初等变换与初等矩阵

§10.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.16 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

4.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算③ 掌握后可解锁矩阵的秩

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 三类初等变换与三类初等矩阵：定义、逆矩阵与行列式一览★★ 必会

① 三类初等（行）变换. 设有矩阵

A

：
(i) 对换，互换第

i, j

两行，记作

r_{i} \leftrightarrow r_{j}

；
(ii) 数乘，用非零常数

k

乘第

i

行，记作

k r_{i}

，其中

k \neq = 0

不可缺少，因为乘以

0

会丢失信息；
(iii) 倍加，把第

j

行的

k

倍加到第

i

行，记作

r_{i} + k r_{j}

。
把

r

换成

c

，就是三类初等列变换。初等变换都是可逆的，其逆变换仍是同类的初等变换，并且不改变矩阵的秩。如果

A

经有限次初等变换变为

B

，就称

A

与

B

等价，记作

A ≅ B

。

② 三类初等矩阵：对单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵.

E (i, j)

：交换

E

的第

i, j

两行所得，它同时也就是交换第

i, j

两列所得；

E (i (k))

：用非零数

k

乘

E

的第

i

行所得，它是对角矩阵，第

i

个对角元为

k

；

E (ij (k))

：把

E

的第

j

行的

k

倍加到第

i

行所得，即在

(i, j)

位置放一个

k

。
定理：左乘初等矩阵 $=$ 对 $A$ 作相应的行变换；右乘 $=$ 作相应的列变换，简称左行右列，逐元素的验证见本页相应的一条。这里的方向必须注意：同一个

E (ij (k))

在右乘时，执行的是把第

i

列的

k

倍加到第

j

列，按行与按列两种读法下标的方向恰好相反，选择题常在此处设问。

③ 逆矩阵与行列式一览（三类初等矩阵都可逆，其逆仍是同类的初等矩阵）：

E (i, j)^{- 1} = E (i, j)

，因为再交换一次就换回来了，

∣ E (i, j) ∣ = - 1

；

E (i (k))^{- 1} = E (i (\frac{1}{k}))

，因为乘

k

的逆运算是乘

\frac{1}{k}

，

∣ E (i (k)) ∣ = k

；

E (ij (k))^{- 1} = E (ij (- k))

，因为加

k

倍的逆运算是减

k

倍，

∣ E (ij (k)) ∣ = 1

。
转置以后仍在这三类之内：

E (i, j)^{T} = E (i, j)

，

E (i (k))^{T} = E (i (k))

，

E (ij (k))^{T} = E (j i (k))

。
把这三个行列式的值代入

∣ P A ∣ = ∣ P ∣∣ A ∣

，立即得到 §9.1 中的三条性质：对换变号、数乘提出 $k$ 、倍加不变。由此可见，初等矩阵就是行列式这些性质在矩阵形式下的表现。

证明 / 推导

验证第三类的逆与行列式. 记

E_{ij}

为只有

(i, j)

元为

1

、其余元素全为

0

的矩阵，其中

i \neq = j

，则

E (ij (k)) = E + k E_{ij}

。这里要用到一个事实：

E_{ij} E_{ij} = O

。事实上

(E_{ij} E_{ij})_{pq} = \sum_{t} (E_{ij})_{pt} (E_{ij})_{tq}

，要使某项不为零，必须

t = j

同时

t = i

，而

i \neq = j

，这是不可能的。于是

(E + k E_{ij}) (E - k E_{ij}) = E + k E_{ij} - k E_{ij} - k^{2} E_{ij} E_{ij} = E,

故

E (ij (k))^{- 1} = E (ij (- k))

。又

E (ij (k))

是对角元全为

1

的三角形矩阵，故

∣ E (ij (k)) ∣ = 1

。

另外两类.

E (i, j) E (i, j)

表示对同样的两行连续对换两次，结果复原为

E

，故它的逆就是它自己；由对换变号（§9.1 性质 2）得

∣ E (i, j) ∣ = - ∣ E ∣ = - 1

。

E (i (k))

与

E (i (\frac{1}{k}))

都是对角矩阵，相乘时对角元相乘，其积为

E

；而对角矩阵的行列式等于对角元之积，故

∣ E (i (k)) ∣ = k

。

■

举例说明

例（2011 年数一·选择题）. 设

A

为

3

阶矩阵，将

A

的第

2

列加到第

1

列得矩阵

B

，再交换

B

的第

2

行与第

3

行得单位矩阵。记

P_{1} = 110010001

，

P_{2} = 100001010

，则

A =

（A）

P_{1} P_{2}

；（B）

P_{1}^{- 1} P_{2}

；（C）

P_{2} P_{1}

；（D）

P_{2} P_{1}^{- 1}

。

解. 列变换对应右乘：把第 2 列加到第 1 列所对应的初等矩阵就是

P_{1}

，即

E (21 (1))

，它右乘时把第 2 列加到第 1 列，故

B = A P_{1}

。行变换对应左乘：交换第 2、3 行就是左乘对换矩阵

P_{2}

，得

P_{2} B = E

。两式合起来，得

P_{2} A P_{1} = E ⟹ A = P_{2}^{- 1} E P_{1}^{- 1} = P_{2}^{- 1} P_{1}^{- 1} .

