逆矩阵

线性代数 · 矩阵

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 逆矩阵的定义：乘起来等于单位矩阵

设

A

是

n

阶方阵。若存在同阶方阵

B

使

A B = B A = E,

则称

A

可逆，

B

为

A

的逆矩阵，记作

A^{- 1}

。

三件事要看清：

① 只有方阵才谈可逆（

A B

与

B A

都要有意义且都等于

E

）。

② 逆矩阵是唯一的（见下面的「证明 / 推导」），所以记号

A^{- 1}

才有意义。

③ 没有「矩阵除法」. 不存在

\frac{B}{A}

这种写法——因为不交换，「除以

A

」到底是左乘还是右乘

A^{- 1}

根本说不清。

所以解矩阵方程时，左乘还是右乘要想清楚：

A X = B X A = B \Rightarrow X = A^{- 1} B, \Rightarrow X = B A^{- 1} .

两个答案长得不一样，写错一个就全错。口诀： $A$ 在哪边， $A^{- 1}$ 就从哪边乘上去。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经证过逆矩阵唯一。它的手法只有两步：把 $E$ 换成某个乘积，再用结合律重新分组，让该凑在一起的凑到一起。全程没有用交换律。

下面这条用的是另一个同样朴素的手法：要证某个矩阵是 $M$ 的逆，就按定义把它和 $M$ 乘一遍，看是不是 $E$ 。 中间同样靠结合律重新分组。先把那一段看懂，再动笔。设

A

、

B

都是

n

阶可逆矩阵。请你证明

A B

可逆，且

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} .

2. 可逆的判据： $∣ A ∣ \neq = 0$

定理.

n

阶方阵

A

可逆的充分必要条件是

∣ A ∣ \neq = 0

。

这是判断可逆性最常用的办法——算一个行列式就够了。

可逆的方阵也叫非奇异矩阵，不可逆的叫奇异矩阵。

由这条判据和

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣

能立刻得到几条常用的：

∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ A ∣}, ∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣ \neq = 0.

后者说明：两个可逆矩阵的乘积仍可逆（上一条留给你写的那道证明从另一条路证了同一件事）。

还有一条很有用的等价说法：

A

可逆

⟺

齐次方程组

A x = 0

只有零解。这把矩阵、行列式、方程组三件事串在了一起——回想克拉默法则那里：

D \neq = 0

时齐次方程组只有零解。

判断可逆时的次序：先算

∣ A ∣

；只有要真正求出

A^{- 1}

时才往下走。

3. 二阶的逆：一个要背的公式

二阶矩阵的逆有现成公式，值得背下来：

\Rightarrow A = (a c b d) A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .

口诀：主对角线对调，副对角线变号，再除以行列式。

三处容易错：

① 是 $a$ 与 $d$ 对调（换位置），不是取相反数。

② 是 $b$ 与 $c$ 变号（加负号），不是对调。

③ 别忘了除以 $∣ A ∣ = a d - b c$ ，而且要先确认它不为零。

验算只要几秒：把算出的

A^{- 1}

与

A

乘一遍看是不是

E

。这是本节唯一能自查的地方，别省。

三阶及以上没有这么简单的公式，要用伴随矩阵或初等变换（后面两节）。

4. 可逆矩阵的运算规律

设

A

、

B

可逆，

k \neq = 0

：

(A^{- 1})^{- 1} (k A)^{- 1} (A B)^{- 1} (A^{T})^{- 1} = A, = \frac{1}{k} A^{- 1}, = B^{- 1} A^{- 1}, = (A^{- 1})^{T} .

第三条的反序已经说过；第二条的 $\frac{1}{k}$ 别写成 $k$ 。

第四条的意思是「转置与求逆可以换序」——这两个运算彼此可交换，所以记号常简写成

A^{- T}

。

注意没有 $(A + B)^{- 1}$ 的公式. 和行列式那边一样，加法是线代里最不友好的运算：

A + B

甚至可能不可逆（

A = E

、

B = - E

时

A + B = O

）。

解矩阵方程的套路：把方程整理成

A X B = C

的样子，左边左乘

A^{- 1}

、右边右乘

B^{- 1}

，得

X = A^{- 1} C B^{- 1}

。每一步都要在两边同时做，而且左右要一致。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断可逆：算 $∣ A ∣$ 就够

第一步：确认是方阵（非方阵谈不上可逆）。

第二步：算

∣ A ∣

。

第三步：

∣ A ∣ \neq = 0

则可逆，

∣ A ∣ = 0

则不可逆。

第四步：只有题目真要求出

A^{- 1}

时才往下走（公式、伴随或初等变换）。

例例. 判断

A = (1224)

与

B = (1324)

是否可逆。

第一步，都是方阵 ✓（非方阵根本谈不上可逆。）

第二步，

∣ A ∣ = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0

；

∣ B ∣ = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = - 2

。

第三步，

A

不可逆，

B

可逆。

第四步，题目只问「是否可逆」就到此为止，不必去求 $B^{- 1}$ ——算一个二阶行列式和求一个逆矩阵，工作量差好几倍。

A

不可逆的直观原因：第二行是第一行的

2

倍，两行「说的是同一件事」，它压不住整个平面。

二阶求逆：对调、变号、除以行列式

第一步：算

∣ A ∣ = a d - b c

，确认不为零。

第二步：主对角线

a

与

d

对调位置。

第三步：副对角线

b

、

c

各加负号。

第四步：整体除以

∣ A ∣

，再乘一遍验算。

例例. 求

B = (1324)

的逆。

第一步，

∣ B ∣ = 4 - 6 = - 2 \neq = 0

✓

第二步，主对角线的

1

与

4

对调位置。

第三步，副对角线的

2

、

3

各加负号，得

(4 - 3 - 2 1)

。

第四步，整体除以

∣ B ∣ = - 2

：

B^{- 1} = - \frac{1}{2} (4 - 3 - 2 1) = (- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2}) .

