齐次线性方程组与基础解系

§10.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.46 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

4.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的秩向量组的秩与极大线性无关组向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁非齐次线性方程组解的结构线性方程组解的判定特征值与特征向量的概念与计算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 方程个数少于未知数（m<n）时，Ax=0 必有非零解，由此可直接判定解的存在性★ 要懂

这里有一条最便于使用的判据：对

m \times n

的齐次方程组，只要方程个数 $m <$ 未知数个数 $n$ ，就可以断定它有非零解，而不必把方程解出来。这是因为秩受行数的限制：

r (A) \leq min (m, n) \leq m < n

，于是

r (A) < n

，由基本判据即知有非零解。这条判据的作用在于把解方程组化为清点方程与未知数的个数，因而是证明向量组线性相关、说明某个映射有非平凡核的常用工具。反过来必须注意：当

m \geq n

时不能作出任何结论，仍须看

r (A)

与

n

的实际大小。

证明 / 推导

证. 设

A

为

m \times n

矩阵。矩阵的秩既不超过它的行数，也不超过它的列数，即

r (A) \leq min (m, n)

。当

m < n

时

min (m, n) = m

，故

r (A) \leq m < n

，即

r (A) < n

。而

n

元齐次方程组

A x = 0

有非零解

⟺ r (A) < n

，这一条件已经满足，所以它必有非零解，且基础解系含

n - r (A) \geq n - m \geq 1

个向量。

■

举例说明

命题：

R^{m}

中任意

n

个向量，只要

n > m

，就必线性相关。

证. 设

α_{1}, \dots, α_{n} \in R^{m}

，考虑

x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n} = 0

，这就是以这些向量为列的

m \times n

矩阵

A

的齐次方程组

A x = 0

。由于方程个数

m < n =

未知数个数，根据上述判据，它必有非零解

(x_{1}, \dots, x_{n}) \neq = 0

，即有一组不全为零的系数使这些向量的线性组合为零，所以该向量组线性相关。

由此可以说明，

R^{m}

中线性无关的向量最多只有

m

个。例如在

R^{3}

中任取

4

个向量必线性相关。

■

2. 基础解系所含向量的个数恒为 n−r，但向量本身不唯一：任意两组基础解系等价★★ 必会

初学者常有这样的疑问：自己求出的基础解系与答案上的不一样，是不是做错了？其实不然，基础解系并不唯一，因为自由变量可以取任何一组线性无关的赋值。但下面两点是确定的：(1) 所含向量的个数恒为 $n - r (A)$ ，它就是解空间的维数，与取法无关；(2) 任意两组基础解系等价，即可以互相线性表示，且秩都等于

n - r

。因此要判定一组解是不是基础解系，只需检验个数正确（ $= n - r$ ）且线性无关这两条，不必与标准答案逐个核对。

证明 / 推导

证. 设

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

与

η_{1}, \dots, η_{n - r}

都是

A x = 0

的基础解系。根据基础解系的定义，

A x = 0

的任一解都能由

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

线性表示；而每个

η_{j}

都是解，故

η_{j}

可由

ξ

组表示。同理，每个

ξ_{i}

也可由

η

组表示。因此这两组向量可以互相线性表示，即它们等价；而等价的向量组秩相等，都等于

n - r

。至于个数，

n - r

就是解空间的维数，解空间的任何一个基（即基础解系）都恰含这么多向量，故与取法无关。

■

举例说明

对于

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

（这时

n = 3, r = 1, n - r = 2

）：

- 通常的取法：自由变量

(x_{2}, x_{3})

取

(1, 0), (0, 1)

，得

ξ_{1} = (- 1, 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (- 1, 0, 1)^{T}

