：

y_{2} - y_{1} = e^{2 x}, y_{3} - y_{2} = e^{- x} .

而

e^{2 x}

与

e^{- x}

之比

e^{3 x}

不是常数，二者线性无关，构成二阶齐次方程的基础解系，故齐次通解

Y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x}

。又

y_{1} = x

本身是原非齐次方程的一个特解，由「通解

=

齐次通解

+

一个特解」：

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} + x .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设

y_{1} (x), y_{2} (x)

是某

2

阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数

λ, μ

使得

2 λ y_{1} (x) + μ y_{2} (x)

是该方程的解，

λ y_{1} (x) - 2 μ y_{2} (x)

是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）

A $λ = \frac{1}{5}, μ = \frac{2}{5}$
B $λ = \frac{2}{5}, μ = \frac{1}{5}$
C $λ = \frac{1}{4}, μ = \frac{1}{2}$
D $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{4}$

2023 年 · 数二 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则（　　）

A $a < 0, b > 0$
B $a > 0, b > 0$
C $a = 0, b > 0$
D $a = 0, b < 0$

2021 年 · 数二 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

微分方程

y^{'''} - y = 0

的通解为

y =

___。

2016 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

以

y = x^{2} - e^{x}

和

y = x^{2}

为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

y_{1}, y_{2}

是二阶齐次线性微分方程的两个解，则「

y_{1}, y_{2}

构成基础解系」的充要条件是（　）。

A $y_{1}, y_{2}$ 线性无关
B $y_{1}, y_{2}$ 都不恒为零
C $y_{1} + y_{2} \neq = 0$
D $y_{1} y_{2} \neq = 0$

练习 2 · 选择题

设

y_{1}, y_{2}

是非齐次线性方程

L [y] = f (f \neq \equiv 0)

的两个解，则下列一定是对应齐次方程

L [y] = 0

的解的是（　）。

A $y_{1} + y_{2}$
B $y_{1} - y_{2}$
C $2 y_{1}$
D $\frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

练习 3 · 填空题

设

y_{1}^{*} = x

是

L [y] = f_{1}

的一个特解，

y_{2}^{*} = x^{2}

是

L [y] = f_{2}

的一个特解（

L

为同一线性算子），则

L [y] = f_{1} + f_{2}

的一个特解为 ____。

练习 4 · 选择题

设

y_{1}, y_{2}

都是非齐次线性方程

L [y] = f (f \neq \equiv 0)

的解，则

3 y_{1} - 2 y_{2}

（　）。

A是 $L [y] = f$ 的解
B是 $L [y] = 0$ 的解
C是 $L [y] = - f$ 的解
D一般都不是 $L [y] = 0$ 或 $L [y] = f$ 的解

2016 年 · 数二 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

已知

y_{1} (x) = e^{x}

，

y_{2} (x) = u (x) e^{x}

是二阶微分方程

(2 x - 1) y^{''} - (2 x + 1) y^{'} + 2 y = 0

的两个解。若

u (- 1) = e

，

u (0) = - 1

，求

u (x)

，并写出该微分方程的通解。

2010 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解，若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）

A $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}$
B $λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}$
C $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}$
D $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}$