乘一遍验算：

B B^{- 1} = E

✓

「对调主对角、变号副对角」只对二阶成立，三阶要用伴随或初等变换，套过来必错。

解矩阵方程： $A$ 在哪边就从哪边乘

第一步：把方程整理成

A X = B

、

X A = B

或

A X B = C

的标准样子。

第二步：先验所用矩阵可逆（算行列式）。

第三步：

A

在左边就两边左乘

A^{- 1}

，在右边就右乘。

第四步：两边必须同时做、同一边做。答案的字母次序要再核一遍。

例例. 解

A X = B

，其中

A = (1324)

、

B = E

。

第一步，已经是

A X = B

的标准样子。

第二步，

∣ A ∣ = - 2 \neq = 0

，可逆 ✓

第三步，

A

在

X

的左边，所以两边左乘

A^{- 1}

：

A^{- 1} A X = A^{- 1} B ⟹ X = A^{- 1} B .

第四步，代入上一条的

A^{- 1}

，得

X = (- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2})

。

两边必须同一边乘：写成

X = B A^{- 1}

就错了，那是

X A = B

的答案。矩阵不交换，左乘和右乘是两个不同的运算。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

写出「矩阵除法」

没有

\frac{B}{A}

这种记号。因为不交换，「除以

A

」说不清是左乘还是右乘。

A X = B

得

X = A^{- 1} B

；

X A = B

得

X = B A^{- 1}

。 $A$ 在哪边， $A^{- 1}$ 就从哪边乘上去。

$(A B)^{- 1}$ 写成 $A^{- 1} B^{- 1}$

正确的是

B^{- 1} A^{- 1}

，反序。

和转置

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

同一个模式：作用在乘积上的运算，次序一律倒过来。

二阶公式里把对调与变号弄混

$a$ 、 $d$ 对调位置， $b$ 、 $c$ 各加负号，最后除以

a d - b c

。

记混了就拿

(2003)

试一下——它的逆显然是对角元取倒数，一验就知道是对调不是变号。

对 $A + B$ 用求逆公式

$(A + B)^{- 1}$ 没有公式，

A + B

甚至可能不可逆（

E

与

- E

之和是零矩阵）。

看到加号要么提公因子化成乘积，要么另找办法。与

∣ A + B ∣

那条是同一个道理。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 定义与判据

练 1

n

阶方阵

A

可逆的充分必要条件是（）。

A $∣ A ∣ \neq = 0$
B $A \neq = O$
C $A$ 的元素全不为零
D $∣ A ∣ > 0$

练 2

A

可逆的定义是：存在

B

使

A B = B A =

________（填矩阵记号）。

练 3

(2003)

的逆矩阵是

(\frac{1}{2} 0 01)

，横线上填 ________。

练 4

设

A = (1224)

，则

A

（）。

A可逆
B是零矩阵
C不可逆
D无法判断

第二组 · 求逆与运算

练 5

(1324)

的行列式为 ________。

练 6

(a c b d)^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} \cdot

（）。

A $(a - c - b d)$
B $(- d c b - a)$
C $(d c b a)$
D $(d - c - b a)$

练 7

设

A

、

B

可逆，则

(A B)^{- 1} =

（）。

A $A^{- 1} B^{- 1}$
B $B^{- 1} A^{- 1}$
C $(B A)^{- 1}$
D $A B$

练 8

设

A

可逆且

k \neq = 0

，则

(k A)^{- 1} =

________

A^{- 1}

（填系数）。

第三组 · 矩阵方程

练 9

设

A

可逆，方程

X A = B

的解是（）。

A $X = A^{- 1} B$
B $X = \frac{B}{A}$
C $X = B A^{- 1}$
D $X = A B^{- 1}$

练 10

设

A

、

B

可逆，方程

A X B = C

的解是（）。

A $X = A^{- 1} C B^{- 1}$
B $X = B^{- 1} C A^{- 1}$
C $X = C A^{- 1} B^{- 1}$
D $X = A^{- 1} B^{- 1} C$

练 11

设

A

、

B

都可逆，则

(A + B)^{- 1}

（）。

A等于 $A^{- 1} + B^{- 1}$
B等于 $(A B)^{- 1}$
C等于 $B^{- 1} A^{- 1}$
D没有一般公式， $A + B$ 甚至可能不可逆

练 12

设

∣ A ∣ = 5

，则

∣ A^{- 1} ∣ =

________（结果用分数）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

逆矩阵