相似矩阵

§11.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.86 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

4.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）特征值与特征向量的概念与计算逆矩阵③ 掌握后可解锁矩阵的对角化

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 相似的实质是共轭变换 $P^{- 1} (\cdot) P$ ，它与矩阵的乘法和求幂都相容。相似矩阵的各种不变量都由此而来★ 要懂

把

A

变形为

B = P^{- 1} A P

的运算，称为用可逆矩阵

P

作共轭。这种运算之所以有用，是因为共轭与矩阵的乘法和求幂完全相容：

P^{- 1} (A_{1} A_{2}) P P^{- 1} A^{k} P = (P^{- 1} A_{1} P) (P^{- 1} A_{2} P) = (P^{- 1} A P)^{k} .

于是，凡是由乘法、求幂和行列式所决定的量，例如特征多项式、特征值、迹、行列式、秩等等，在共轭之下都保持不变。相似矩阵之所以具有相同的这些量，原因就在于此。理解相似关系不必借助别的背景，只要抓住上面这条纯代数的相容性即可。

证明 / 推导

利用上述相容性直接计算

B = P^{- 1} A P

的特征多项式。由

λ E = P^{- 1} (λ E) P

，

∣ λ E - B ∣ = ∣ P^{- 1} (λ E - A) P ∣ = ∣ P^{- 1} ∣ ∣ λ E - A ∣ ∣ P ∣ = ∣ λ E - A ∣,

（最后一步用到

∣ P^{- 1} ∣∣ P ∣ = 1

）。可见两者的特征多项式完全相同，因此由它的系数所决定的特征值、迹与行列式也都保持不变。

■

举例说明

利用同一条相容性，还可以直接得到迹的不变性。由

tr (X Y) = tr (Y X)

，

tr (B) = tr (P^{- 1} (A P)) = tr ((A P) P^{- 1}) = tr (A) .

这一性质在求矩阵的幂时很有用：如果

A = P Λ P^{- 1}

，则

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

，这就把不易计算的

A^{k}

化为对角矩阵的幂

Λ^{k}

。这也是下一节中对角化方法的基础。

2. 判定相似的基本方法：不变量只能用于否定，要肯定相似，须化到同一个 $Λ$ ★★ 必会

相似的必要条件，即特征值相同、迹相同、行列式相同、秩相同，只能用来否定：只要有一条不符合，就可以断定两个矩阵不相似。要肯定两个矩阵相似，最常用的办法是证明它们都可以对角化，并且特征值完全相同（重数也相同）。这是因为此时二者都相似于同一个对角矩阵

Λ

，再由相似关系的传递性，即得二者相似。因此判断两个矩阵是否相似时，通常先分别对角化，再比较所得的对角矩阵。

证明 / 推导

设

A, B

都可以对角化，且特征值相同，那么存在可逆矩阵

P, Q

使

P^{- 1} A P = Λ = Q^{- 1} B Q

（同一个

Λ

，只需把对角元按同样的次序排列）。于是

A = P Λ P^{- 1}

，而

Λ = Q^{- 1} B Q

，代入得

A = P (Q^{- 1} B Q) P^{- 1} = (Q P^{- 1})^{- 1} B (Q P^{- 1}) .

令

C = Q P^{- 1}

，它是可逆的，则

C^{- 1} B C = A

，即

A \sim B

。

■

举例说明

判断

A = (1221)

与

B = (- 1 0 03)

是否相似。

A

的特征多项式为

(λ - 1)^{2} - 4 = (λ - 3) (λ + 1)

，特征值

3, - 1

互异，故

A

可以对角化。又

B

本身就是对角矩阵，其特征值为

- 1, 3

。两个矩阵的特征值相同，并且都可以对角化，因此都相似于

diag (- 1, 3)

