线性方程组解的判定

§10.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.42 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

1.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的秩齐次线性方程组与基础解系非齐次线性方程组解的结构

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 克拉默法则（Cramer）：系数矩阵为方阵且 |A|≠0 时，唯一解的显式公式

当系数矩阵

A

是

n

阶方阵且

∣ A ∣ \neq = 0

时，

A x = b

有唯一解，并且它的每个分量都可以直接用行列式表示：

x_{j} = \frac{∣ A _{j} ∣}{∣ A ∣} (j = 1, \dots, n),

其中

A_{j}

是把

A

的第 $j$ 列换成 $b$ 以后所得到的矩阵。这一法则有两方面的用处：一是在理论上，它对唯一解的判定条件

∣ A ∣ \neq = 0

给出了构造性的证明；二是在计算中，只求某一个未知量，或者系数含有参数而需要保留

λ

时，用它比较方便。它的适用范围必须注意：只适用于方阵，并且要求

∣ A ∣ \neq = 0

；当

∣ A ∣ = 0

或者矩阵不是方阵时，一律改用秩来讨论。

证明 / 推导

∣ A ∣ \neq = 0

时，

A

可逆，于是

x = A^{- 1} b = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} b

，其中

A^{*}

是伴随矩阵，

(A^{*})_{j i} = A_{ij}

（

A_{ij}

为代数余子式）。因此

x_{j} = \frac{1}{∣ A ∣} i = 1 \sum n A_{ij} b_{i} = \frac{1}{∣ A ∣} i = 1 \sum n b_{i} A_{ij} .

而

\sum_{i = 1}^{n} b_{i} A_{ij}

恰好是行列式

∣ A_{j} ∣

按第

j

列（该列已换成

b

）的展开式，所以

\sum_{i} b_{i} A_{ij} = ∣ A_{j} ∣

，即

x_{j} = ∣ A_{j} ∣/∣ A ∣

。

■

举例说明

用克拉默法则解

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6, x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2, x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 2.

∣ A ∣ = 111 1 - 1 2 11 - 1 = 4 \neq = 0,

因此方程组有唯一解。分别把第

1, 2, 3

列换成

b = (6, 2, 2)^{T}

，得

∣ A_{1} ∣ = 622 1 - 1 2 11 - 1 = 4, ∣ A_{2} ∣ = 111622 11 - 1 = 8, ∣ A_{3} ∣ = 111 1 - 1 2 622 = 12.

于是

x_{1} = \frac{4}{4} = 1, x_{2} = \frac{8}{4} = 2, x_{3} = \frac{12}{4} = 3

，即

x = (1, 2, 3)^{T}

。代回原来的三个方程，左端依次为

6, 2, 2

，与右端完全相符。

■

2. 几何解释：秩就是有效约束的条数，三个平面有三种相交情形★ 要懂

把每一个三元一次方程看作

R^{3}

中的一个平面，则

r (A)

就是线性无关的法向量的个数，也就是真正起作用的约束的条数；而

r (A, b)

还把右端是否相容一并计入。三个平面的公共部分只有三种情形，它们与判定条件恰好一一对应：交于一点，方程组有唯一解；交于一条直线或一个平面，方程组有无穷多解；没有公共点，方程组无解，例如三个平面两两相交却围成一个三棱柱。由此可见，秩所度量的是独立条件究竟有几条；约束越少，即秩越小，自由度

n - r

越大。

证明 / 推导

r (A) = k

表示

A

的

m

个行向量，即各平面的法向量中，恰有

k

个线性无关，即

k

条独立的约束。方程组有解时，自由度

= n - r (A)

：

-

r (A) = r (A, b) = 3 = n

：三条独立的约束把

R^{3}

限制到

3 - 3 = 0

维，即一个点，方程组有唯一解；
-

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

：只有两条独立的约束，公共部分是

3 - 2 = 1

维的，即一条直线，方程组有无穷多解；
-

r (A) < r (A, b)

