A 可对角化 ⟺ 有 n 个线性无关的特征向量，这条判据并不是凭空规定的，而是把矩阵等式按列拆开之后的必然结果。将 P−1AP=Λ 改写成 AP=PΛ，再把 P 按列分块，就可以看出：它的每一列都必须是特征向量，而对角元必须是相应的特征值。明白了这一由来，也就清楚了为什么找不出 n 个线性无关的特征向量与不可对角化是同一回事。
证明 / 推导证. 设 P=(ξ1,…,ξn)，Λ=diag(λ1,…,λn)。按列计算，得 APPΛ=(Aξ1,…,Aξn)=(λ1ξ1,…,λnξn). 由 AP=PΛ 逐列相等，即得 Aξi=λiξi，这说明每个 ξi 都是属于 λi 的特征向量；而 P 可逆 ⟺ξ1,…,ξn 线性无关。把两方面合起来，就得到 A 可对角化 ⟺ 有 n 个线性无关的特征向量。■举例说明从反面看更清楚。矩阵 A=(2012) 只有一个特征方向 ξ=(1,0)T（λ=2 是二重特征值，但几何重数为 1）。如果要拼出可逆的 P=(ξ1,ξ2)，那么它的两列都必须是特征向量，而这样的向量只能落在同一条直线上，因而总是线性相关，于是 P 不可逆。既然找不出 2 个线性无关的特征向量，A 就不可对角化。
2. 具体计算时只需检查重根：单根自动满足，k 重根则验证 r(λ0E−A)=n−k★★ 必会
判定一个矩阵能否对角化，具体做法只有一条：每个特征值的几何重数 n−r(λiE−A) 都等于它的代数重数。对于单根（重数为 1），几何重数必为 1（因为它夹在 1 与 1 之间），条件自动满足，不必检验；因此只需在重根上下功夫。设 k 重特征值为 λ0，只要算一次秩 r(λ0E−A)：如果它等于 n−k，那么特征向量的个数已经配满；否则 A 就不可对角化。含参数的题目就是把这一步反过来，即令 r(λ0E−A)=n−k，从中解出参数。
最简便的充分判据是：n 个互不相同的特征值 ⇒ 必可对角化。这是因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，n 个互异的特征值就直接给出 n 个线性无关的特征向量。但是必须注意，这个条件只是充分的，并不必要：可对角化的矩阵也可以有重根。例如单位矩阵 E 的特征值全是重根，而它本身就是对角矩阵；实对称矩阵也常常带有重根而仍然可以对角化。因此见到重根时不能立即断定不可对角化，仍须回到几何重数去检验。