把 A 变为 B=P−1AP 的运算，称为用可逆矩阵 P 作共轭。它之所以有力，正是因为共轭与矩阵的乘法、求幂完全相容： P−1(A1A2)PP−1AkP=(P−1A1P)(P−1A2P)=(P−1AP)k. 于是凡是由乘法、求幂与行列式所决定的量（特征多项式、特征值、迹、行列式、秩等），在共轭之下都保持不变。这就是相似矩阵保持一切内在量的根本原因。理解相似关系不必借助任何抽象背景，只要抓住这一条纯代数的相容性，就能掌握它的全部要点。
证明 / 推导利用上述相容性，直接计算 B=P−1AP 的特征多项式。由 λE=P−1(λE)P，得 ∣λE−B∣=∣P−1(λE−A)P∣=∣P−1∣∣λE−A∣∣P∣=∣λE−A∣, （最后一步用了 ∣P−1∣∣P∣=1）。可见特征多项式完全相同，故作为它的系数的特征值、迹与行列式也全部保持不变。■举例说明（数三 2000）设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，A 的特征值为 21,31,41,51，求 B−1−E。因为相似矩阵的特征值全部相同，所以 B 的特征值也是 21,31,41,51；取倒数得 B−1 的特征值为 2,3,4,5，于是 B−1−E 的特征值为 1,2,3,4。又行列式等于全部特征值之积，故 B−1−E=1⋅2⋅3⋅4=24。本题只用到相似不改变特征值这一条，至于 B 究竟是什么矩阵并不重要。
设 A,B 为两个方阵，则乘积 AB 与 BA 一般并不相等，但二者的非零特征值完全相同，因而 tr(AB)=tr(BA) 与 ∣AB∣=∣BA∣ 恒成立。还有更强的结论：只要 A 与 B 中有一个可逆，就有 AB∼BA。这一条在计算 tr(AB)、比较 AB 与 BA，以及处理秩为一的分解 αβT 的问题中都很有用。
证明 / 推导若 A 可逆，则 A−1(AB)A=(A−1A)BA=BA，故 AB∼BA，此处作共轭所用的矩阵取为 A；同理，当 B 可逆时改用 B 即可。在一般情形下也能证明非零特征值相同：设 ABx=λx，λ=0，令 y=Bx，则 y=0（否则将有 λx=ABx=Ay=0，这与 λ=0,x=0 相矛盾），且 BAy=B(ABx)=λBx=λy，这说明 λ 也是 BA 的特征值。由于 A,B 的地位是对称的，反过来也成立。■举例说明（数三 2009）设 α=(1,1,1)T，β=(1,0,k)T，若 αβT 相似于 diag(3,0,0)，求 k。因 αβT 是秩为一的矩阵，它的非零特征值恰好等于自身的迹，而 tr(αβT)=tr(βTα)=βTα=1+0+k=1+k。又相似矩阵的迹相等，故 1+k=trdiag(3,0,0)=3，解得 k=2。这就是 AB 与 BA 的迹相等、以及 αβT 的非零特征值 =βTα 这两条结论的直接应用。💡 小知识