：各约束自相矛盾，法向量虽相容而右端不相容，三个平面没有公共点，方程组无解。

■

举例说明

左端相同而右端不同时，相交的情形就完全不同：

{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2

：两个平面平行而不重合（此时

r (A) = 1 < r (A, b) = 2

），没有公共点，方程组无解。

{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 x_{1} - x_{2} = 0

：两个平面不平行（此时

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

），交成一条直线，方程组有无穷多解。

再添上方程

x_{3} = 0

（它的法向量与前两个平面的法向量线性无关，

r = r^{'} = 3

），则三个平面交于一点

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)

，方程组有唯一解。这三个例子清楚地显示了秩与相交情形之间的对应关系。

■

3. 含参数方阵的完整讨论：先由 |A|=0 求出临界值，再逐个代回检验秩★★ 必会

讨论含参数的方程组时，常见的疏忽是只算出

∣ A ∣ \neq = 0 \Rightarrow

有唯一解就结束，遗漏了临界值处的分情形讨论，而无穷多解与无解的情形恰恰出现在使

∣ A ∣ = 0

的那几个参数值上。方阵情形的一般步骤是：① 算出

∣ A ∣

，令

∣ A ∣ = 0

解出全部临界的参数值；② 对于非临界的参数值，此时

∣ A ∣ \neq = 0

，方程组有唯一解；③ 对每一个临界值分别代回，把

(A ∣ b)

作行变换，比较

r (A)

与

r (A, b)

，判定是无穷多解还是无解。必须逐个讨论，因为不同的临界值所得的结论可能不同。

证明 / 推导

设

∣ A ∣ = f (λ)

。

f (λ) \neq = 0

时，

r (A) = n = r (A, b)

，方程组有唯一解。当

f (λ) = 0

时，

r (A) < n

，这时必须代回考察

r (A, b)

：如果

r (A) = r (A, b) < n

，则方程组有无穷多解；如果

r (A) < r (A, b)

，则方程组无解。行列式只能判定解是否唯一；一旦它为零，究竟是无穷多解还是无解，必须靠比较两个秩才能确定。

■

举例说明

讨论

⎩ ⎨ ⎧ λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = 1

。

把各行相加，提出公因子

λ + 2

，再化简，得

∣ A ∣ = λ 11 1 λ 1 11 λ = (λ + 2) (λ - 1)^{2} .

$λ \neq = 1$ 且 $λ \neq = - 2$ ：

∣ A ∣ \neq = 0

，方程组有唯一解。由对称性可设

x_{1} = x_{2} = x_{3} = t

，代入每一个方程都得

(λ + 2) t = 1

，于是

x = \frac{1}{λ + 2} (1, 1, 1)^{T}

。

$λ = 1$ ：三个方程都化为

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1

，

r (A) = r (A, b) = 1 < 3

，方程组有无穷多解，通解为

x = (1, 0, 0)^{T} + k_{1} (- 1, 1, 0)^{T} + k_{2} (- 1, 0, 1)^{T}

。

$λ = - 2$ ：三个方程的左端相加得

0

，而右端相加得

3

，于是出现矛盾的等式

0 = 3

，

r (A) = 2 < 3 = r (A, b)

，方程组无解。

■

4. 用满秩作整体判定：行满秩保证解存在，列满秩保证解唯一

把

A

（

m \times n

）的秩取到最大值，就可以对一切

b

作出统一的结论，这比逐个

b

分别讨论要方便得多：

-

r (A) = m

（行满秩）

⟺

对任意

b \in R^{m}

，

A x = b

都有解；
-

r (A) = n

（列满秩）

⟺ A x = 0

只有零解

⟺ A x = b

只要有解，解就唯一。

可以概括为：行满秩保证解的存在，列满秩保证解的唯一。当矩阵是方阵，即

m = n

时，两者合而为一：

r = n ⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺

对任意

b

都有唯一解。判断方程组是否恒有解、解是否唯一，只要看行、列是否满秩即可。

证明 / 推导

行满秩：

A x = b

有解

⟺ r (A) = r (A, b)

