矩阵的秩

§8.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.82 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

9.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）初等变换与初等矩阵矩阵的运算③ 掌握后可解锁向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关性向量组的秩与极大线性无关组齐次线性方程组与基础解系线性方程组解的判定

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 行秩 $=$ 列秩的证明：初等变换同时保持行秩与列秩★ 要懂

行秩是行向量组的极大无关组所含向量的个数，列秩是列向量组的相应个数，二者恒相等，秩这一概念才得以确立。证明的关键在于：初等行变换不改变列秩，初等列变换不改变行秩，于是任意施行行变换与列变换都不改变行秩与列秩。把

A

化为等价标准形之后，行秩与列秩显然都等于

r

。

证明 / 推导

引理. 左乘可逆阵

P

不改变列秩：

P A

的列是

P

作用在

A

的各列上所得，而

P

可逆，保持任意一组列向量的线性相关性，故

A

与

P A

的列向量组的极大无关组所含向量的个数相同，即列秩相等。与此相类似，右乘可逆阵不改变行秩。
主证. 初等行变换

=

左乘可逆阵，由引理知它不改变列秩；又它不改变行空间，故也不改变行秩。同样地，初等列变换对二者也都不改变。于是对

A

施行初等行变换与初等列变换，化为等价标准形

(E_{r} O O O)

，其间行秩与列秩始终不变。而标准形的行秩

=

列秩

= r

（

r

个单位行与单位列线性无关，其余各行各列全为零）。故

A

的行秩

=

列秩

= r

。

■

2. 两条最常用的秩不等式： $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ 与 $A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ ★★ 必会

这两条不等式在抽象的秩的问题中用得最多，它们的证明只需用列空间与解空间的语言即可说清，因此应当会推导，而不是只记结论。

r (A B) \leq min

表明矩阵相乘只会使秩下降或保持不变；

A B = O

时的那一条则把两个矩阵的秩之和限制在

n

以内，它是处理

A^{2} = O

、

A B = O

这类问题的主要依据。

证明 / 推导

$r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ .

A B

的每一列

= A \cdot (B 的对应列)

，是

A

各列的线性组合，故

A B

的列空间

\subseteq A

的列空间，

r (A B) \leq r (A)

。又

A B

的每一行是

B

各行的线性组合，故

r (A B) \leq r (B)

。合起来即得

\leq min

。
$A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ （

A

为

m \times n

，

B

为

n \times s

）.

A B = O

表明

B

的每一列都满足

A x = 0

，即

B

的各列都属于解空间

{x : A x = 0}

，而该解空间的维数为

n - r (A)

。故

r (B) \leq n - r (A)

，即

r (A) + r (B) \leq n

。

■

3. 加法的秩不等式： $∣ r (A) - r (B) ∣ \leq r (A \pm B) \leq r (A) + r (B)$

矩阵加减法的秩有上、下两个界。上界

r (A + B) \leq r (A) + r (B)

的理由是，和的列空间含于两个矩阵的列空间之和，后者的维数不会更大；下界则由上界反过来使用而得到，常用来估计

r (A + B)

的最小可能值，或者证明某个和式是满秩的。

证明 / 推导

上界.

A + B

的每一列

=

（

A

的对应列）

+

（

B

的对应列），它落在

A

的列空间

+

B

的列空间所生成的子空间之内，而该子空间的维数

\leq r (A) + r (B)

，故

r (A + B) \leq r (A) + r (B)

。
下界. 把

A

写成

A = (A + B) + (- B)

，再用上界，得

r (A) \leq r (A + B) + r (- B) = r (A + B) + r (B)

，即

r (A + B) \geq r (A) - r (B)

；由

A, B

的地位对称，同理有

r (A + B) \geq r (B) - r (A)

。合起来即得

r (A + B) \geq ∣ r (A) - r (B) ∣

。把

B

换成

- B

即得

A - B

的同样的不等式。

■

举例说明

例. 设

A, B

为

n

阶方阵，且

A + B = E

，

r (A) + r (B) \leq n

，证明

r (A) + r (B) = n

。
解. 由

A + B = E

得

n = r (E) = r (A + B) \leq r (A) + r (B)