，从而

A \sim B

。

3. 更精细的必要条件 $r (λ_{0} E - A) = r (λ_{0} E - B)$ ，它可以区分特征值完全相同的矩阵★★ 必会

迹、行列式和秩都只反映特征值的某种综合信息，对于特征值完全相同的两个矩阵无法加以区分。这时需要使用更精细的必要条件：

A \sim B \Rightarrow r (λ_{0} E - A) = r (λ_{0} E - B)

对一切

λ_{0}

都成立。它反映的是每个特征值的几何重数。一个典型的应用是：对于

k

重特征值

λ_{0}

，矩阵

A

可以对角化

⟺ r (λ_{0} E - A) = n - k

。

证明 / 推导

设

B = P^{- 1} A P

（

P

可逆）。由

λ_{0} E = P^{- 1} (λ_{0} E) P

，

λ_{0} E - B = P^{- 1} (λ_{0} E) P - P^{- 1} A P = P^{- 1} (λ_{0} E - A) P .

用可逆矩阵左乘或右乘不改变矩阵的秩，所以

r (λ_{0} E - B) = r (λ_{0} E - A)

。

■

举例说明

A = (1001)

与

B = (1011)

的特征值都是

1, 1

，迹、行列式与秩也都相等。取

λ_{0} = 1

：

r (E - A) = r (0000) = 0

，而

r (E - B) = r (00 - 1 0) = 1

，两者不等，故

A

与

B

不相似。特征值相同却不相似，原因就在于

B

是亏损矩阵，不能对角化，而

A

可以对角化。

4. $A B$ 与 $B A$ 的非零特征值完全相同；其中有一个可逆时，二者相似

对于两个方阵

A, B

，乘积

A B

与

B A

一般并不相等，但是它们的非零特征值完全相同，因而

tr (A B) = tr (B A)

、

∣ A B ∣ = ∣ B A ∣

恒成立。还有更强的结论：只要 $A$ 或 $B$ 可逆，就有 $A B \sim B A$ 。这一结论在计算

tr (A B)

、比较

A B

与

B A

，以及处理秩为一的矩阵

α β^{T}

的有关问题时都很有用。

证明 / 推导

若

A

可逆，则

A^{- 1} (A B) A = (A^{- 1} A) B A = B A

，故

A B \sim B A

（这里作共轭的矩阵取

A

）。同理，当

B

可逆时，改用

B

作共轭即可。在一般情形下，也能证明非零特征值相同。设

A B x = λ x

，

λ \neq = 0

，令

y = B x

，则

y \neq = 0

（否则

λ x = A B x = A y = 0

，与

λ \neq = 0, x \neq = 0

矛盾），且

B A y = B (A B x) = λ B x = λ y

，这说明

λ

也是

B A

的特征值。由

A, B

的地位是对称的，反过来的结论也成立。

■

举例说明

取

α = (1, 2, 3)^{T}

、

β = (1, 1, 1)^{T}

。把

α

看成

3 \times 1

矩阵，把

β^{T}

看成

1 \times 3

矩阵，则

α β^{T} = 123123123

是

3

阶的秩为一的矩阵，而

β^{T} α = 1 + 2 + 3 = 6

是

1

阶矩阵，即一个数。

β^{T} α

的唯一特征值

6

恰好是

α β^{T}

的非零特征值（其余两个为

0

），且

tr (α β^{T}) = 1 + 2 + 3 = 6 = β^{T} α

，这正好验证了非零特征值相同、迹也相等的结论。

💡 小知识

判断两个矩阵是否相似，最彻底的依据是若尔当标准形：任何复方阵都相似于一个由若尔当块拼成的矩阵，若不计各块的排列次序，这个矩阵是唯一的。考研只取其中最漂亮的特例，也就是恰好能拼成纯对角块、可以对角化的那一类。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

A = (3001)

，

P = (2111)

，求

B = P^{- 1} A P

，并验证

A

与

B

的迹、行列式、特征值都相同。难度 1

第一步：求 $P^{- 1}$ 。

∣ P ∣ = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1

，故

P^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)

。

第二步：按 $B = P^{- 1} A P$ 逐步相乘。

A P = (3001) (2111) = (6131),

B = P^{- 1} (A P) = (1 - 1 - 1 2) (6131) = (5 - 4 2 - 1) .

