初等变换与初等矩阵

线性代数 · 矩阵

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 三种初等变换：和解方程组时做的事一模一样

对矩阵的行做下面三种操作，称为初等行变换：

交换两行 某行乘非零数 某行的 k 倍加到另一行 r_{i} \leftrightarrow r_{j} k r_{i} (k \neq = 0) r_{i} + k r_{j}

对列做同样三件事就是初等列变换，记号把

r

换成

c

。

这三件事正是解线性方程组时做的：交换两个方程、某个方程两边乘一个数、把一个方程的倍数加到另一个上。所以初等变换不改变方程组的解——这是整个消元法的依据。

与行列式的性质对照着看，有一处要特别小心：

变换 交换两行 k r_{i} r_{i} + k r_{j} 对行列式的影响 变号 变成 k 倍 不变

所以用初等变换算行列式时要记账，而用它化简矩阵时不必——矩阵变换的目标是形状，不是保持某个数。

2. 初等矩阵：把变换变成「乘一个矩阵」

对单位矩阵 $E$ 做一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。

它的用处是把「做变换」翻译成「乘矩阵」：

对 $A$ 做一次初等行变换 $=$ 在 $A$ 的左边乘一个初等矩阵；

对 $A$ 做一次初等列变换 $=$ 在 $A$ 的右边乘一个初等矩阵。

口诀：左行右列。

那个初等矩阵是什么？就是对 $E$ 做同一个变换得到的那个。

例如要把

A

的第一行与第二行交换，就左乘

(0110)

（它正是

E

交换两行的结果）。

初等矩阵都是可逆的，而且逆还是同类型的初等矩阵——因为每种变换都能「做回去」：交换再交换、乘

k

再乘

\frac{1}{k}

、加

k

倍再减

k

倍。

这条翻译是后面许多证明的工具：要说明「某个变换不改变什么」，就把它写成乘一个可逆矩阵，再用已知的性质。

3. 行阶梯形与行最简形：化简的两个落脚点

行阶梯形：每一行第一个非零元素（叫主元）所在的列，比上一行的主元所在的列更靠右；全零行（如果有）都在最下面。

形状像一级一级往右下走的台阶：

100210340

行最简形：在行阶梯形的基础上再要求——主元都是 $1$ ，而且主元所在列的其余元素全为零。

100010 - 5 40

任何矩阵都能用初等行变换化成行阶梯形，进而化成行最简形，而且行最简形是唯一的（阶梯形不唯一）。

化简的次序和行列式那边一样：从左上往右下，一列一列地处理，用上面的行去消下面的行，这样已经化好的零不会被破坏。

行阶梯形的用处是数非零行的个数（下一节的秩）；行最简形的用处是直接读出方程组的解。

4. 用初等变换求逆： $(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})$

三阶及以上求逆，初等变换法比伴随矩阵法快得多。做法：

把 $A$ 和同阶单位矩阵并排写成一个 $n \times 2 n$ 的矩阵 $(A ∣ E)$ ，然后只做初等行变换，把左半边化成 $E$ ；此时右半边就是 $A^{- 1}$ 。

(A ∣ E) 初等行变换 (E ∣ A^{- 1}) .

为什么管用：把

A

化成

E

的那一串行变换，等于左乘了一串初等矩阵，它们的乘积正是

A^{- 1}

；而同一串操作作用在

E

上，得到的就是

A^{- 1} E = A^{- 1}

。

两条铁律：

① 只许做行变换，不许做列变换. 混进列变换就全错了（列变换对应右乘，两边凑不起来）。

② 左半边化不成 $E$ （出现全零行）就说明 $A$ 不可逆，这时直接下结论，不必硬凑。

验算：求出的

A^{- 1}

与

A

乘一遍看是不是

E

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

化行阶梯形：从左上往右下

第一步：用第一行把第一列下面全消成零（

r_{i} - k r_{1}

）。

第二步：看第二列（从第二行往下），用第二行继续消。如此往右下走。

第三步：某一列下面本来就全是零就跳到下一列，台阶可以一次跨两格。

第四步：全零行挪到最下面。箭头上方写明所做的变换。

例例. 把

A = 1212423744106

化成行阶梯形。

第一步，用第一行消第一列：

r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100200311422 .

第二步，看第二列（从第二行往下）：全是零——跳到第三列。台阶一次跨两格是允许的。

第三步，用第二行消第三列下方：

r_{3} - r_{2} 100200310420 .

第四步，全零行已经在最下面 ✓ 非零行两行。

箭头上方写明所做的变换——不写，别人看不出你做了什么，自己回头查错也无从查起。

用初等变换求逆：只做行变换

第一步：写出

(A ∣ E)

，中间画一道竖线。

第二步：只做行变换，把左半边化成行最简形。

第三步：左半边变成

E

时，右半边就是

A^{- 1}

。

第四步：左半边出现全零行就说明不可逆，直接下结论。最后乘一遍验算。

例例. 用初等变换求

A = (1324)

的逆。

第一步，写出

(A ∣ E)

，中间画一道竖线：

(13241001) .

