向量组的线性相关性

§9.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.77 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

6.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）向量的线性组合与线性表示矩阵的秩③ 掌握后可解锁高阶线性微分方程解的结构向量组的秩与极大线性无关组施密特正交化与正交矩阵齐次线性方程组与基础解系矩阵的对角化

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 判定相关性的统一方法：化为齐次方程组 $A x = 0$ ，再比较 $r (A)$ 与向量个数 $s$ ★★ 必会

不论向量有几个、是几维的，判定线性相关性都归结为同一件事：把它们按列拼成

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

，再考察

A x = 0

。相关 $⟺ A x = 0$ 有非零解 $⟺ r (A) < s$ ；无关 $⟺$ 只有零解 $⟺ r (A) = s$ 。 当

s = n

即系数矩阵为方阵时，判据化为

∣ A ∣ = 0

（相关）或

∣ A ∣ \neq = 0

（无关），使用起来最为简便。如果题中带有参数，就把参数留在矩阵里，用行列式或行阶梯形定出相关与无关的分界。

证明 / 推导

证.

k_{1} α_{1} + \dots + k_{s} α_{s} = 0

就是

A x = 0

（其中

x = (k_{1}, \dots, k_{s})^{T}

）。因此存在非零的

x

⟺

向量组线性相关。而齐次方程组有非零解

⟺

未知量的个数

s

大于秩，即

r (A) < s

；只有零解

⟺ r (A) = s

。当系数矩阵为方阵时，

A x = 0

有非零解

⟺ ∣ A ∣ = 0

。

■

举例说明

判定

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, 2, 3)^{T}, α_{3} = (1, 4, t)^{T}

的线性相关性：

∣ A ∣ = t - 7

。当

t = 7

时

∣ A ∣ = 0

，向量组线性相关；当

t \neq = 7

时线性无关。只用一个行列式就定出了相关性的临界值。

2. 个数多于维数必相关： $s$ 个 $n$ 维向量，只要 $s > n$ 就一定线性相关

这是最便于使用的判据之一：如果向量的个数超过它们的分量个数，那么这组向量必线性相关，不必进行计算。例如遇到

4

个三维向量，或者

n + 1

个

n

维向量，就可以直接断定它们线性相关。反过来，当

s \leq n

时不能一望而知，必须动手计算秩。

证明 / 推导

证. 把

s

个

n

维向量拼成

n \times s

矩阵

A

，矩阵的秩至多等于行数与列数中的较小者，故

r (A) \leq n

。若

s > n

，则

r (A) \leq n < s

，由判据

r (A) < s

即知它们线性相关。从直观上看，未知量的个数

s

超过了方程所能给出的约束个数

n

，因此齐次方程组

A x = 0

必有非零解。

■

举例说明

α_{1} = (1, 2)^{T}, α_{2} = (3, 1)^{T}, α_{3} = (5, 4)^{T}

是

3

个二维向量，由于

3 > 2

，不必计算就知道它们线性相关。（其中一个线性关系为

7 α_{1} + 6 α_{2} - 5 α_{3} = 0

。）

3. 部分与整体、接长与截短：四条单向的推论，注意不要用反★★ 必会

(1) 部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关；整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关（反方向都不成立）。(2) 无关组接长（即每个向量都添加分量）后仍然无关；相关组截短（即每个向量都去掉分量）后仍然相关。 这四条推论都是单向的，选择题常常考它们反过来是否成立，因此只能沿正确的方向使用。

证明 / 推导

证. 部分与整体：设部分组线性相关，即它有一个非零的线性关系；把整体中其余向量的系数都补上

0

，就得到整体的一个非零关系，故整体相关。取其逆否命题，即得整体无关

\Rightarrow

部分无关。
接长与截短：设无关组按列拼成的

A

是满秩的，

r (A) = s

；给每个向量添加分量，相当于给

A

增加行而得到

\tilde{A}

，增加行时秩不减，故

r (\tilde{A}) \geq r (A) = s

，又因为列数为

s

，所以

= s

，可见接长后仍然无关。再取逆否命题（去掉行时秩不增），即得相关组截短后仍然相关。

■

举例说明

(1, 1)^{T}, (1, 2)^{T}

线性无关，接长为

(1, 1, 5)^{T}, (1, 2, 9)^{T}

后仍然无关。反过来，截短后相关推不出原来相关。例如

(1, 1, 0)^{T}, (2, 2, 7)^{T}

去掉第三个分量得

(1, 1)^{T}, (2, 2)^{T}

，二者成比例因而线性相关；但原来的两个向量是线性无关的，因为若

(2, 2, 7)^{T} = k (1, 1, 0)^{T}

，由前两个分量得

k = 2

，第三个分量却给出

7 = 0

，矛盾。可见只有相关组截短后仍相关这一个方向成立。

4. 线性相关只保证至少有一个向量多余，并非每个向量都能被其余向量表示★ 要懂

线性相关的准确含义是：存在一组不全为零的系数，使这些向量的线性组合等于零；等价地说，至少有一个向量可以由其余向量线性表示，而绝不是每个向量都能由其余向量表示。这是选择题中最容易出错的地方。要判断某个指定的向量能否由其余向量表示，仍须单独解方程，不能由整组相关直接断言。