第三步：验证三个不变量。

- 迹：

tr (B) = 5 + (- 1) = 4 = tr (A) = 3 + 1

；
- 行列式：

∣ B ∣ = 5 \times (- 1) - 2 \times (- 4) = 3 = ∣ A ∣ = 3 \times 1

；
- 特征值：

B

的特征多项式

λ^{2} - 4 λ + 3 = (λ - 1) (λ - 3)

，特征值

1, 3

，与

A

的对角元

3, 1

一致。

这正体现了「相似变换

P^{- 1} A P

保持迹、行列式、特征值」这一核心事实。

例 2 已知

A = a 00 012021

与

B = 200030 00 b

相似，求

a, b

。难度 2

思路：相似的必要条件——迹相等、行列式相等——先列方程定参数。

迹相等：

tr (A) = a + 1 + 1 = a + 2

，

tr (B) = 2 + 3 + b = 5 + b

，故

a + 2 = 5 + b \Rightarrow a = b + 3. (1)

行列式相等： 按第一行展开，

∣ A ∣ = a 1221 = a (1 - 4) = - 3 a

；

∣ B ∣ = 2 \times 3 \times b = 6 b

，故

- 3 a = 6 b \Rightarrow a = - 2 b . (2)

解方程组： 由

(1) (2)

得

b + 3 = - 2 b

，即

b = - 1

，代回得

a = 2

。

验证（不变量相等只是必要条件，需回代确认特征值一致）： 取

a = 2

，右下块

(1221)

的特征值为

1 \pm 2

，即

3, - 1

，故

A

的特征值为

{2, 3, - 1}

；而

B = diag (2, 3, - 1)

的特征值也是

{2, 3, - 1}

。两者特征值相同且都可对角化，确实相似。

故

a = 2, b = - 1

。

例 3 设

3

阶矩阵

A

与对角矩阵

Λ = diag (1, 2, - 2)

相似，求

tr (A)

、

∣ A ∣

、

r (A)

及

∣ A - 3 E ∣

。难度 2

相似矩阵有相同的迹、行列式、秩与特征值，而

A

的特征值就是

Λ

的对角元

1, 2, - 2

。

-

tr (A) = tr (Λ) = 1 + 2 + (- 2) = 1

；
-

∣ A ∣ = ∣Λ∣ = 1 \times 2 \times (- 2) = - 4

；
-

r (A)

：三个特征值全非零，

A

可逆，

r (A) = 3

。

求 $∣ A - 3 E ∣$ 。 由

A \sim Λ

即

A = P Λ P^{- 1}

，两边同减

3 E

：

A - 3 E = P Λ P^{- 1} - 3 E = P (Λ - 3 E) P^{- 1},

（用到

3 E = P (3 E) P^{- 1}

），故

A - 3 E \sim Λ - 3 E

，行列式相等：

∣ A - 3 E ∣ = ∣Λ - 3 E ∣ = (1 - 3) (2 - 3) (- 2 - 3) = (- 2) (- 1) (- 5) = - 10.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2022 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，

Λ = 100 0 - 1 0 000

，则

A

的特征值为

1, - 1, 0

的充分必要条件是（　　）

A存在可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $A = P Λ Q$ .
B存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $A = P Λ P^{- 1}$ .
C存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $A = Q Λ Q^{- 1}$ .
D存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $A = P Λ P^{T}$ .