；又已知

r (A) + r (B) \leq n

。由这两个不等式即得

r (A) + r (B) = n

。

■

4. 秩 $1$ 矩阵的完全刻画： $r (A) = 1 ⟺ A = α β^{T}$ ，且 $A^{2} = (tr A) A$ ★★ 必会

秩

1

的矩阵是数学二中常见的结构。判别法：

n

阶方阵

r (A) = 1 ⟺

存在非零列向量

α, β

使

A = α β^{T}

。一旦写成这种形式，它的方幂与特征值都可以立即求出：

A^{2} = (tr A) A

，特征值为

tr A

（一重）与

0

（

n - 1

重）。见到秩

1

或

A = α β^{T}

，就应当想到上面这一组结论。

证明 / 推导

( $\Leftarrow$ ) 若

A = α β^{T}

（

α, β \neq = 0

），则它的各列都是

α

的倍数，且

A \neq = O

，故

r (A) = 1

。
( $\Rightarrow$ ) 若

r (A) = 1

，则

A

的列向量组的秩为

1

，故存在非零列向量

α

使每一列

=

某个数与

α

的乘积。记第

j

列

= β_{j} α

，令

β = (β_{1}, \dots, β_{n})^{T}

（非零），则

A = α β^{T}

。
方幂.

A^{2} = α β^{T} α β^{T} = α (β^{T} α) β^{T} = (β^{T} α) A = (tr A) A

，这里用到了

tr A = tr (α β^{T}) = β^{T} α

。

■

举例说明

例. 设

A = 123123123

，求

A^{n}

。
解. 由

A = α β^{T}

可取

α = (1, 2, 3)^{T}

，

β = (1, 1, 1)^{T}

，此时

tr A = 1 + 2 + 3 = 6

。故

A^{n} = (tr A)^{n - 1} A = 6^{n - 1} A

。

💡 小知识

行秩等于列秩，是初学者最容易觉得凭什么的定理之一：同一张数表，横着数线性无关的行，竖着数线性无关的列，两个数目永远相同。这个等式是线性代数中对偶性的第一次露面，它保证了无论从行出发还是从列出发，看到的那个维数都是同一个。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求矩阵

A = 121241361

的秩。难度 1

标准动作：初等行变换化行阶梯形，数非零行。

A r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100 20 - 1 30 - 2 r_{2} \leftrightarrow r_{3} 100 2 - 1 0 3 - 2 0 .

非零行有

2

行，故

r (A) = 2

。（第

2

行恰是第

1

行的

2

倍，被消成零行，说明它不贡献秩。）

例 2 设

A = 111124 1 a a^{2}

，讨论

a

取何值时

r (A) = 3

、何值时

r (A) = 2

。难度 2

含参数求秩：先化行阶梯形，再看含参主元何时为零。

A r_{2} - r_{1}, r_{3} - r_{1} 100113 1 a - 1 a^{2} - 1 r_{3} - 3 r_{2} 100110 1 a - 1 a^{2} - 3 a + 2 .

右下角

a^{2} - 3 a + 2 = (a - 1) (a - 2)

。前两行恒为非零行，故：
- 当

(a - 1) (a - 2) \neq = 0

，即

a \neq = 1

且

a \neq = 2

时，三行皆非零，

r (A) = 3

；
- 当

a = 1

或

a = 2

时，第三行化为零行，

r (A) = 2

。
（此矩阵不可能出现

r (A) = 1

，因第

2

行主元

1

恒在。）

例 3 设

A

为

n

阶方阵且

A^{2} = O

，证明

r (A) \leq \frac{n}{2}

。难度 2

思路：利用「 $A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ 」，令 $B = A$ 。
把

A^{2} = O

看作

A \cdot A = O

。由于

A

的每一列都是齐次方程

A x = 0

的解，而

A x = 0

的解空间维数为

n - r (A)

，故

A

（作为

B

）的列向量组的秩满足

r (A) \leq n - r (A) .

（这正是结论

A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n

在

B = A

时的形式。）移项得

2 r (A) \leq n

，即

r (A) \leq \frac{n}{2} .