由上面的表可知，对换矩阵的逆就是它自己，即

P_{2}^{- 1} = P_{2}

，故

A = P_{2} P_{1}^{- 1}

，应选 (D)。如果要把结果写出来，那么由

P_{1}^{- 1} = E (21 (- 1))

知，只需把

P_{1}

中的那个

1

改成

- 1

，完全不必解方程。

必须注意的两点：其一，不要把列变换也当成左乘，列变换对应的是右乘，而且按行与按列读法的下标方向相反；其二，见到

P_{2}^{- 1}

不必去算伴随矩阵，由上表即知对换矩阵的逆就是它自己。

2. 左行右列可以直接验算：以倍加初等矩阵为例亲手验证

对

A

作初等行变换等于用初等矩阵左乘

A

，这条基本定理与其记住结论，不如亲自算一遍，看它为什么成立。关键是把倍加初等矩阵写成

E (i, j (k)) = E + k E_{ij}

，即在单位矩阵的

(i, j)

位置补上一个

k

，其中

E_{ij}

是只有

(i, j)

处为

1

的矩阵。

E_{ij}

起着抽取并搬运的作用：

E_{ij} A

恰好把

A

的第 $j$ 行取出放到第 $i$ 行，其余各行置为零。明白了这一点，三类初等矩阵左乘的效果都能当场推出，在证明题中就不会把左乘与右乘、行变换与列变换弄混。

证明 / 推导

证记

E_{ij}

为

(i, j)

元是

1

、其余为

0

的矩阵。计算

E_{ij} A

的第

p

行第

q

列元素：

(E_{ij} A)_{pq} = \sum_{t} (E_{ij})_{pt} A_{tq}

，其中只有当

p = i, t = j

时

(E_{ij})_{pt} = 1

，故

(E_{ij} A)_{pq} = {A_{j q}, 0, p = i p \neq = i

，这就是把

A

的第

j

行搬到第

i

行，其余各行置为零。于是

E (i, j (k)) A = (E + k E_{ij}) A = A + k E_{ij} A,

这就是在

A

的第

i

行上加了第

j

行的

k

倍，也就是倍加行变换

r_{i} + k r_{j}

。同理

A E (i, j (k)) = A + k A E_{ij}

，而

A E_{ij}

把

A

的第

i

列搬到第

j

列，故右乘所实现的是列变换

c_{j} + k c_{i}

。这就准确地解释了左行右列。

3. 可逆 $⟺$ 有限个初等矩阵之积：一条可以把可逆矩阵分解开来的定理★ 要懂

有这样一条结论：方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是它可以写成有限个初等矩阵的乘积。它的意义在于把可逆矩阵这个抽象的对象分解成一串具体的初等变换，于是凡是初等变换所保持不变的性质，其中最典型的是秩，都可以立即推广为乘可逆矩阵后保持不变。例如乘可逆矩阵不改变秩，即

r (P A Q) = r (A)

，以及等价标准形

P A Q = (E_{r} O O O)

，它们的证明都以这条定理为根据。

证明 / 推导

（ $\Leftarrow$ ） 每个初等矩阵都可逆，而有限个可逆矩阵之积仍可逆，故这样的

A

可逆。

（ $\Rightarrow$ ） 设

A

可逆，则

r (A) = n

，因而只用初等行变换就可以把

A

化为

E

，即它的行最简形是

E

。每作一次行变换相当于左乘一个初等矩阵，故存在初等矩阵

P_{1}, \dots, P_{s}

使

P_{s} \dots P_{1} A = E

，从而

A = P_{1}^{- 1} \dots P_{s}^{- 1}

。而初等矩阵的逆仍是初等矩阵，故

A

是有限个初等矩阵之积。

推论（乘可逆矩阵不改变秩）. 设

P

可逆，

P = Q_{1} \dots Q_{t}

，其中各

Q_{i}

都是初等矩阵。则

P A = Q_{1} \dots Q_{t} A

是对

A

相继作

t

次初等行变换的结果，而初等变换不改变秩，故

r (P A) = r (A)

。右乘可逆矩阵的情形与此相类似，于是

r (P A Q) = r (A)

。

4. 初等变换直接解矩阵方程 $A X = B$ ： $(A ∣ B) \to (E ∣ A^{- 1} B)$ ★★ 必会

求逆矩阵时所用的

(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})

