矩阵的对角化

线性代数 · 特征值与特征向量

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 判据：有没有 $n$ 个线性无关的特征向量

定理.

n

阶方阵

A

可对角化

⟺

A

有

n

个线性无关的特征向量。

为什么是这一条：设

P = (α_{1}, \dots, α_{n})

（按列），则

A P = (A α_{1}, \dots, A α_{n}) = (λ_{1} α_{1}, \dots, λ_{n} α_{n}) = P Λ.

要能写成

P^{- 1} A P = Λ

，就要

P

可逆，即那

n

列线性无关。

所以 $P$ 的列必须正好是特征向量，而且凑得够 $n$ 个无关的。

实际用的判据（更好查）：对每个不同的特征值

λ_{i}

，设代数重数为

k_{i}

、几何重数为

s_{i} = n - r (A - λ_{i} E),

则

A 可对角化 ⟺ 每个 λ_{i} 都有 s_{i} = k_{i} .

因为

\sum k_{i} = n

恒成立，只要有一个

s_{i} < k_{i}

，无关特征向量的总数就不足

n

。

两条立刻可用的充分条件：

① $n$ 个特征值两两不同 $\Rightarrow$ 可对角化。 单根的

s = k = 1

，而不同特征值的特征向量无关，正好凑够

n

个。

② 实对称矩阵必可对角化（下一节）。

都只是充分不必要：特征值有重根也可能可对角化（

E

就是）。

2. 对角化的做法： $P$ 的列与 $Λ$ 的对角元一一对应

流程：

① 解 $∣ A - λ E ∣ = 0$ ，得全部特征值及其重数。

② 对每个 $λ_{i}$ 解 $(A - λ_{i} E) x = 0$ ，求出基础解系。

③ 检查个数：所有基础解系的向量加起来是否够

n

个。不够就不能对角化，到此为止。

④ 够了就拼：把这

n

个向量按列拼成

P

，对应的特征值按同样顺序排成

Λ

，则

P^{- 1} A P = Λ

。

第 ④ 步的顺序是全部要害：

P

的第

j

列是属于

λ_{j}

的特征向量，

Λ

的第

j

个对角元就必须是

λ_{j}

。换了 $P$ 的列序， $Λ$ 的对角元要跟着换。

$P$ 和 $Λ$ 都不唯一：列的顺序可以换，每个特征向量还可以乘非零常数。所以标准答案不止一种，但两者必须配套。

不必真的去算 $P^{- 1}$ 。题目要

P

和

Λ

就写出来，要验证可以用

A P = P Λ

——这个式子里没有逆，好算得多。

3. 对角化的用处：算 $A^{k}$

可对角化最主要的用途是把高次幂算出来。由

A = P Λ P^{- 1}

，

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}, Λ^{k} = λ_{1}^{k} ⋱ λ_{n}^{k} .

这一次必须真的求 $P^{- 1}$ （上一条里不用求，是因为那里只验证不计算）。

流程：对角化

\to

求

P^{- 1}

\to

三个矩阵乘起来。二阶时

P^{- 1}

用公式

(a c b d)^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

几秒钟就出来。

乘的顺序是 $P \cdot Λ^{k} \cdot P^{- 1}$ ，三个因子一个都不能调位置（矩阵乘法不交换）。

自查：算完取行列式核对——

∣ A^{k} ∣

应等于

(λ_{1} \dots λ_{n})^{k}

。另外

k = 1

时结果应当退回

A

本身，这是最直接的一刀。

4. 反向题：由对角化的条件反推参数

常考形态：矩阵含参数

a

，问

a

取何值时

A

可对角化。

解法：

① 先算特征值（通常含

a

或恰好与

a

无关）。

② 找出重根——单根不会出问题，问题只出在重根上。

③ 对每个重根 $λ_{0}$ ，要求 $s = k$ ，即

r (A - λ_{0} E) = n - k .

