矩阵的秩

§10.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.03 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

9.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）初等变换与初等矩阵矩阵的运算③ 掌握后可解锁向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关性向量组的秩与极大线性无关组齐次线性方程组与基础解系线性方程组解的判定

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 秩的定义： $k$ 阶子式与最高阶非零子式；行阶梯形的非零行个数；行秩 $=$ 列秩★★ 必会

① $k$ 阶子式. 在

m \times n

矩阵

A

中任取

k

行、

k

列（

k \leq min {m, n}

），位于这些行列交叉处的

k^{2}

个元素按原有相对位置排成的

k

阶行列式，称为

A

的一个 $k$ 阶子式，共

C_{m}^{k} C_{n}^{k}

个。

② 秩的定义（最高阶非零子式的阶数）. 如果

A

中存在一个

r

阶子式不为零，而所有

r + 1

阶子式（若存在）全为零，那么称

r

为

A

的秩，记

r (A) = r

；并规定

r (O) = 0

。此时一切更高阶的子式也全为零，因为

r + 2

阶子式按一行展开后是若干

r + 1

阶子式的线性组合。由此得到两种常用的说法：

r (A) \geq k

当且仅当存在

k

阶非零子式；

r (A) \leq k

当且仅当所有

k + 1

阶子式全为零。

③ 求秩的基本方法：化行阶梯形后数非零行. 初等变换不改变矩阵的秩。事实上，对换与数乘至多使子式变号或乘上一个非零常数；作倍加变换后的任一子式都可以展开成原矩阵的若干子式的线性组合。因此这三类变换都不改变是否存在非零的

k

阶子式。于是把

A

用初等行变换化成行阶梯形，就有 $r (A) =$ 行阶梯形中非零行的个数。这是求秩的常规做法。最高阶非零子式的定义则主要用于理论推证与抽象命题，例如由

r (A) = r

断定某个

r

阶子式不为零。

④ 基本事实.

0 \leq r (A) \leq min {m, n}

；

r (A^{T}) = r (A)

（转置把每个子式变成它的转置，值不变）；

r (k A) = r (A)

（

k \neq = 0

）；

n

阶方阵的情形：

r (A) = n ⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ A

可逆（即满秩）。其中最重要的一条是：

A

的行向量组的秩

=

列向量组的秩

= r (A)

（行秩

=

列秩，证明见本页行秩 = 列秩条）。由此可见，矩阵的秩与向量组的秩（§11.3）可以互相转化。

证明 / 推导

行阶梯形的秩 $=$ 非零行的个数. 证设行阶梯形

J

有

r

个非零行，各非零行的首非零元（主元）依次位于第

p_{1} < p_{2} < \dots < p_{r}

列。取前

r

行与第

p_{1}, \dots, p_{r}

列，作它们交叉处的子式：这个子式的

(i, j)

元是

J

的第

i

行在第

p_{j}

列的元素。当

i > j

时

p_{j} < p_{i}

，该元素位于第

i

行的主元之前，因而为

0

。所以这个子式是上三角行列式，它的对角元恰是那

r

个主元，全不为零，故子式的值等于主元之积，

\neq = 0

。由此

r (J) \geq r

。另一方面，任何

r + 1

阶子式都要取

J

的

r + 1

个行，其中必含全零行，值为

0

。所以

r (J) = r

。再由初等变换不改变秩，得

r (A) = r (J) = r

。

■

举例说明

例（2017 年数一·填空题）. 设

A = 110011121

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为线性无关的

3

维列向量组，求向量组

A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}

的秩。

解. 把三个向量拼成矩阵：

(A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}) = A (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = A P

。因为

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，所以

P

可逆。可逆矩阵是若干初等矩阵之积，右乘

P

相当于作一串初等列变换，不改变秩，因此所求的秩

= r (A P) = r (A)

。

对

A

作行变换化为阶梯形：

110011121 r_{2} - r_{1} 100011111 r_{3} - r_{2} 100010110,

非零行

2

个，故

r (A) = 2

。再按定义核对最高阶非零子式：二阶子式

1101 = 1 \neq = 0

；而唯一的三阶子式

∣ A ∣ = 0

（第 3 列

=

第 1 列

+

第 2 列，三列线性相关），可见最高阶非零子式的阶数是

2

。所求的秩为

2

。

2. $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ ：因为 $A B$ 的列是 $A$ 的各列的线性组合★★ 必会

这个不等式在秩的理论中用得最多，而它的根据只有一句话： $A B$ 的每一列都是 $A$ 的各列的线性组合，每一行都是 $B$ 的各行的线性组合。因此

A B

的列向量组张成的方向不会多于

A

的列向量组，行向量组张成的方向也不会多于

B

的行向量组。由此可见，矩阵相乘只会使秩不增。乘任何矩阵后

r

不增、乘可逆矩阵后

r

不变，根据都在于此。

证明 / 推导

证记

B

的第

j

列为

b_{j}

，则

A B

的第

j

列是

A b_{j}

，它就是以

b_{j}

的各分量为系数对

A

的各列所作的线性组合。因此

A B

的每一列都落在

A

的列向量组所张成的空间中，从而

r (A B) = (A B 的列秩) \leq (A 的列秩) = r (A) .