。
- 另一种取法：

η_{1} = (1, - 1, 0)^{T}, η_{2} = (1, 1, - 2)^{T}

（二者都满足方程且不成比例，故线性无关，个数

= 2 = n - r

，所以也是基础解系）。

下面验证这两组等价：

η_{1} = - ξ_{1}

；设

η_{2} = a ξ_{1} + b ξ_{2} = (- a - b, a, b)^{T}

，比较各分量得

a = 1, b = - 2

，再检验第一个分量

- a - b = - 1 + 2 = 1

，与所设相符，故

η_{2} = ξ_{1} - 2 ξ_{2}

。可见两组确实可以互相表示。

■

3. 三个等价的说法：Ax=0 有非零解 ⟺ r(A)<n ⟺ A 的列向量线性相关★★ 必会

这三句话说的是同一件事，解题时可以随时互相转换。把

A

按列写成

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

，则

A x = x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n}

。于是

A x = 0

有非零解，就是存在不全为零的

x_{i}

使

\sum x_{i} α_{i} = 0

，而这就是列向量线性相关的定义；它又等价于

r (A) < n

。对于方阵的情形还可以补充一条：

r (A) < n ⟺ ∣ A ∣ = 0

。掌握这条等价链，就能在方程组、向量的线性相关性与矩阵可逆这三种说法之间自由转换。

证明 / 推导

证. 记

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

，

x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}

，则由矩阵乘法得

A x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} α_{i}

。

(

A x = 0

有非零解

⟺

列向量线性相关)：有非零解就是存在非零的

x

使

\sum x_{i} α_{i} = 0

，这就是

α_{1}, \dots, α_{n}

线性相关的定义；反之亦然。

(

⟺ r (A) < n

)：这是

n

元齐次方程组的基本判据。事实上

A

的列秩

= r (A)

，而由

n

个列向量组成的向量组线性相关

⟺

它的秩

< n ⟺ r (A) < n

。

当

m = n

即系数矩阵为方阵时，

r (A) < n ⟺ A

不可逆

⟺ ∣ A ∣ = 0

。因此这三个（连同方阵情形共四个）命题彼此等价。

■

举例说明

判断

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}, α_{2} = (2, 3, 4)^{T}, α_{3} = (3, 4, 5)^{T}

是否线性相关。

解. 以它们为列作矩阵

A

，这就是上一节例题的转置情形；作行变换可知

r (A) = 2 < 3

，故列向量线性相关。事实上

α_{1} - 2 α_{2} + α_{3} = (1 - 4 + 3, 2 - 6 + 4, 3 - 8 + 5)^{T} = 0

，这个相关关系就是由

A x = 0

的非零解

x = (1, - 2, 1)^{T}

给出的。

■

4. 含参数的齐次方程组：参数的取值改变 r(A)，从而改变基础解系所含向量的个数

含参数的齐次方程组是常见的题型。其要点在于：参数

λ

的取值会改变 $r (A)$ ，从而改变方程组有无非零解，以及基础解系所含向量的个数。当系数矩阵为方阵时，一般的做法是：先由

∣ A ∣ = 0

解出使秩下降的临界参数值，只有取这些值时才有非零解；再把每个临界值代回方程组，作行变换定出确切的

r (A)

与

n - r

；最后写出基础解系。必须注意，不能只回答有非零解，而不给出基础解系的个数与具体向量。

证明 / 推导

证. 对系数矩阵为

n

阶方阵的齐次方程组

A x = 0

，有非零解

⟺ ∣ A ∣ = 0

。设

∣ A ∣ = f (λ)

是

λ

的多项式，解方程

f (λ) = 0

即得临界值的集合。若参数不取临界值，则

∣ A ∣ \neq = 0

，

r (A) = n

，方程组只有零解；若取某个临界值，则由

∣ A ∣ = 0

可知

r (A) < n

，但秩究竟降到多少，还须作行变换加以确认（可能只降

1

，也可能降得更多），而

n - r

就是基础解系所含向量的个数。

■

举例说明

讨论

λ

取不同值时

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = 0

的解。

解. 系数行列式（第

2, 3

行各减去第

1

行）为

∣ A ∣ = 111 1 λ 1 11 λ = 100 1 λ - 1 0 10 λ - 1 = (λ - 1)^{2} .

