矩阵的对角化

§12.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.96 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

3.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）特征值与特征向量的概念与计算相似矩阵向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁实对称矩阵的正交对角化

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 判据的由来：把 $P^{- 1} A P = Λ$ 按列拆开，即可看出 $P$ 的列必是特征向量★ 要懂

A

可对角化

⟺

它有

n

个线性无关的特征向量。这条判据并非凭空规定，而是把矩阵等式按列拆开后的必然结果。把

P^{- 1} A P = Λ

改写成

A P = P Λ

，再把

P

按列分块，就会看到它的每一列都必须是特征向量，而对角元必须是相应的特征值。明白了这一由来，才能理解为什么凑不出

n

个线性无关的特征向量与不可对角化是同一回事。

证明 / 推导

设

P = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})

，

Λ = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

。按列计算，得

A P P Λ = (A ξ_{1}, \dots, A ξ_{n}) = (λ_{1} ξ_{1}, \dots, λ_{n} ξ_{n}) .

A P = P Λ

逐列相等，即

A ξ_{i} = λ_{i} ξ_{i}

，这说明每个

ξ_{i}

都是属于

λ_{i}

的特征向量；而

P

可逆

⟺ ξ_{1}, \dots, ξ_{n}

线性无关。两者合起来就是：

A

可对角化

⟺

有

n

个线性无关的特征向量。

■

举例说明

从反面看更清楚：

A = (2012)

只有一个特征方向

ξ = (1, 0)^{T}

，因为

λ = 2

是二重特征值而几何重数只有

1

。若要构成可逆的

P = (ξ_{1}, ξ_{2})

，它的两列都必须是特征向量，然而这两列只能落在同一条直线上，必定线性相关，因此

P

不可逆。既然凑不出

2

个线性无关的特征向量，

A

就不可对角化。

2. 具体计算时只需检查重根：单根自动满足， $k$ 重根则验证 $r (λ_{0} E - A) = n - k$ ★★ 必会

判定能否对角化，实际的做法只有一条：每个特征值的几何重数 $n - r (λ_{i} E - A)$ 都等于它的代数重数。对单根，即重数为

1

的特征值，几何重数必为

1

，因为它夹在

1

与

1

之间，故自动满足，不必检查；因此只需对重根加以验证。对一个

k

重特征值

λ_{0}

，算出秩

r (λ_{0} E - A)

：如果它等于

n - k

，几何重数就配满了；否则

A

立即判定为不可对角化。含参数的题目，只是把这一步反过来，由

r (λ_{0} E - A) = n - k

解出参数。

证明 / 推导

几何重数就是齐次方程组

(λ_{0} E - A) x = 0

的解空间的维数，由秩–零化度定理，它等于

n - r (λ_{0} E - A)

。又已知

1 \leq

几何重数

\leq

代数重数，而各几何重数之和必须达到

n

，才能凑出

n

个线性无关的特征向量，故

A 可对角化 ⟺ \forall i, n - r (λ_{i} E - A) = k_{i} .