。如果

r (A) = m

，那么由

r (A) \leq r (A, b) \leq m = r (A)

得

r (A, b) = r (A)

恒成立，所以对任意的

b

方程组都有解。反之，如果对任意的

b

方程组都有解，令

b

遍历

R^{m}

的标准基，就知道

A

的列向量组可以张成整个

R^{m}

，

r (A) = m

。

列满秩：解唯一

⟺

对应的齐次方程组

A x = 0

只有零解

⟺ r (A) = n

。

■

举例说明

A

为

3 \times 4

、

r (A) = 3

：行满秩（

m = 3

），对任意

b \in R^{3}

方程组都有解；又因为

n - r = 4 - 3 = 1 > 0

，所以总是有无穷多解，既不会唯一，也不会无解。

反过来，若

A

为

4 \times 3

、

r (A) = 3

：列满秩（

n = 3

），

A x = b

只要有解，解就唯一；但这时

m = 4 > r

，未必对一切

b

都有解，例如当

b

不属于列向量组所张成的空间时，方程组就无解。这一组对照说明，行满秩

\neq =

列满秩，解的存在

\neq =

解的唯一，二者必须区分清楚。

■

💡 小知识

无解、唯一、无穷这三句判定，背后是 19 世纪的罗歇–卡佩利定理（Rouché–Capelli）。今天手机做人脸识别、导航做定位，都在实时地判定并求解大型线性方程组，而秩就是用来衡量已知信息到底够不够的那把尺子。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断线性方程组

{x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2, 2 x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3} = 5

是否有解。难度 1

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = (12 - 1 - 2 1225) r_{2} - 2 r_{1} (10 - 1 0 1021) .

系数矩阵部分

r (A) = 1

；增广矩阵出现非零行

(0, 0, 0 ∣ 1)

，故

r (A, b) = 2

。

因为

r (A) = 1 < 2 = r (A, b)

，方程组无解。直观上：第二个方程左端恰是第一个的

2

倍（应等于

4

），右端却是

5

，自相矛盾（

0 = 1

）。

■

例 2 判断方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1, 2 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 4, x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 3

解的情况；若有解，求通解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = 121132 - 1 12 143 r_{2} - 2 r_{1} r_{3} - r_{1} 100111 - 1 33 122 r_{3} - r_{2} r_{1} - r_{2} 100010 - 4 30 - 1 20 .

r (A) = r (A, b) = 2 < 3 = n

，故有无穷多解。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = - 1 + 4 x_{3}, x_{2} = 2 - 3 x_{3}

。

特解（取

x_{3} = 0

）

η^{*} = (- 1, 2, 0)^{T}

，导出组基础解系

ξ = (4, - 3, 1)^{T}

，通解为

x = (- 1, 2, 0)^{T} + k (4, - 3, 1)^{T} (k 任意) .

验证

η^{*}

：

- 1 + 2 - 0 = 1

，

- 2 + 6 + 0 = 4

，

- 1 + 4 + 0 = 3

，均成立。

■

例 3 讨论参数

a, b

取何值时，方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 3, x_{1} + 4 x_{2} + a x_{3} = b

有唯一解、无穷多解、无解；无穷多解时求通解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换（把参数一路带下去）：

(A ∣ b) = 111124 13 a 13 b r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100113 12 a - 1 12 b - 1 r_{3} - 3 r_{2} 100110 12 a - 7 12 b - 7 .

关键看末行

(0, 0, a - 7 ∣ b - 7)

。

情形一： $a \neq = 7$ 。

a - 7 \neq = 0

，

r (A) = r (A, b) = 3 = n

，唯一解（对任意

b

）。

情形二： $a = 7, b = 7$ 。 末行全为零，

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

，无穷多解。此时

x_{2} = 2 - 2 x_{3}, x_{1} = 1 - x_{2} - x_{3} = - 1 + x_{3}

，取

x_{3} = 0

得特解

(- 1, 2, 0)^{T}

，基础解系

(1, - 2, 1)^{T}

，通解

x = (- 1, 2, 0)^{T} + k (1, - 2, 1)^{T} .