- 当

λ \neq = 1

时：

∣ A ∣ \neq = 0

，

r (A) = 3 = n

，方程组只有零解，没有（非空的）基础解系。
- 当

λ = 1

时：三个方程都化为

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

，故

r (A) = 1

，

n - r = 2

，基础解系为

ξ_{1} = (- 1, 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (- 1, 0, 1)^{T}

，通解为

x = k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}

。

■

💡 小知识

齐次方程组的解空间就是矩阵的零空间，也叫核，英文是 null space。它在图像压缩、电路的基尔霍夫定律以及机器人运动学的冗余自由度分析里随处可见。那个 n−r 所量化的，就是一个系统还剩下多少可以自由支配的方向。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求齐次线性方程组

{x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 0, 2 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = 0

的基础解系与通解。难度 1

对系数矩阵作初等行变换：

A = (12 1 - 1 - 3 - 3) r_{2} - 2 r_{1} (10 1 - 3 - 3 3) r_{2} \div (- 3) r_{1} - r_{2} (1001 - 2 - 1) .

r (A) = 2

，

n = 3

，故基础解系含

n - r = 1

个向量。主元为

x_{1}, x_{2}

，自由变量为

x_{3}

，且

x_{1} = 2 x_{3}, x_{2} = x_{3}

。

取

x_{3} = 1

，得基础解系

ξ = (2, 1, 1)^{T}

。通解为

x = k (2, 1, 1)^{T} (k 为任意常数) .

验证：

2 + 1 - 3 = 0

，

4 - 1 - 3 = 0

，均成立。

■

例 2 求齐次线性方程组

{x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0, x_{1} + x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 0

的基础解系与通解。难度 2

对系数矩阵作初等行变换：

A = (11 - 1 1 1 - 1 - 1 3) r_{2} - r_{1} (10 - 1 2 1 - 2 - 1 4) r_{2} \div 2 r_{1} + r_{2} (1001 0 - 1 12) .

r (A) = 2

，

n = 4

，基础解系含

n - r = 2

个向量。主元为

x_{1}, x_{2}

，自由变量为

x_{3}, x_{4}

，且

x_{1} = - x_{4}, x_{2} = x_{3} - 2 x_{4}

。

取

(x_{3}, x_{4}) = (1, 0)

得

ξ_{1} = (0, 1, 1, 0)^{T}

；取

(x_{3}, x_{4}) = (0, 1)

得

ξ_{2} = (- 1, - 2, 0, 1)^{T}

。通解为

x = k_{1} (0, 1, 1, 0)^{T} + k_{2} (- 1, - 2, 0, 1)^{T} (k_{1}, k_{2} 任意) .

■

例 3 求齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, 2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 0, 3 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 0

的通解。难度 2

三行的系数成等差，可预感存在线性相关。对系数矩阵作初等行变换：

A = 123234345 r_{2} - 2 r_{1} r_{3} - 3 r_{1} 100 2 - 1 - 2 3 - 2 - 4 r_{3} - 2 r_{2} r_{2} \div (- 1) 100210320 r_{1} - 2 r_{2} 100010 - 1 20 .

出现一行全零，

r (A) = 2 < 3 = n

，基础解系含

1

个向量。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = x_{3}, x_{2} = - 2 x_{3}

。

取

x_{3} = 1

得

ξ = (1, - 2, 1)^{T}

，通解为

x = k (1, - 2, 1)^{T} (k 任意) .

验证：

1 - 4 + 3 = 0

，

2 - 6 + 4 = 0

，

3 - 8 + 5 = 0

，均成立。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设

3

阶矩阵

A, B

满足

r (A B) = r (B A) + 1

，则（　　）

A方程组 $(A + B) x = 0$ 只有零解
B方程组 $A x = 0$ 与方程组 $B x = 0$ 均只有零解
C方程组 $A x = 0$ 与方程组 $B x = 0$ 没有公共非零解
D方程组 $A B A x = 0$ 与方程组 $B A B x = 0$ 有公共非零解