对单根，

k_{i} = 1

，这时

1 \leq

几何重数

\leq 1

，两端相等，故结论自然成立。

■

举例说明

（数三 1994）设

A = 0 x 1 010 1 y 0

有三个线性无关的特征向量，求

x, y

满足的条件。有

3

个线性无关的特征向量，即可对角化。先求特征值：

∣ λ E - A ∣ = (λ + 1) (λ - 1)^{2}

，得单根

- 1

与二重根

1

。单根 $- 1$ 自动满足，只需检验二重根 $1$ ：要求几何重数

= 2

，即

r (E - A) = 3 - 2 = 1

。而

E - A = 1 - x - 1 000 - 1 - y 1 \to 100000 - 1 - (x + y) 0

，要使秩为

1

，必须

x + y = 0

。故所求条件为

x + y = 0

。

3. 特征值互异是充分而非必要的条件：可以用它判定，但不能当作唯一标准★ 要懂

最简便的充分判据是：有 $n$ 个互不相同的特征值 $\Rightarrow$ 必可对角化。理由是属于不同特征值的特征向量一定线性无关，

n

个互异的特征值直接给出

n

个线性无关的特征向量。但必须注意，这个条件只是充分的，并不必要：可对角化的矩阵完全可以有重根。例如单位矩阵

E

的特征值全是重根，而它本身就是对角阵；实对称矩阵也常带重根而仍可对角化。所以遇到重根时不能立刻断定不可对角化，仍须回到几何重数去检验。

证明 / 推导

设

λ_{1}, \dots, λ_{n}

两两不同，

α_{i}

属于

λ_{i}

。若

\sum_{i} k_{i} α_{i} = 0

，则用

A

作用于该式，再与原式乘以

λ_{n}

后相减，如此反复，即可逐一消去

α_{n}, α_{n - 1}, \dots

；因为各

λ_{i} - λ_{j} \neq = 0

，所以可推出所有

k_{i} = 0

，故

α_{1}, \dots, α_{n}

线性无关。这就是上一节的结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。既有

n

个线性无关的特征向量，即知可对角化。

■

举例说明

（数三 1993 第 8 题，选择 3 分）

n

阶矩阵

A

具有

n

个不同的特征值，是

A

与对角矩阵相似的（　　）

(A) 充分必要条件.　(B) 充分非必要条件.　(C) 必要非充分条件.　(D) 既非充分又非必要条件.

充分：

n

个互异的特征值给出

n

个线性无关的特征向量，故必可对角化；不必要：例如单位矩阵

E

，其特征值全为

1

，并不互异，但它本身就是对角阵，当然可对角化。故这是充分非必要条件，选 B。本题考查的就是互异

\Rightarrow

可对角化，而可对角化未必互异这一层关系。

4. 对角化以后计算大为简化： $A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}$ 、 $f (A) = P f (Λ) P^{- 1}$ ★★ 必会

对角化在计算上最大的用处，是把难算的高次幂与矩阵多项式化为简单的运算：有了

A = P Λ P^{- 1}

，就有

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

与

f (A) = P f (Λ) P^{- 1}

，而

Λ^{k}

和

f (Λ)

只不过是把各个对角元分别乘方，或分别代入

f

。有两处细节必须注意：次序是

P Λ^{k} P^{- 1}

，而不是

P^{- 1} Λ^{k} P

；

P

的各列与

Λ

的各对角元始终一一对应，排列的次序不能错。

证明 / 推导

由

A = P Λ P^{- 1}

反复相乘，中间的

P^{- 1} P = E

逐个消去，得

A^{k} = (P Λ P^{- 1})^{k} = P Λ (P^{- 1} P) Λ \dots P^{- 1} = P Λ^{k} P^{- 1} .

于是对多项式

f (x) = \sum_{j} a_{j} x^{j}

，有

f (A) = \sum_{j} a_{j} A^{j} = \sum_{j} a_{j} P Λ^{j} P^{- 1} = P (\sum_{j} a_{j} Λ^{j}) P^{- 1} = P f (Λ) P^{- 1}

，其中

f (Λ) = diag (f (λ_{1}), \dots, f (λ_{n}))

。

■

举例说明

（数三 2016）设

A = 020 - 1 - 3 0 100

，求

A^{99}

。先对角化：

∣ λ E - A ∣ = λ (λ + 1) (λ + 2)

，特征值

- 1, - 2, 0

互不相同，故可对角化，相应的特征向量为

ξ_{1} = (1, 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (1, 2, 0)^{T}, ξ_{3} = (3, 2, 2)^{T}

。令

P = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})

，则

P^{- 1} A P = diag (- 1, - 2, 0)

。再用上述公式：

A^{99} = P diag ((- 1)^{99}, (- 2)^{99}, 0) P^{- 1} = P diag (- 1, - 2^{99}, 0) P^{- 1}

，算得

A^{99} = 2^{99} - 2 2^{100} - 2 0 1 - 2^{99} 1 - 2^{100} 0 2 - 2^{98} 2 - 2^{99} 0 .