情形三： $a = 7, b \neq = 7$ 。 末行为

(0, 0, 0 ∣ b - 7)

且

b - 7 \neq = 0

，

r (A) = 2 < 3 = r (A, b)

，无解。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = 101100111131

，

C = 211 a 011 b

，若存在矩阵

B

满足

A B = C

，则（　　）

A $a = - 1, b = - 1$
B $a = 2, b = 2$
C $a = - 1, b = 2$
D $a = 2, b = - 1$

2024 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = (0110 a 1), B = 11 b 112

，二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} B A x

。已知方程组

A x = 0

的解均是

B^{T} x = 0

的解，但这两个方程组不同解。

（Ⅰ）求

a, b

的值；

（Ⅱ）求正交变换

x = Q y

将

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

化为标准形。

2023 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

已知线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ a x_{1} + x_{3} = 1, x_{1} + a x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0, a x_{1} + b x_{2} = 2

有解，其中

a, b

为常数。若

a 11 0 a 2 11 a = 4

，则

11 a a 2 b 1 a 0 =

___。

2022 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}

，

b = 124

，则线性方程组

A x = b

的解的情况为（　　）

A无解.
B有解.
C有无穷多解或无解.
D有唯一解或无解.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A x = b

是

5

元非齐次线性方程组，

r (A) = r (A, b) = 5

，则该方程组（　）。

A无解
B有唯一解
C有无穷多解
D无法确定

练习 2 · 选择题

下列关于

n

元线性方程组的说法，正确的是（　）。

A齐次方程组 $A x = 0$ 可能无解
B若 $r (A) = r (A, b)$ ，则 $A x = b$ 有唯一解
C齐次方程组 $A x = 0$ 一定有解
D若 $r (A) < r (A, b)$ ，则 $A x = b$ 有无穷多解

练习 3 · 填空题

设方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 2, x_{1} + 3 x_{2} + t x_{3} = 3

有无穷多解，则

t =

____。

练习 4 · 选择题

设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 0

，

b \neq = 0

，则线性方程组

A x = b

（　）。

A一定无解
B一定有无穷多解
C一定有唯一解
D无解或有无穷多解

练习 5 · 填空题

设方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, 2 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 4, 3 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} = a

有解，则

a =

____。

练习 6 · 选择题

设

A

为

4 \times 3

矩阵，

η_{1}, η_{2}

是非齐次线性方程组

A x = b

的两个不同的解，则（　）。

A $r (A) \leq 2$
B $r (A) = 3$
C $A x = 0$ 只有零解
D $r (A, b) = r (A) + 1$

练习 7 · 填空题

若方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 1, 2 x_{1} + 5 x_{2} + 3 x_{3} = 3, 3 x_{1} + 7 x_{2} + a x_{3} = b

无解，则

a =

____。

练习 8 · 解答题

设线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2, 2 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} + 5 x_{4} = 5, 3 x_{1} + 5 x_{2} + a x_{3} + 9 x_{4} = b .

(1)

讨论

a, b

取何值时方程组无解、有无穷多解，并说明它为什么不可能有唯一解；

(2)

当

a = 1, b = 8

时求通解；

(3)

当

a = 3, b = 10

时求通解。

2016 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设矩阵

A = 11 a + 1 101 1 - a a a + 1

，

β = 01 2 a - 2

，且方程组

A x = β

无解。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）求方程组

A^{T} A x = A^{T} β

的通解。

2015 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设矩阵

A = 111124 1 a a^{2}

，

b = 1 d d^{2}

。若集合

Ω = {1, 2}

，则线性方程组

A x = b

有无穷多解的充分必要条件为（　　）

A $a \in / Ω, d \in / Ω$
B $a \in / Ω, d \in Ω$
C $a \in Ω, d \in / Ω$
D $a \in Ω, d \in Ω$