2023 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　　）

A $k 334, k \in R$
B $k 3510, k \in R$
C $k - 1 12, k \in R$
D $k 158, k \in R$

2021 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

3

阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

B = (β_{1}, β_{2}, β_{3})

，若向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

可由向量组

β_{1}, β_{2}, β_{3}

线性表示，则（　　）

A $A x = 0$ 的解均为 $B x = 0$ 的解
B $A^{T} x = 0$ 的解均为 $B^{T} x = 0$ 的解
C $B x = 0$ 的解均为 $A x = 0$ 的解
D $B^{T} x = 0$ 的解均为 $A^{T} x = 0$ 的解

2020 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

4

阶矩阵

A = (a_{ij})

不可逆，

a_{12}

的代数余子式

A_{12} \neq = 0

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为矩阵

A

的列向量组，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则方程组

A^{*} x = 0

的通解为（　　）

A $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
B $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
C $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
D $x = k_{1} α_{2} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A

为

5 \times 4

矩阵，

r (A) = 3

，则齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系含（　）个解向量。

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

练习 2 · 选择题

n

元齐次线性方程组

A x = 0

只有零解的充要条件是（　）。

A $r (A) = n$
B $r (A) < n$
C $r (A) = m$ （ $m$ 为方程个数）
D $A$ 有一行全为零

练习 3 · 填空题

若齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, x_{1} + 3 x_{2} + a x_{3} = 0

有非零解，则

a =

____。

练习 4 · 选择题

设

A

为

3

阶矩阵，

r (A) = 1

，

ξ_{1}, ξ_{2}

是

A x = 0

的两个线性无关的解，则

A x = 0

的通解为（　）。

A $k ξ_{1}$ （ $k$ 任意）
B $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}$ （ $k_{1}, k_{2}$ 任意）
C $ξ_{1} + ξ_{2}$
D $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + k_{3} (ξ_{1} + ξ_{2})$ （ $k_{i}$ 任意）

练习 5 · 选择题

下列关于

n

元齐次线性方程组

A x = 0

的说法，正确的是（　）。

A $A x = 0$ 可能无解
B若 $r (A) = n$ ，则 $A x = 0$ 有非零解
C $A x = 0$ 的全体解对加法和数乘封闭
D基础解系所含向量个数等于方程个数

练习 6 · 选择题

设

ξ_{1} = (1, 0, 2, 3)^{T}

，

ξ_{2} = (0, 1, - 1, 1)^{T}

是齐次线性方程组

A x = 0

的一个基础解系，则下列向量中，虽然是

A x = 0

的解，但不能与

ξ_{1}

一起构成

A x = 0

的基础解系的是（　）。

A $ξ_{1} + ξ_{2}$
B $ξ_{2}$
C $ξ_{1} - ξ_{2}$
D $2 ξ_{1}$

练习 7 · 填空题

设

A

为

4

阶方阵，

A^{*}

是

A

的伴随矩阵。若

r (A) = 3

，则齐次线性方程组

A^{*} x = 0

的基础解系含 ____ 个解向量。

练习 8 · 解答题

设

A = 121132 - 1 a 4 25 b

。

(1)

说明：无论

a, b

取何值，齐次线性方程组

A x = 0

总有非零解；

(2)

求

a, b

的值，使

A x = 0

的基础解系含

2

个解向量，并求出此时的通解；

(3)

当

a = 4, b = 3

时，求

A x = 0

的通解。

2011 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

是

4

阶矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵。若

(1, 0, 1, 0)^{T}

是方程组

A x = 0

的一个基础解系，则

A^{*} x = 0

的基础解系可为（　　）

A $α_{1}, α_{3}$
B $α_{1}, α_{2}$
C $α_{1}, α_{2}, α_{3}$
D $α_{2}, α_{3}, α_{4}$

2005 年 · 数二 · 第 23 题 · 解答题 · 9 分

已知 3 阶矩阵

A

的第一行是

(a, b, c)

，

a, b, c

不全为零，矩阵

B = 123246 36 k

（

k

为常数），且

A B = O

，求线性方程组

A x = 0

的通解。