2020 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为

3

阶矩阵，

α_{1}, α_{2}

为

A

的属于特征值

1

的线性无关的特征向量，

α_{3}

为

A

的属于特征值

- 1

的特征向量，则满足

P^{- 1} A P = 100 0 - 1 0 001

的可逆矩阵

P

可为（　　）

A $(α_{1} + α_{3}, α_{2}, - α_{3})$
B $(α_{1} + α_{2}, α_{2}, - α_{3})$
C $(α_{1} + α_{3}, - α_{3}, α_{2})$
D $(α_{1} + α_{2}, - α_{3}, α_{2})$

2020 年 · 数二 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设

A

为

2

阶矩阵，

P = (α, A α)

，其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向量。
（Ⅰ）证明

P

为可逆矩阵；
（Ⅱ）若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

，求

P^{- 1} A P

，并判断

A

是否相似于对角矩阵。

2019 年 · 数二 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

已知矩阵

A = - 2 20 - 2 x 0 1 - 2 - 2

与

B = 200 1 - 1 0 00 y

相似。
（Ⅰ）求

x, y

；
（Ⅱ）求可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P = B

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

A = (2314)

与

B

相似，则

tr (B) + ∣ B ∣ =

____。

练习 2 · 选择题

设

n

阶矩阵

A

与

B

相似，则下列结论中不一定成立的是（　）。

A $A$ 与 $B$ 的特征值完全相同
B $tr (A) = tr (B)$
C $r (A) = r (B)$
D $A$ 与 $B$ 有相同的特征向量

练习 3 · 填空题

设

3

阶矩阵

A

与

diag (2, - 1, 3)

相似，则

∣ A^{2} - A ∣ =

____。

练习 4 · 选择题

下列矩阵中，与

(10 0 - 2)

相似的是（　）。

A $(01 2 - 1)$
B $(- 1 0 32)$
C $(1021)$
D $(01 - 2 3)$

练习 5 · 选择题

关于

A = (1001)

与

B = (1011)

，正确的判断是（　）。

A相似，因为它们的特征值都是 $1, 1$
B不相似，因为 $B$ 不可对角化而 $A$ 可对角化
C相似，因为它们的迹与行列式都相等
D相似，因为它们的秩都为 $2$

练习 6 · 选择题

设

A = 100110002

，则下列矩阵中与

A

相似的是（　）

A $100010002$
B $100010012$
C $100210302$
D $200020011$

练习 7 · 填空题

设

A

为

3

阶矩阵，满足

A^{2} = A

且

r (A) = 2

，则

∣ A + 2 E ∣ =

____。

练习 8 · 解答题

设

A = 001010100, B = 100010 00 - 1 .

(1) 证明

A

与

B

相似；

(2) 求可逆矩阵

P

，使

P^{- 1} A P = B

；

(3) 求

A^{2025}

。

2018 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

下列矩阵中，与矩阵

100110011

相似的为（　　）

A $100110 - 1 11$
B $100010 - 1 11$
C $100110 - 1 01$
D $100010 - 1 01$

2018 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设

A

为

3

阶矩阵，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为线性无关的向量组．若

A α_{1} = 2 α_{1} + α_{2} + α_{3}

，

A α_{2} = α_{2} + 2 α_{3}

，

A α_{3} = - α_{2} + α_{3}

，则

A

的实特征值为 ___。

相似矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 相似的实质是共轭变换 P−1(⋅)P，它与矩阵的乘法和求幂都相容。相似矩阵的各种不变量都由此而来★ 要懂

2. 判定相似的基本方法：不变量只能用于否定，要肯定相似，须化到同一个 Λ★★ 必会

3. 更精细的必要条件 r(λ0​E−A)=r(λ0​E−B)，它可以区分特征值完全相同的矩阵★★ 必会

4. AB 与 BA 的非零特征值完全相同；其中有一个可逆时，二者相似

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 相似的实质是共轭变换 $P^{- 1} (\cdot) P$ ，它与矩阵的乘法和求幂都相容。相似矩阵的各种不变量都由此而来★ 要懂

2. 判定相似的基本方法：不变量只能用于否定，要肯定相似，须化到同一个 $Λ$ ★★ 必会

3. 更精细的必要条件 $r (λ_{0} E - A) = r (λ_{0} E - B)$ ，它可以区分特征值完全相同的矩阵★★ 必会

4. $A B$ 与 $B A$ 的非零特征值完全相同；其中有一个可逆时，二者相似