证明 / 推导

证. 设向量组线性相关，则有不全为零的

k_{i}

使

\sum k_{j} α_{j} = 0

。只有在某个

k_{i} \neq = 0

的地方才能移项，得

α_{i} = - \frac{1}{k _{i}} \sum_{j \neq = i} k_{j} α_{j}

。如果某个

α_{m}

所对应的系数

k_{m}

恰为

0

，那么这个关系式并不能把

α_{m}

解出来，因此不能保证

α_{m}

可以由其余向量表示。

■

举例说明

设

α_{1} = (1, 0)^{T}, α_{2} = (2, 0)^{T}, α_{3} = (0, 1)^{T}

：由

2 α_{1} - α_{2} = 0

可知整组线性相关，但它唯一的非零关系中不含

α_{3}

，故

α_{3}

无法由

α_{1}, α_{2}

线性表示（它们的线性组合都落在

x

轴上）。由此可见，线性相关

\neq =

每个向量都多余。

5. 常见题型：已知一组向量线性无关，判断其线性组合的相关性，归结为系数矩阵的秩或行列式★★ 必会

设

α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关，

β_{1}, \dots, β_{t}

都是它们的线性组合，写成

(β_{1}, \dots, β_{t}) = (α_{1}, \dots, α_{s}) C

。那么 $β$ 组的相关性完全由系数矩阵 $C$ 决定：

r (β_{1}, \dots, β_{t}) = r (C)

。当系数矩阵为方阵时，

β

组无关

⟺ ∣ C ∣ \neq = 0

。这类题目不必回到向量的具体分量，只要考察

C

即可，在数学二的解答题中经常出现。

证明 / 推导

证. 设

\sum_{j} x_{j} β_{j} = 0

，即

(α_{1}, \dots, α_{s}) C x = 0

，其中

x = (x_{1}, \dots, x_{t})^{T}

。因为

α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关，

(α_{1}, \dots, α_{s}) y = 0

仅当

y = 0

，所以必有

C x = 0

。于是

β

组有非零的线性关系

⟺

C x = 0

有非零解，即

β

组线性相关

⟺ r (C) < t

。

■

举例说明

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，

β_{1} = α_{1} + α_{2}, β_{2} = α_{2} + α_{3}, β_{3} = α_{3} + α_{1}

。系数矩阵为

C = 110011101

，

∣ C ∣ = 1 \cdot (1) - 0 + 1 \cdot (1) = 2 \neq = 0

，故

β_{1}, β_{2}, β_{3}

线性无关。（如果改为

β_{1} = α_{1} - α_{2}, β_{2} = α_{2} - α_{3}, β_{3} = α_{3} - α_{1}

，那么

∣ C ∣ = 0

，这时三者线性相关，且

β_{1} + β_{2} + β_{3} = 0

。）

💡 小知识

线性相关这个说法，给信息冗余下了一个精确的数学定义。数据压缩和主成分分析（PCA）做的是同一件事：找出线性相关也就是冗余的那些方向并丢掉，只保留一组线性无关的主方向，用尽量少的数字记录尽量多的信息。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断向量组

α_{1} = (2, - 1, 3)^{T}

，

α_{2} = (- 4, 2, - 6)^{T}

的线性相关性；若相关，写出一个线性关系式。难度 1

只有两个向量，判相关性即看它们是否成比例。逐分量比较：

- 4 = (- 2) \cdot 2, 2 = (- 2) \cdot (- 1), - 6 = (- 2) \cdot 3

，即

α_{2} = - 2 α_{1}

。存在不全为零的系数使组合为零，故

α_{1}, α_{2}

线性相关，关系式为

2 α_{1} + α_{2} = 0.

（验证：

2 (2, - 1, 3)^{T} + (- 4, 2, - 6)^{T} = (0, 0, 0)^{T}

。）

■

例 2 判断

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

α_{3} = (1, 1, 3)^{T}

的线性相关性。难度 1

3

个三维向量，是方阵情形，用行列式速判。按列拼成

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

∣ A ∣ = 101011113 = 1 \cdot 1113 - 0 + 1 \cdot 0111 = 1 \cdot (3 - 1) + 1 \cdot (0 - 1) = 2 - 1 = 1.

∣ A ∣ = 1 \neq = 0

，故

A x = 0

只有零解，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关。

■

例 3 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{3} = (1, 4, t)^{T}

。

t

取何值时向量组线性相关？此时写出一个线性关系式。难度 2

方阵情形，令行列式为零。按列拼

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

：

∣ A ∣ = 111123 14 t = 1 \cdot (2 t - 12) - 1 \cdot (t - 4) + 1 \cdot (3 - 2) = 2 t - 12 - t + 4 + 1 = t - 7.