求高次幂的困难全部由

Λ^{99}

化解，这就是对角化在计算上最实用之处。

💡 小知识

对角化相当于给矩阵换一副合适的坐标：换过之后，原本相互纠缠的线性变换就分解成几条互不干扰的伸缩轴。主成分分析、量子力学里的能级、搜索引擎的排名，背后做的都是同一件事，把一个大矩阵对角化。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断

A = (2123)

是否可对角化；若可，求可逆矩阵

P

与对角阵

Λ

使

P^{- 1} A P = Λ

。难度 1

第一步：求特征值。

∣ λ E - A ∣ = λ - 2 - 1 - 2 λ - 3 = (λ - 2) (λ - 3) - 2 = λ^{2} - 5 λ + 4 = (λ - 1) (λ - 4),

特征值

λ_{1} = 1, λ_{2} = 4

互不相同。

2

阶矩阵有

2

个不同特征值，必可对角化。

第二步：求特征向量。

-

λ_{1} = 1

：

(E - A) = (- 1 - 1 - 2 - 2) \to x_{1} = - 2 x_{2}

，取

ξ_{1} = (2, - 1)^{T}

；
-

λ_{2} = 4

：

(4 E - A) = (2 - 1 - 2 1) \to x_{1} = x_{2}

，取

ξ_{2} = (1, 1)^{T}

。

第三步：拼装（ $P$ 的列与 $Λ$ 的对角元同序）。

P = (2 - 1 11), Λ = (1004), P^{- 1} A P = Λ.

（

∣ P ∣ = 3 \neq = 0

，

P

确可逆。）

例 2 判断

A = 200110101

是否可对角化；若可，求

P

与

Λ

。难度 2

第一步：求特征值。

A

是上三角矩阵，特征值即对角元：

λ_{1} = 2

（单根），

λ_{2} = λ_{3} = 1

（二重）。

第二步：检验重根 $λ = 1$ 的几何重数。 解

(E - A) x = 0

：

E - A = - 1 00 - 1 00 - 1 00,

秩为

1

，几何重数

= 3 - 1 = 2 =

代数重数，故

λ = 1

配满特征向量，

A

可对角化。由

x_{1} = - x_{2} - x_{3}

取基础解系

ξ_{2} = (- 1, 1, 0)^{T}, ξ_{3} = (- 1, 0, 1)^{T}

。

第三步：求 $λ = 2$ 的特征向量。 解

(2 E - A) x = 0

：

2 E - A = 000 - 1 10 - 1 01 \to x_{2} = 0, x_{3} = 0,

x_{1}

自由，取

ξ_{1} = (1, 0, 0)^{T}

。

第四步：拼装。

P = 100 - 1 10 - 1 01, Λ = 200010001, P^{- 1} A P = Λ.

（

∣ P ∣ = 1 \neq = 0

。）可见「有重根」并不妨碍对角化，关键是几何重数

=

代数重数。

例 3 设

A = (2103)

，先将其对角化，再求

A^{n}

。难度 2

第一步：对角化。

A

为下三角，特征值

λ_{1} = 2, λ_{2} = 3

互异，可对角化。

-

λ_{1} = 2

：

(2 E - A) = (0 - 1 0 - 1) \to x_{1} = - x_{2}

，取

ξ_{1} = (1, - 1)^{T}

；
-

λ_{2} = 3

：

(3 E - A) = (1 - 1 00) \to x_{1} = 0

，取

ξ_{2} = (0, 1)^{T}

。

令

P = (1 - 1 01)

，

Λ = (2003)

，则

P^{- 1} A P = Λ

，

P^{- 1} = (1101)

。

第二步：套公式 $A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}$ 。

A^{n} = (1 - 1 01) (2^{n} 0 0 3^{n}) (1101) = (2^{n} - 2^{n} 0 3^{n}) (1101) = (2^{n} 3^{n} - 2^{n} 0 3^{n}) .