与此相类似，

A B

的第

i

行是以

A

的第

i

行的各分量为系数对

B

的各行所作的线性组合，因此

r (A B) \leq r (B)

。合并两式即得

r (A B) \leq min {r (A), r (B)}

。

推论. 如果

P

可逆，那么

r (P A) \leq r (A)

；又

r (A) = r (P^{- 1} P A) \leq r (P A)

，两式合起来得

r (P A) = r (A)

。这就证明了乘可逆矩阵不改变秩。

3. $r (A^{T} A) = r (A A^{T}) = r (A)$ ：转置相乘不改变秩★★ 必会

对任意实矩阵

A_{m \times n}

，有

r (A^{T} A) r (A A^{T}) = r (A) = r (A) .

证明的要点是：齐次方程组

A x = 0

与

A^{T} A x = 0

同解（解空间完全相同）；而

A

与

A^{T} A

都有

n

列，由解空间的维数

= n - r

即知两者的秩相等。

常用推论：

A

列满秩（

r (A) = n

）

⟺ A^{T} A

可逆；又二次型

x^{T} (A^{T} A) x = ∣ A x ∣^{2} \geq 0

，所以

A^{T} A

总是半正定的（列满秩时为正定）。最小二乘法即以此为根据。

必须注意：以上结论用到了矩阵是实的这一条件，因为要由

∣ A x ∣^{2} = 0 \Rightarrow A x = 0

；对复矩阵应改用共轭转置，即考虑

A^{H} A

。

证明 / 推导

证先证

A x = 0

与

A^{T} A x = 0

同解。
（ $\Rightarrow$ ）

A x = 0 \Rightarrow A^{T} (A x) = A^{T} A x = 0

。
（ $\Leftarrow$ ） 设

A^{T} A x = 0

，两边左乘

x^{T}

，得

x^{T} A^{T} A x = (A x)^{T} (A x) = ∣ A x ∣^{2} = 0

，因此

A x = 0

。
两个齐次方程组同解

\Rightarrow

解空间的维数相同：

n - r (A^{T} A) = n - r (A)

，于是

r (A^{T} A) = r (A)

。把

A

换成

A^{T}

，即得

r (A A^{T}) = r (A^{T}) = r (A)

。

■

举例说明

验证 $A = (1326)$ （两行成比例，

r (A) = 1

）。此时

A^{T} A = (1236) (1326) = (10202040)

，两行仍成比例，故

r (A^{T} A) = 1 = r (A)

。必须注意：一般说来

r (A^{2}) \neq = r (A)

，例如幂零矩阵

A = (0010)

有

r (A) = 1

，但

A^{2} = O, r (A^{2}) = 0

。只有与转置相乘才保持秩不变。

4. $A B = O$ 的秩表述： $B$ 的列都是 $A x = 0$ 的解，因此 $r (A) + r (B) \leq n$ ★★ 必会

A B = O

表面上只说乘积是零矩阵，从秩的角度看则可以读出更多：它等价于 $B$ 的每一列都是齐次方程组 $A x = 0$ 的解。而

A x = 0

的解空间的维数是

n - r (A)

（这里

A

有

n

列），

B

的列全都落在这个解空间内，其中线性无关的列的个数不会超过解空间的维数，于是

r (B) \leq n - r (A)

，即

r (A) + r (B) \leq n

。这条结论与另一条不等式

r (X) + r (Y) \geq r (X + Y)

配合使用，是证明各种秩恒等式的基本手段。

证明 / 推导

证设

B

的列为

b_{1}, \dots, b_{s}

。由

A B = O

得

(A b_{1}, \dots, A b_{s}) = O

，因而每个

A b_{j} = 0

，即

b_{j}

都是

A x = 0

的解。齐次方程组的解空间的维数为

n - r (A)

，而

b_{j}

全在其中，所以

r (B) = (列 b_{j} 的秩) \leq n - r (A)

，由此得

r (A) + r (B) \leq n

。

举例说明

设

n

阶方阵

A

满足

A^{2} = A

（幂等阵），证明

r (A) + r (A - E) = n

。

证. 一方面

A (A - E) = A^{2} - A = O

，由上面的结论得

r (A) + r (A - E) \leq n

。
另一方面，由秩的次可加性

r (X) + r (Y) \geq r (X + Y)

，取

X = A, Y = E - A

，得

r (A) + r (E - A) \geq r (A + (E - A)) = r (E) = n,

而

r (E - A) = r (A - E)

，所以

r (A) + r (A - E) \geq n

。两式合起来即得

r (A) + r (A - E) = n

。

注. 证

\leq

用

A B = O

，证

\geq

用

r (X + Y) \leq r (X) + r (Y)

