相似矩阵

线性代数 · 特征值与特征向量

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定义：存在可逆 $P$ 使 $P^{- 1} A P = B$

设

A, B

为

n

阶方阵。若存在可逆矩阵

P

使

P^{- 1} A P = B,

就说

A

与

B

相似，记

A \sim B

。

$P$ 必须可逆，这是定义的一部分——否则

P^{- 1}

不存在，式子无从谈起。

相似是一种等价关系，三条都成立：

① 自反：取

P = E

，得

A \sim A

。

② 对称：由

P^{- 1} A P = B

得

A = P B P^{- 1} = (P^{- 1})^{- 1} B (P^{- 1})

，取

Q = P^{- 1}

即得

B \sim A

。所以说「

A

与

B

相似」不必讲究谁先谁后。

③ 传递：

A \sim B

、

B \sim C

\Rightarrow A \sim C

（把两个

P

乘起来）。

几何意义：

A

和

B

是同一个线性变换在两组不同基下的矩阵，

P

就是两组基之间的过渡矩阵。换一副坐标看同一件事——这解释了下面那一串「相似不变量」为什么存在。

2. 相似不变量：哪些东西换基也不变

A \sim B

时，下面这些必定相同：

特征多项式 全部特征值 行列式 迹 秩 可逆性 ∣ A - λ E ∣ = ∣ B - λ E ∣ 含重数完全一致 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ tr A = tr B r (A) = r (B) 同时可逆或同时不可逆

特征多项式相同是源头，特征值、行列式、迹都是它的系数或根，自然跟着相同。

反过来都不成立：这些量全相同，也推不出相似。经典反例——

A = (1011), B = (1001) = E .

两者特征值都是

1, 1

，迹都是

2

，行列式都是

1

，秩都是

2

。但

B = E

只与自己相似（

P^{- 1} E P = E

恒成立），而

A \neq = E

，所以不相似。

特征向量不是不变量：

A

的特征向量

α

对应到

B = P^{- 1} A P

的是

P^{- 1} α

，要跟着变。

3. 与对角阵相似：这一章真正要的东西

相似这个概念之所以有用，是因为可以拿最简单的矩阵当标准来比。最简单的就是对角阵。

若存在可逆

P

使

P^{- 1} A P = Λ = λ_{1} ⋱ λ_{n},

就说

A

可对角化（下一节专讲条件与做法）。

对角阵好在哪：

① 幂好算：

Λ^{k}

就是把每个对角元各取

k

次方。于是

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1},

一个难算的高次幂变成三个矩阵相乘。这是对角化最主要的用途。

② 特征值一眼就看见：对角线上就是。

③ 行列式、迹、秩都直接可读。

注意 $A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}$ 的方向：由

P^{- 1} A P = Λ

解出

A = P Λ P^{- 1}

，于是

A^{k} = (P Λ P^{- 1})^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

（中间的

P^{- 1} P

一对对消掉）。 $P$ 和 $P^{- 1}$ 的位置不能互换，写反了结果就错。

4. 证明两个矩阵不相似：找一个不变量对不上

题目常问「

A

与

B

是否相似」。

证相似：要造出具体的

P

，或者证明两者都与同一个对角阵相似（最常用的一条路）。

证不相似：只要找到一个相似不变量对不上就行——这比证相似容易得多。按从易到难的顺序试：

① 迹：对角线一加就知道。

② 行列式。

③ 秩。

④ 特征值（含重数）。

⑤ 以上全同时：这时不能下结论。再检查每个特征值的几何重数

n - r (A - λ E)

是否相同——这是比上面几条更细的不变量。

最后这一条正是 $(1011)$ 与 $E$ 的分界：两者特征值都是

1, 1

，但

r (A - E) = 1 \Rightarrow s = 1, r (E - E) = 0 \Rightarrow s = 2,

几何重数不同，故不相似。

还有一条特例值得单记：

E

（以及任何数量阵

k E

）只与自己相似，因为

P^{- 1} (k E) P = k E

恒成立。所以凡是题目里出现「与

E

相似」，结论必是「它就是

E

」。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断 $A$ 与 $B$ 是否相似（否定方向）

第一步：比迹——对角线之和，最快。

第二步：比行列式、比秩。

第三步：比全部特征值（含重数）。

第四步：以上全同时，再比每个特征值的几何重数

n - r (A - λ E)

。只要有一项不同，立刻判不相似。

例例. 判断

A = (1324)

与

B = (0110)

是否相似。

第一步，比迹（最快）：

tr A = 5

，

tr B = 0

。

第二步，

5 \neq = 0

\Rightarrow

立刻判不相似，后面都不用算了。

第三、四步，若迹相同，再依次比

∣ A ∣

、

r

、全部特征值、每个特征值的几何重数。

这几条都是相似的必要条件：任何一条不同就能否定；但全部相同也不一定相似，那时要真找出

P

，或说明两者都能对角化成同一个

Λ

。

注意顺序：迹一行算完，行列式要算两个二阶，特征值要解方程——先用便宜的。

利用相似求 $A^{k}$

第一步：由

P^{- 1} A P = Λ

解出

A = P Λ P^{- 1}

——这一步要落在纸上，别凭记忆写方向。

第二步：

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

，中间的

P^{- 1} P

成对消掉。

第三步：

Λ^{k}

就是每个对角元各取

k

次方。

第四步：按需要乘开；若只问特征值或行列式，直接从

Λ^{k}

读，不必乘。

例例. 设

P^{- 1} A P = Λ = (2004)