只是一个特例。一般地，当

A

可逆时，解矩阵方程

A X = B

，其中

X

为待求的矩阵，不必先求出

A^{- 1}

再作乘法，而可以一次完成：把

A

与

B

并排写成增广矩阵

(A ∣ B)

，只用初等行变换把左块化为

E

，这时右块同步变成的就是

X = A^{- 1} B

。其原理与求逆矩阵相同：这一串行变换相当于左乘

A^{- 1}

，左块

A \to A^{- 1} A = E

，右块

B \to A^{- 1} B

。对于形如

X A = B

的方程，则改用列变换，或者转置成

A^{T} X^{T} = B^{T}

后再作行变换。

举例说明

解

A X = B

，其中

A = (1123)

，

B = (3458)

。

解. 作出

(A ∣ B)

并施以行变换：

(11233458) r_{2} - r_{1} (10213153) r_{1} - 2 r_{2} (100111 - 1 3) .

左块已化为

E

，故

X = (11 - 1 3)

。验证：

A X = (1123) (11 - 1 3) = (3458) = B

。

5. 初等行变换保持列向量之间的线性关系：求极大无关组的依据★★ 必会

初等行变换会使矩阵的样子改变很大，但它完全保持列向量组之间的一切线性关系：原矩阵的列

α_{1}, \dots, α_{n}

满足某个线性关系

\sum c_{i} α_{i} = 0

，当且仅当化简后的列

β_{1}, \dots, β_{n}

满足系数相同的关系

\sum c_{i} β_{i} = 0

。正因为如此，把矩阵化为行最简形以后，就可以直接看出哪些列构成极大无关组，其余各列又如何由它们线性表示，再把这些关系原样移回原来的向量组。这就是第 11 章中求向量组的极大无关组、判定线性相关性的算法依据。

证明 / 推导

证初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵

P

，故化简后有

B = P A

，即每个新的列

β_{i} = P α_{i}

。于是

i \sum c_{i} α_{i} = 0 ⟹ P (i \sum c_{i} α_{i}) = i \sum c_{i} (P α_{i}) = i \sum c_{i} β_{i} = 0;

反之，因为

P

可逆，在

\sum c_{i} β_{i} = 0

两端左乘

P^{- 1}

，得

\sum c_{i} α_{i} = 0

。故这两组列向量的线性关系完全一致，即两者同解。

举例说明

求

α_{1} = 101, α_{2} = 011, α_{3} = 235

的极大无关组，并把其余向量用它线性表示。

解. 以它们为列构造矩阵

A = 101011235

，作行变换

r_{3} - r_{1} - r_{2}

，得

A \to 100010230 .

化简后立即看出，第

3

列

= 2 \times

第

1

列

+ 3 \times

第

2

列。由于行变换保持列向量之间的线性关系，原向量组同样满足

α_{3} = 2 α_{1} + 3 α_{2}

。故极大无关组为

{α_{1}, α_{2}}

，秩为

2

，而

α_{3}

可由它们按上式表示。

💡 小知识

用初等行变换把

(A ∣ E)

化成

(E ∣ A^{- 1})

，这套求逆算法其实就是高斯—若尔当消元法。它不只是考研的标准动作，也是今天几乎所有科学计算软件求逆和解线性方程组时所用的底层算法。你在 MATLAB 里敲下 inv(A)，跑的就是这套十九世纪的消元术。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用初等行变换把

A = 123235134

化为行阶梯形，并求

r (A)

。难度 1

目标：把主对角线下方逐步消零，化成「阶梯」状。
把第

1

行的

(- 2)

倍加到第

2

行、

(- 3)

倍加到第

3

行：

A r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - 3 r_{1} 100 2 - 1 - 1 111 .

再把第

2

行的

(- 1)

倍加到第

3

行：

r_{3} - r_{2} 100 2 - 1 0 110 .

这是行阶梯形，非零行有 $2$ 行，故

r (A) = 2

。初等行变换不改变矩阵的秩，所以这就是原矩阵的秩。

例 2 设

A = 147258369

，

P = 100010002

。分别求

P A

与

A P

，并解释「左行右列」。难度 1

P

是把单位阵第

3

行乘

2

得到的初等矩阵。核心定理：左乘 $=$ 行变换，右乘 $=$ 列变换（口诀「左行右列」）。
$P A$ （左乘 $\Rightarrow$ 对 $A$ 作行变换）：把

A

的第

3

行乘

2

：

P A = 141425163618 .

$A P$ （右乘 $\Rightarrow$ 对 $A$ 作列变换）：把

A

的第

3

列乘

2

：

A P = 14725861218 .