例如

n = 2

时

r (A) \leq 1

，与「

2

阶幂零矩阵秩至多为

1

」吻合。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = 101100111131

，

C = 211 a 011 b

，若存在矩阵

B

满足

A B = C

，则（　　）

A $a = - 1, b = - 1$
B $a = 2, b = 2$
C $a = - 1, b = 2$
D $a = 2, b = - 1$

2026 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设

3

阶矩阵

A, B

满足

A B + B A = A^{2} + B^{2}

，且

A \neq = B

，则下列结论错误的是（　　）

A $(A - B)^{3} = O$
B $A - B$ 只有零特征值
C $A, B$ 不能都是对角矩阵
D $A - B$ 只有一个线性无关的特征向量

2026 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = (1 a + 2 b 3 - 1 - 3 a)

。若二次型

x^{T} (A A^{T}) x

的规范形为

y_{1}^{2}

，则

a + b =

___。

2025 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵

100100010120

的是（　　）

A $112123011134$
B $111111021153$
C $100011000130$
D $112123224336$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

矩阵

A = 112123134145

的秩

r (A) =

____。

练习 2 · 填空题

设

α, β

均为

3

维非零列向量，

A = α β^{T}

，则

r (A) =

____。

练习 3 · 选择题

设

A

为

m \times n

矩阵，

B

为

n \times s

矩阵，则下列恒成立的是（　）

A $r (A B) = min {r (A), r (B)}$
B $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$
C $r (A B) \geq max {r (A), r (B)}$
D $r (A B) = r (A) + r (B)$

练习 4 · 填空题

设

A = t 11 1 t 1 11 t

，当

t =

____ 时

r (A) = 1

。

练习 5 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶方阵，且

A B = O

，则（　）

A $r (A) + r (B) \leq n$
B $r (A) + r (B) \geq n$
C $A = O$ 或 $B = O$
D $r (A) = r (B)$

练习 6 · 选择题

设

A

为

m \times n

矩阵，

B

为

n \times m

矩阵，且

m > n

，则（　）

A $A B$ 必可逆
B $∣ A B ∣ = 0$
C $r (A B) = m$
D $∣ B A ∣ = 0$

练习 7 · 填空题

设

A

为

3

阶矩阵，满足

A^{2} = A

，且

A \neq = O

，

A \neq = E

，则

r (A) + r (A - E) =

____。

练习 8 · 解答题

设

A

为

n

阶矩阵，且

A^{2} = E

。

(1)

证明：

r (A + E) + r (A - E) = n

；

(2)

设

A = 102 0 - 1 0 00 - 1

，验证

A^{2} = E

，并求出

r (A + E)

与

r (A - E)

；

(3)

求

(2)

中方程组

A x = x

的通解。

2025 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设

3

阶矩阵

A, B

满足

r (A B) = r (B A) + 1

，则（　　）

A方程组 $(A + B) x = 0$ 只有零解
B方程组 $A x = 0$ 与方程组 $B x = 0$ 均只有零解
C方程组 $A x = 0$ 与方程组 $B x = 0$ 没有公共非零解
D方程组 $A B A x = 0$ 与方程组 $B A B x = 0$ 有公共非零解

2018 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，记

r (X)

为矩阵

X

的秩，

(X, Y)

表示分块矩阵，则（　　）

A $r (A, A B) = r (A)$
B $r (A, B A) = r (A)$
C $r (A, B) = max {r (A), r (B)}$
D $r (A, B) = r (A^{T}, B^{T})$

矩阵的秩

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 行秩 = 列秩的证明：初等变换同时保持行秩与列秩★ 要懂

2. 两条最常用的秩不等式：r(AB)≤min{r(A),r(B)} 与 AB=O⇒r(A)+r(B)≤n★★ 必会

3. 加法的秩不等式：∣r(A)−r(B)∣≤r(A±B)≤r(A)+r(B)

4. 秩 1 矩阵的完全刻画：r(A)=1⟺A=αβT，且 A2=(trA)A★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 行秩 $=$ 列秩的证明：初等变换同时保持行秩与列秩★ 要懂

2. 两条最常用的秩不等式： $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ 与 $A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ ★★ 必会

3. 加法的秩不等式： $∣ r (A) - r (B) ∣ \leq r (A \pm B) \leq r (A) + r (B)$

4. 秩 $1$ 矩阵的完全刻画： $r (A) = 1 ⟺ A = α β^{T}$ ，且 $A^{2} = (tr A) A$ ★★ 必会