，求

A^{3}

的特征值与

A^{3}

。

第一步，由

P^{- 1} A P = Λ

解出

A = P Λ P^{- 1}

——这一步要落在纸上。方向写反（写成

A = P^{- 1} Λ P

）后面全错。

第二步，

A^{3} = P Λ P^{- 1} \cdot P Λ P^{- 1} \cdot P Λ P^{- 1} = P Λ^{3} P^{- 1},

中间的

P^{- 1} P

成对消掉——这就是相似好用的全部理由。

第三步，

Λ^{3} = diag (8, 64)

，每个对角元各取三次方。

第四步，问特征值或行列式就直接从 $Λ^{3}$ 读，不必乘开：特征值

8

与

64

，

A^{3} = 512

。

由相似反推未知元素

第一步：题目给

A \sim B

且某一方含参数。

第二步：列出

tr A = tr B

——通常给出第一个方程。

第三步：再列

∣ A ∣ = ∣ B ∣

——给出第二个方程。

第四步：联立解出参数；解完代回核对特征值是否一致（不变量不止两条，要对得上全部）。

例例. 已知

A = (20 0 a)

与

B = (10 0 b)

相似，求

a, b

。

第一步，两边都含参数。

第二步，迹相等：

2 + a = 1 + b

。

第三步，行列式相等：

2 a = b

。

第四步，联立得

a = 1

、

b = 2

。代回核对：

A = diag (2, 1)

、

B = diag (1, 2)

，特征值都是

{1, 2}

✓ 都已对角、几何重数一致 ✓ 确实相似。

二阶时迹与行列式已经定下特征多项式，所以特征值必然相同；但三阶以上两条就不够，而且即便特征值全同，还要几何重数也相同才相似。所以「解完代回验」不是多余的。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$A^{k}$ 里 $P$ 与 $P^{- 1}$ 写反

由

P^{- 1} A P = Λ

得到的是

A = P Λ P^{- 1}

，于是

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

。

写成

P^{- 1} Λ^{k} P

算的是另一个矩阵，整道题作废。

每次都从 $P^{- 1} A P = Λ$ 现解一次，两秒钟，比记口诀稳。

以为不变量全相同就一定相似

迹、行列式、秩、特征值全部相同，仍可能不相似。

(1011)

与

E

就是反例。

要往下判必须看几何重数

n - r (A - λ E)

，那是更细的不变量。

以为特征向量也是不变量

不是。若

A α = λ α

、

B = P^{- 1} A P

，则

B (P^{- 1} α) = λ (P^{- 1} α),

特征向量要乘 $P^{- 1}$ ，不是原样搬过去。

特征值不变，特征向量要换坐标——这正是「同一变换在不同基下」的含义。

$P$ 没说明可逆

相似的定义要求

P

可逆。

做证明题时若自己造了一个

P

，必须说明它可逆（通常靠「列向量线性无关」）。

少这一句，后面所有带

P^{- 1}

的式子都是无源之水。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

A

与

B

相似是指（）。

A存在可逆 $P$ 使 $P^{- 1} A P = B$
B存在任意 $P$ 使 $P A P = B$
C $A$ 与 $B$ 的秩相同
D $A = B$

练 2

相似变换中的矩阵

P

必须是 ________ 矩阵。

练 3

下列不是相似不变量的是（）。

A行列式
B迹
C秩
D特征向量

练 4

若

A \sim B

且

tr A = 7

，则

tr B =

________。

第二组 · 用不变量

练 5

与单位阵

E

相似的矩阵是（）。

A任意可逆矩阵
B任意对角阵
C任意特征值全为 $1$ 的矩阵
D只有 $E$ 自己

练 6

设

A \sim Λ = (2005)

，则

∣ A ∣ =

________。

练 7

设

P^{- 1} A P = Λ

，则

A^{k} =

（）。

A $P^{- 1} Λ^{k} P$
B $Λ^{k}$
C $P Λ^{k} P^{- 1}$
D $P^{k} Λ^{k} P^{- k}$

练 8

若

A \sim B

，

A

的特征值为

1, 3

，则

B

的特征值为 ________。

第三组 · 判不相似

练 9

A = (1011)

与

B = E

（）。

A相似，因为特征值相同
B相似，因为迹和行列式都相同
C不相似
D无法判断

练 10

设

A \sim B

，

A = (10 2 a)

，

B = (3001)

，则

a =

________。

练 11

若

A

与

B

的迹、行列式、秩、特征值全部相同，则（）。

A必相似
B必不相似
C无法由此断定，需再比几何重数
D必有 $A = B$

练 12

设

A \sim B

，则

A^{2}

与

B^{2}

________（填「相似」或「不一定相似」）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

相似矩阵

先打基础

1. 定义：存在可逆 P 使 P−1AP=B

2. 相似不变量：哪些东西换基也不变

3. 与对角阵相似：这一章真正要的东西

4. 证明两个矩阵不相似：找一个不变量对不上

常用结构

判断 A 与 B 是否相似（否定方向）

利用相似求 Ak

由相似反推未知元素

基础易错

Ak 里 P 与 P−1 写反

以为不变量全相同就一定相似

以为特征向量也是不变量

P 没说明可逆

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 定义：存在可逆 $P$ 使 $P^{- 1} A P = B$

判断 $A$ 与 $B$ 是否相似（否定方向）

利用相似求 $A^{k}$

$A^{k}$ 里 $P$ 与 $P^{- 1}$ 写反

$P$ 没说明可逆