第二步，只做行变换。

r_{2} - 3 r_{1}

，再

r_{2} \div (- 2)

，再

r_{1} - 2 r_{2}

：

(1001 - 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2}) .

第三步，左半边成了

E

，右半边就是

A^{- 1} = (- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2})

（与二阶公式算出的一致 ✓）。

第四步，左半边若化出一个全零行，说明不可逆，直接下结论、不必算完。中途插一次列变换，右半边得到的就不再是

A^{- 1}

。

分清符号：箭头还是等号

化简矩阵 → 用箭头

\to

（变换前后不是同一个矩阵）。

化简行列式 → 用等号（倍加不改变那个数，但交换要变号、数乘要记账）。

判据：问自己「我在化一张表还是一个数」。

这个符号差别年年扣分，动笔前花一秒确认。

例例. 同样做

r_{2} - 3 r_{1}

，两处的写法不同。

化矩阵（求秩、求逆、解方程组）用箭头：

(1324) r_{2} - 3 r_{1} (10 2 - 2)

变换前后是两个不同的矩阵，写等号等于说它们相等，而它们并不相等。

化行列式用等号（倍加不改变这个数）：

1324 = 10 2 - 2 = - 2.

但要记账：交换两行要变号，某行乘 $k$ 整个数就乘 $k$ 。

判据只有一句：我在化一张表，还是一个数？ 这个符号差别年年扣分，动笔前花一秒确认。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

矩阵变换用了等号

初等变换前后的两个矩阵不相等，中间要用箭头。

行列式那边才用等号（倍加不变值）。问自己「化的是一张表还是一个数」。

求逆时混进列变换

(A ∣ E)

的办法只许做行变换。列变换对应右乘，混进来右半边就不再是

A^{- 1}

。

看到那道竖线就提醒自己这件事。

左行右列记反

左乘管行，右乘管列。

记不住就拿二阶的

(0110)

试一下左乘，看换的是行还是列，五秒确认。

全零行留在中间

行阶梯形要求全零行都在最下面，这是定义的一部分。

化出来有全零行就交换到底部（记得这是三种变换之一，矩阵里不必记符号）。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 三种变换

练 1

下列不是初等行变换的是（）。

A交换两行
B某行乘以 $0$
C某行乘以 $3$
D第一行的 $2$ 倍加到第二行

练 2

对矩阵做初等变换，变换前后的两个矩阵之间应当用（）连接。

A等号
B大于号
C箭头
D约等号

练 3

(1324) r_{2} - 3 r_{1} (102)

，横线上填 ________。

练 4

初等矩阵是由（）做一次初等变换得到的。

A零矩阵
B任意矩阵
C对角矩阵
D单位矩阵

第二组 · 左行右列与阶梯形

练 5

对

A

做一次初等列变换，相当于（）。

A左乘一个初等矩阵
B右乘一个初等矩阵
C左乘再右乘
D加上一个初等矩阵

练 6

100210340

的非零行有 ________ 行。

练 7

关于行阶梯形与行最简形，正确的是（）。

A两者都唯一
B两者都不唯一
C行阶梯形唯一，行最简形不唯一
D行阶梯形不唯一，行最简形唯一

练 8

把二阶矩阵的两行交换，对应的初等矩阵是

(011)

，横线上填 ________。

第三组 · 求逆与综合

练 9

用初等变换求逆的做法是把

(A ∣ E)

化成（）。

A $(E ∣ A)$
B $(A^{- 1} ∣ E)$
C $(E ∣ A^{- 1})$
D $(A ∣ A^{- 1})$

练 10

用

(A ∣ E)

求逆时，若左半边化出一个全零行，说明（）。

A $A$ 不可逆
B算错了，要重算
C $A$ 是零矩阵
D换成列变换继续

练 11

(13241001) r_{2} - 3 r_{1} (10 2 - 2 101)

，横线上填 ________。

练 12

初等矩阵（）。

A都不可逆
B都可逆，且逆仍是同类型的初等矩阵
C只有交换型的可逆
D是否可逆要看具体数值

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

初等变换与初等矩阵

先打基础

1. 三种初等变换：和解方程组时做的事一模一样

2. 初等矩阵：把变换变成「乘一个矩阵」

3. 行阶梯形与行最简形：化简的两个落脚点

4. 用初等变换求逆：(A∣E)→(E∣A−1)

常用结构

化行阶梯形：从左上往右下

用初等变换求逆：只做行变换

分清符号：箭头还是等号

基础易错

矩阵变换用了等号

求逆时混进列变换

左行右列记反

全零行留在中间

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

4. 用初等变换求逆： $(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})$