把这个秩条件写出来，就是关于

a

的方程或不等式。

④ 解出 $a$ 。

要点：只需对重根检查。 单根的

s

恒等于

1 = k

，自动满足，不必管。

另一类反向题：已知

A

可对角化且给出部分特征值 / 特征向量，反求矩阵

A

本身。办法是由

A = P Λ P^{- 1}

直接乘出来。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断 $A$ 能否对角化

第一步：解

∣ A - λ E ∣ = 0

，列出全部特征值及其重数

k_{i}

。

第二步：若

n

个特征值两两不同，直接判可对角化，收工。

第三步：否则只对重根算

s_{i} = n - r (A - λ_{i} E)

。

第四步：每个重根都满足

s_{i} = k_{i}

才可对角化；有一个不满足就不能。

例例. 判断

A = (3113)

与

C = 200120003

能否对角化。

第一步，

A

的特征值是

2, 4

；

C

的是

2

（二重）与

3

。

第二步，

A

的

n

个特征值两两不同

\Rightarrow

直接判可对角化，收工。

第三步，

C

有重根

λ = 2

，只对它算：

r (C - 2 E) = 2

，

s = 3 - 2 = 1

。

第四步，

s = 1 \neq = 2 = k

\Rightarrow

C

不能对角化。

「只对重根算」是关键：单根的几何重数必然是

1

，恒等于它的代数重数，永远满足条件——算它是白费工夫。

求 $P$ 与 $Λ$

第一步：求出全部特征值，并对每个解

(A - λ_{i} E) x = 0

得基础解系。

第二步：数一数所有基础解系向量的总数是否够

n

——不够就到此为止。

第三步：按列拼成

P

，把对应的特征值按同样顺序排成

Λ

。

第四步：用

A P = P Λ

验证（不必求逆），逐列核对。

例例. 对

A = (3113)

求

P

与

Λ

。

第一步，前面已求出：

λ_{1} = 2

配

ξ_{1} = (1, - 1)^{T}

，

λ_{2} = 4

配

ξ_{2} = (1, 1)^{T}

。

第二步，向量总数

2 = n

✓ 够了。

第三步，按列拼，顺序要对应：

P = (1 - 1 11), Λ = (2004) .

第四步，用

A P = P Λ

验证（不必求逆），逐列核对：

A ξ_{1} = (2, - 2)^{T} = 2 ξ_{1}

✓

A ξ_{2} = (4, 4)^{T} = 4 ξ_{2}

✓

若把

Λ

写成

diag (4, 2)

而

P

的列不跟着换，这一验当场就不过——顺序对应是这一步唯一要守的规矩。

用对角化求 $A^{k}$

第一步：先对角化，得到

P

与

Λ

。

第二步：求

P^{- 1}

（二阶用「主对调、副变号、除以行列式」的公式）。

第三步：

Λ^{k}

就是每个对角元各取

k

次方。

第四步：按

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

乘开，顺序不能动；令

k = 1

核对应当退回

A

。

例例. 接上题，求

A^{k}

。

第一步，

P = (1 - 1 11)

、

Λ = diag (2, 4)

。

第二步，

∣ P ∣ = 2

，用二阶公式：

P^{- 1} = \frac{1}{2} (11 - 1 1)

。

第三步，

Λ^{k} = diag (2^{k}, 4^{k})

。

第四步，按

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

乘开：

A^{k} = \frac{1}{2} (2^{k} + 4^{k} 4^{k} - 2^{k} 4^{k} - 2^{k} 2^{k} + 4^{k}) .