∣ A ∣ = t - 7 = 0 ⟺ t = 7

。故 $t = 7$ 时线性相关（

t \neq = 7

时线性无关）。
当

t = 7

，

α_{3} = (1, 4, 7)^{T}

，设

α_{3} = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2}

：

x_{1} + x_{2} = 1, x_{1} + 2 x_{2} = 4

，解得

x_{1} = - 2, x_{2} = 3

，故

α_{3} = - 2 α_{1} + 3 α_{2}, 即 2 α_{1} - 3 α_{2} + α_{3} = 0.

（验证：

- 2 (1, 1, 1)^{T} + 3 (1, 2, 3)^{T} = (1, 4, 7)^{T} = α_{3}

。）

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

已知向量组

α_{1} = 10 - 1 - 1

，

α_{2} = 1 - 1 0 - 2

，

α_{3} = 0 - 1 1 - 1

，

α_{4} = 01 - 1 1

，记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

，

G = (α_{1}, α_{2})

。

（1）证明：

α_{1}, α_{2}

是

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的极大线性无关组；

（2）求矩阵

H

使得

A = G H

，并求

A^{10}

。

2025 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

，若

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，且

α_{1} + α_{2} = α_{3} + α_{4}

，则方程组

A x = α_{1} + 4 α_{4}

的通解为

x =

___。

2024 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设向量

α_{1} = a 1 - 1 1, α_{2} = 11 b a, α_{3} = 1 a - 1 1

。若

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则

ab =

___。

2020 年 · 数二 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设

A

为

2

阶矩阵，

P = (α, A α)

，其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向量。
（Ⅰ）证明

P

为可逆矩阵；
（Ⅱ）若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

，求

P^{- 1} A P

，并判断

A

是否相似于对角矩阵。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

是

n

维向量组。若

s > n

，则该向量组（　）。

A必线性无关
B必线性相关
C可能相关也可能无关
D无法判断

练习 2 · 填空题

设

α_{1} = (1, 2)^{T}

，

α_{2} = (3, t)^{T}

线性相关，则

t =

____。

练习 3 · 选择题

设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，则下列结论一定成立的是（　）。

A其中每一个向量都可由其余两个线性表示
B其中至少有一个向量可由其余两个线性表示
C $α_{1}$ 一定可由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表示
D必有两个向量成比例

练习 4 · 填空题

设

α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

，

α_{2} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{3} = (0, 1, a)^{T}

线性相关，则

a =

____。

练习 5 · 选择题

设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关，则下列向量组中线性相关的是（　　）。

A $α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{4}, α_{4} + α_{1}$
B $α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{4}, α_{4}$
C $α_{1}, α_{1} + α_{2}, α_{1} + α_{2} + α_{3}, α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}$
D $α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{4}, α_{1} - α_{4}$

练习 6 · 填空题

已知向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，而

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关，则

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) =

____。

练习 7 · 解答题

设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，令

β_{1} = α_{1} + α_{2}, β_{2} = α_{2} + α_{3}, β_{3} = α_{1} + t α_{3} (t 为常数) .

(1) 求

t

的值，使

β_{1}, β_{2}, β_{3}

线性相关，并写出此时一个非零的线性关系式；

(2) 当

β_{1}, β_{2}, β_{3}

线性无关时，把

α_{1}

用

β_{1}, β_{2}, β_{3}

线性表示；

(3) 证明：无论

t

取何值，

β_{1}, β_{2}

总线性无关。

2014 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

均为

3

维向量，则对任意常数

k, l

，向量组

α_{1} + k α_{3}, α_{2} + l α_{3}

线性无关是向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关的（　　）

A必要非充分条件.
B充分非必要条件.
C充分必要条件.
D既非充分也非必要条件.

2012 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

α_{1} = 00 c_{1}

，

α_{2} = 01 c_{2}

，

α_{3} = 1 - 1 c_{3}

，

α_{4} = - 1 1 c_{4}

，其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

为任意常数，则下列向量组线性相关的为（　　）

A $α_{1}, α_{2}, α_{3}$
B $α_{1}, α_{2}, α_{4}$
C $α_{1}, α_{3}, α_{4}$
D $α_{2}, α_{3}, α_{4}$

向量组的线性相关性

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 判定相关性的统一方法：化为齐次方程组 Ax=0，再比较 r(A) 与向量个数 s★★ 必会

2. 个数多于维数必相关：s 个 n 维向量，只要 s>n 就一定线性相关

3. 部分与整体、接长与截短：四条单向的推论，注意不要用反★★ 必会

4. 线性相关只保证至少有一个向量多余，并非每个向量都能被其余向量表示★ 要懂

5. 常见题型：已知一组向量线性无关，判断其线性组合的相关性，归结为系数矩阵的秩或行列式★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 判定相关性的统一方法：化为齐次方程组 $A x = 0$ ，再比较 $r (A)$ 与向量个数 $s$ ★★ 必会

2. 个数多于维数必相关： $s$ 个 $n$ 维向量，只要 $s > n$ 就一定线性相关