证明 / 推导设 λ0 的几何重数为 g，取属于 λ0 的 g 个线性无关的特征向量 ξ1,…,ξg，再补充 n−g 个向量，把它们扩充成 n 个线性无关的列向量，并以之为列拼成可逆矩阵 P=(ξ1,…,ξg,ηg+1,…,ηn)。由 Aξi=λ0ξi 知，AP 的前 g 列为 λ0ξi，故 P−1AP=(λ0EgOCB) 为分块上三角矩阵。相似矩阵的特征多项式相同（见相似矩阵一节），再用上一条中的分块结论，便得 ∣λE−A∣=∣λE−P−1AP∣=(λ−λ0)g∣λE−B∣, 可见 (λ−λ0)g 能整除特征多项式，故代数重数 k≥g。■举例说明A=(2012) 的特征值 λ=2 是二重根（代数重数为 2）。但 2E−A=(00−10) 的秩为 1，故几何重数 =2−1=1<2。这个重根只给出一个线性无关的特征向量，因此 A 是亏损的，不可对角化。这就是几何重数严格小于代数重数的典型例子。
4. 抽象矩阵：由矩阵方程确定特征值的可能取值，再由迹或行列式确定重数★★ 必会
如果题目不给出矩阵的具体元素，只给出 A 满足某个矩阵方程（例如 A2=A、A2=E、A2=3A−2E），那么既不必也无法去解特征方程。所依据的事实是：只要多项式 g 满足 g(A)=O，A 的每个特征值就都是 g(λ)=0 的根，于是特征值只能在有限个数中取值。但这只说明特征值可能取哪些值，要定出每个值出现的次数（即重数），还须再用一个整体的条件，通常是迹（=∑λi）或行列式（=∏λi），有时也用秩。
证明 / 推导设 λ 是 A 的特征值，α=0 满足 Aα=λα。由前面关于幂的规律 Amα=λmα，故对任一多项式 g 有 g(A)α=g(λ)α。若 g(A)=O，则 g(λ)α=0；因 α=0，必有 g(λ)=0，这就证明了每个特征值都是 g 的根。■举例说明设 3 阶矩阵 A 满足 A2=A，且 tr(A)=2，求 A 的特征值。由 g(λ)=λ2−λ=λ(λ−1)=0 知，特征值只能取 0 或 1。设其中有 a 个 1 与 3−a 个 0，则由 tr(A)=∑λi=a=2 可知，特征值中有两个 1 与一个 0，故所求特征值为 1,1,0。可见仅凭矩阵方程与迹便能完全确定特征值，不需要知道任何具体的元素。💡 小知识