令

k = 1

核对：

\frac{1}{2} (6226) = A

✓

令 $k = 1$ 退回 $A$ 是这类题最便宜的验算——顺序乘错、

P^{- 1}

算错都会在这里露出来。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$P$ 的列序与 $Λ$ 的对角元不配套

P

的第

j

列是属于

λ_{j}

的特征向量，

Λ

的第

j

个对角元就必须是

λ_{j}

。

调换了

P

的列，

Λ

要跟着调。

用 $A P = P Λ$ 逐列核对，错位的那一列立刻露馅。

以为有重根就不能对角化

重根可能不能，但不是一定。

E

的特征值全是

1

（

n

重根），它本身就是对角阵。

分界在

s = k

上，也就是

r (A - λ_{0} E)

等不等于

n - k

，不在「有没有重根」上。

以为「两两不同」是充要条件

它只是充分条件。

必要条件是「有

n

个无关特征向量」，等价于「每个重根都满足

s = k

」。

判断题常把充分说成充要，看到「当且仅当特征值互不相同」就该警觉。

求 $A^{k}$ 时忘了乘 $P^{- 1}$ 或顺序写反

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

，三个因子缺一不可、顺序不能动。

只写

Λ^{k}

算的是另一个矩阵（那是

A

在特征基下的样子，不是

A^{k}

本身）。

令 $k = 1$ 核对：结果必须退回

A

。这一刀几乎能抓住所有这类错误。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 判据

练 1

n

阶方阵

A

可对角化的充要条件是（）。

A $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
B $A$ 的特征值两两不同
C $A$ 可逆
D $A$ 是对称矩阵

练 2

若

n

阶方阵的

n

个特征值两两不同，则它 ________（填「一定」或「不一定」）可对角化。

练 3

设

P^{- 1} A P = Λ

，则

P

的列向量是（）。

A $A$ 的行向量
B任意可逆矩阵的列
C $Λ$ 的列
D $A$ 的特征向量

练 4

单位阵

E

________（填「能」或「不能」）对角化。

第二组 · 重数与判断

练 5

设

A

为

3

阶方阵，

λ = 2

是二重根且

r (A - 2 E) = 2

，则

A

________（填「能」或「不能」）对角化。

练 6

A = (1011)

（）。

A可对角化，因为可逆
B不可对角化
C可对角化，相似于 $E$
D无法判断

练 7

3

阶方阵

A

的

λ = 5

为二重根，要使

A

可对角化，须

r (A - 5 E) =

________。

练 8

判断可对角化时，需要检查

s_{i} = k_{i}

的是（）。

A全部特征值
B只有最大的特征值
C只有非零特征值
D只有重根

第三组 · 求 $P$ 与 $A^k$

练 9

设

P = (ξ_{1}, ξ_{2})

，

ξ_{1}, ξ_{2}

分别属于特征值

4, 7

，则

Λ =

________。

练 10

验证对角化结果时，最省力的式子是（）。

A $A P = P Λ$
B $P^{- 1} A P = Λ$
C $A = P^{- 1} Λ P$
D $∣ A ∣ = ∣Λ∣$

练 11

设

A = P Λ P^{- 1}

，

Λ = (1002)

，则

Λ^{5} =

________。

练 12

设

A = (10 a 1)

可对角化，则（）。

A $a = 0$
B $a \neq = 0$
C $a$ 为任意实数
D $a = 1$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

矩阵的对角化

先打基础

1. 判据：有没有 n 个线性无关的特征向量

2. 对角化的做法：P 的列与 Λ 的对角元一一对应

3. 对角化的用处：算 Ak

4. 反向题：由对角化的条件反推参数

常用结构

判断 A 能否对角化

求 P 与 Λ

用对角化求 Ak

基础易错

P 的列序与 Λ 的对角元不配套

以为有重根就不能对角化

以为「两两不同」是充要条件

求 Ak 时忘了乘 P−1 或顺序写反

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 判据：有没有 $n$ 个线性无关的特征向量

2. 对角化的做法： $P$ 的列与 $Λ$ 的对角元一一对应

3. 对角化的用处：算 $A^{k}$

判断 $A$ 能否对角化

求 $P$ 与 $Λ$

用对角化求 $A^{k}$

$P$ 的列序与 $Λ$ 的对角元不配套

求 $A^{k}$ 时忘了乘 $P^{- 1}$ 或顺序写反