同一个初等矩阵，左乘只改「行」、右乘只改「列」——这正是「左行右列」的含义。

例 3 求

A = (121325)

的秩，并用初等变换把它化为等价标准形。难度 2

等价标准形允许同时使用行、列变换，目标是化成

(E_{r} O O O)

。
先作行变换

r_{2} - 2 r_{1}

，再

r_{1} - r_{2}

：

A r_{2} - 2 r_{1} (101121) r_{1} - r_{2} (100111) .

再作列变换

c_{3} - c_{1}

、

c_{3} - c_{2}

，把第

3

列清零：

c_{3} - c_{1}, c_{3} - c_{2} (100100) = (E_{2} O) .

可见

r (A) = 2

，等价标准形为

(100100)

，即存在可逆矩阵

P, Q

使

P A Q = (E_{2} O)

。秩就是等价标准形里单位块的阶数。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵为置换矩阵。设

A

为

n

阶置换矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则（　　）

A $A^{*}$ 为置换矩阵
B $A^{- 1}$ 为置换矩阵
C $A^{- 1} = A$
D $A^{- 1} = - A$

2023 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

已知

n

阶矩阵

A, B, C

满足

A B C = O

，

E

为

n

阶单位矩阵。记矩阵

(O B C A E), (A B O C E), (E A B A B O)

的秩分别为

r_{1}, r_{2}, r_{3}

，则（　　）

A $r_{1} \leq r_{2} \leq r_{3}$ .
B $r_{1} \leq r_{3} \leq r_{2}$ .
C $r_{3} \leq r_{1} \leq r_{2}$ .
D $r_{2} \leq r_{1} \leq r_{3}$ .

2022 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，

E

为单位矩阵。若方程组

A x = 0

与

B x = 0

同解，则（　　）

A方程组 $(A E O B) y = 0$ 只有零解.
B方程组 $(E O A A B) y = 0$ 只有零解.
C方程组 $(A O B B) y = 0$ 与 $(B O A A) y = 0$ 同解.
D方程组 $(A B O B A) y = 0$ 与 $(B A O A B) y = 0$ 同解.

2020 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

若矩阵

A

经初等列变换化成

B

，则（　　）

A存在矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ .
B存在矩阵 $P$ ，使得 $B P = A$ .
C存在矩阵 $P$ ，使得 $P B = A$ .
D方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

下列矩阵中，是初等矩阵的是（）。

A $(1000)$
B $(0110)$
C $(1111)$
D $(2000)$

练习 2 · 选择题

对矩阵

A

作一次初等行变换，等价于（）。

A用对应初等矩阵左乘 $A$
B用对应初等矩阵右乘 $A$
C对 $A$ 作一次列变换
D $A$ 乘一个非零常数

练习 3 · 填空题

矩阵

121241361

的秩为 ____。

练习 4 · 选择题

把第

j

行的

k

倍加到第

i

行所对应的初等矩阵记为

E (i, j (k))

，则其逆矩阵

E (i, j (k))^{- 1} =

（）。

A $E (i, j (k))$
B $E (i, j (- k))$
C $E (i, j (\frac{1}{k}))$
D $E (j, i (k))$

练习 5 · 选择题

设初等矩阵

P = (1003)

，则

P^{- 1} =

（）。

A $(1003)$
B $(10 0 \frac{1}{3})$
C $(10 0 - 3)$
D $(3001)$

2018 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

已知

a

是常数，且矩阵

A = 112237 a 0 - a

可经初等列变换化为矩阵

B = 10 - 1 a 11 211

.
（Ⅰ）求

a

；
（Ⅱ）求满足

A P = B

的可逆矩阵

P

2011 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为

3

阶矩阵，将

A

的第

2

列加到第

1

列得矩阵

B

，再交换

B

的第

2

行与第

3

行得单位矩阵。记

P_{1} = 110010001

，

P_{2} = 100001010

，则

A =

（　　）

A $P_{1} P_{2}$ .
B $P_{1}^{- 1} P_{2}$ .
C $P_{2} P_{1}$ .
D $P_{2} P_{1}^{- 1}$ .

初等变换与初等矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 三类初等变换与三类初等矩阵：定义、逆矩阵与行列式一览★★ 必会

2. 左行右列可以直接验算：以倍加初等矩阵为例亲手验证

3. 可逆 ⟺ 有限个初等矩阵之积：一条可以把可逆矩阵分解开来的定理★ 要懂

4. 初等变换直接解矩阵方程 AX=B：(A∣B)→(E∣A−1B)★★ 必会

5. 初等行变换保持列向量之间的线性关系：求极大无关组的依据★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 可逆 $⟺$ 有限个初等矩阵之积：一条可以把可逆矩阵分解开来的定理★ 要懂

4. 初等变换直接解矩阵方程 $A X = B$ ： $(A ∣ B) \to (E ∣ A^{- 1} B)$ ★★ 必会