验证： 代

n = 1

得

(2103) = A

；代

n = 2

得

(4509)

，与直接算

A^{2}

一致。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，则“

A^{3} - A^{2}

可对角化”是“

A

可对角化”的（　　）。

A充分但不必要条件
B必要但不充分条件
C充分必要条件
D既不充分也不必要条件

2023 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A

满足：对任意

x_{1}, x_{2}, x_{3}

均有

A x_{1} x_{2} x_{3} = x_{1} + x_{2} + x_{3} 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} x_{2} - x_{3}

。（Ⅰ）求

A

；（Ⅱ）求可逆矩阵

P

与对角矩阵

Λ

，使得

P^{- 1} A P = Λ

。

2021 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 211 12 a 00 b

仅有两个不同的特征值。若

A

相似于对角矩阵，求

a, b

的值，并求可逆矩阵

P

，使

P^{- 1} A P

为对角矩阵。

2020 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为 3 阶矩阵，

α_{1}, α_{2}

为

A

的属于特征值

1

的线性无关的特征向量，

α_{3}

为

A

的属于特征值

- 1

的特征向量，则满足

P^{- 1} A P = 100 0 - 1 0 001

的可逆矩阵

P

可为（　　）

A $(α_{1} + α_{3}, α_{2}, - α_{3})$
B $(α_{1} + α_{2}, α_{2}, - α_{3})$
C $(α_{1} + α_{3}, - α_{3}, α_{2})$
D $(α_{1} + α_{2}, - α_{3}, α_{2})$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

下列矩阵中，不可对角化的是（　）。

A $(1002)$
B $(0110)$
C $(5015)$
D $(1221)$

练习 2 · 选择题

设

3

阶矩阵

A

的特征值全为

2

，且

A \neq = 2 E

，则

A

（　）。

A可对角化
B不可对角化
C不可逆
D是对角矩阵

练习 3 · 填空题

设

3

阶矩阵

A

的特征值为

1, 1, 2

，则

A

可对角化的充要条件是

r (A - E) =

____。

练习 4 · 填空题

设

2

阶矩阵

A

可对角化，特征值

2, 3

对应的特征向量分别为

(1, 0)^{T}, (1, 1)^{T}

，则

A =

____。

练习 5 · 选择题

设

A = 100 12 a 102

，则

A

可对角化的充分必要条件是（　）

A $a = 1$
B $a = - 1$
C对任意常数 $a$ ， $A$ 都可对角化
D $a = 0$

练习 6 · 填空题

设

A = (1221)

，则

n \to \infty lim \frac{A ^{n}}{3 ^{n}} =

____。

练习 7 · 解答题

设

3

阶实对称矩阵

A

的特征值为

λ_{1} = 2, λ_{2} = λ_{3} = - 1,

且

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

是

A

的属于

λ_{1} = 2

的特征向量。

(1) 求

A

的属于

λ = - 1

的全部特征向量；

(2) 求矩阵

A

；

(3) 求

A^{n}

（

n

为正整数）。

2020 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设

A

为 2 阶矩阵，

P = (α, A α)

，其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向量.（Ⅰ）证明

P

为可逆矩阵；（Ⅱ）若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

，求

P^{- 1} A P

，并判断

A

是否相似于对角矩阵.

2019 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

已知矩阵

A = - 2 20 - 2 x 0 1 - 2 - 2

与

B = 200 1 - 1 0 00 y

相似.
（Ⅰ）求

x, y

；
（Ⅱ）求可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P = B

矩阵的对角化

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 判据的由来：把 P−1AP=Λ 按列拆开，即可看出 P 的列必是特征向量★ 要懂

2. 具体计算时只需检查重根：单根自动满足，k 重根则验证 r(λ0​E−A)=n−k★★ 必会

3. 特征值互异是充分而非必要的条件：可以用它判定，但不能当作唯一标准★ 要懂

4. 对角化以后计算大为简化：Ak=PΛkP−1、f(A)=Pf(Λ)P−1★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 判据的由来：把 $P^{- 1} A P = Λ$ 按列拆开，即可看出 $P$ 的列必是特征向量★ 要懂

2. 具体计算时只需检查重根：单根自动满足， $k$ 重根则验证 $r (λ_{0} E - A) = n - k$ ★★ 必会

4. 对角化以后计算大为简化： $A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}$ 、 $f (A) = P f (Λ) P^{- 1}$ ★★ 必会