，这是证明这类秩恒等式的常用方法。对合矩阵

A^{2} = E

可用同样的方法得到

r (A + E) + r (A - E) = n

。

5. 分块矩阵法：用一个分块恒等式证出 $r (A + B) \leq r (A) + r (B)$ ★ 要懂

秩的不等式如果直接用向量组去推，往往比较迂回；改用分块矩阵，再结合乘法不增秩，常常几步即可完成。这里要用的工具有两条：(i) 分块对角矩阵的秩

r (A O O B) = r (A) + r (B)

；(ii) 乘任何矩阵秩都不增，即

r (P X Q) \leq r (X)

。把

A + B

写成一个分块矩阵夹在两个简单矩阵之间，就能把它的秩的上界归结为

r (A) + r (B)

。先构造分块矩阵、再左右各乘一个矩阵，是处理较难的秩的证明题的通用方法。

证明 / 推导

证注意到

A + B = (E E) (A O O B) (E E),

（先算

(E E) (A O O B) = (A B)

，再右乘

(E E)

便得

A + B

。）由乘矩阵秩不增，

r (A + B) \leq r (A O O B) = r (A) + r (B) .

用同样的方法可证西尔维斯特不等式

r (A) + r (B) - n \leq r (A B)

：从

(A B O O E_{n})

出发作分块初等变换，化出

(O B - A E_{n})

，再比较两端的秩即得。这一族不等式的证明，都以分块矩阵的构造为基础。

6. 行秩 = 列秩何以成立：用满秩分解 $A = C R$ 给出证明★ 要懂

一张数表，按行数出线性无关的行的个数，按列数出线性无关的列的个数，两者总是相等。这一点并非显然，需要加以证明。证明中起主要作用的是下面的构造：如果行秩为

r

，那么每一行都是某

r

个行向量的线性组合，把这一事实写成矩阵分解

A = C R

（其中

C

是

m \times r

矩阵，

R

是

r \times n

矩阵），就可以看出所有的列也能由

r

个向量线性表示，于是列秩

\leq r =

行秩；对

A^{T}

再作一次同样的论证，便得到相反的不等式，两者因而相等。由此可见，矩阵按行与按列所反映的独立方向的个数是同一个数。

证明 / 推导

证设

A

（

m \times n

）的行秩为

r

，在它的行向量组中取一个极大无关组（

r

个行向量），排成

r \times n

矩阵

R

。因为每一行都是这组行向量的线性组合，第

i

行

= (c_{i 1}, \dots, c_{i r}) R

，把这些系数排成

m \times r

矩阵

C = (c_{ik})

，即得

A = C R .

于是

A

的每一列都是

C

的

r

个列的线性组合（

A = C R

的列

= C \times R

的对应列），所以

(列秩 A) \leq r = (行秩 A) .

对

A^{T}

作同样的论证，得

A^{T}

的行秩（即

A

的列秩）

\geq

A^{T}

的列秩（即

A

的行秩），即

(行秩 A) \leq (列秩 A)

。合并两个不等式，便得行秩

=

列秩。这个公共的数就称为矩阵的秩

r (A)

。

💡 小知识

行秩等于列秩是初学者最容易感到费解的定理之一：一张数表，横着数独立的行、竖着数独立的列，个数永远相同。这是线性代数中对偶关系的第一次亮相，它保证了无论从行出发还是从列出发，看到的都是同一个维度。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求矩阵

A = 123257 - 1 10

的秩。难度 1

求秩的标准动作：初等行变换化行阶梯形，数非零行。
把第

1

行的

(- 2)

倍、

(- 3)

倍分别加到第

2, 3

行：

A r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - 3 r_{1} 100211 - 1 33 r_{3} - r_{2} 100210 - 1 30 .

行阶梯形有

2

个非零行，故

r (A) = 2

。（说明三行并不「独立」，第三行可由前两行线性表示。）

例 2 设

A = 121132 15 a

，讨论

a

取何值时

r (A) = 3

，何值时

r (A) = 2

。难度 2

含参数求秩：先化行阶梯形，再看含参数的主元何时为零。

A r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100111 13 a - 1 r_{3} - r_{2} 100110 13 a - 4 .

前两行必为非零行。第三行是否为非零行，取决于主元

a - 4

：
- 当

a \neq = 4

时，

a - 4 \neq = 0

，有

3

个非零行，

r (A) = 3

；
- 当

a = 4

时，

a - 4 = 0

，第三行变零，

r (A) = 2

。

（可用行列式印证： $∣ A ∣ = a - 4$ ， $a \neq = 4$ 时 $∣ A ∣ \neq = 0$ 即满秩。）

例 3 设

A = 123 (111)

，求

r (A)

。难度 2

先把

A

乘出来（列向量乘行向量）：

A = 123123123 .

这是形如 $A = α β^{T}$ （非零列向量乘非零行向量）的秩 $1$ 矩阵，直接有

r (A) = 1

。也可从行变换看：

r_{2} - 2 r_{1}

、

r_{3} - 3 r_{1}

把后两行全消为零，只剩

1

个非零行，故

r (A) = 1

。
结论记牢：只要 $α, β$ 都是非零向量， $r (α β^{T}) = 1$ 。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设

n

阶矩阵

A, B, C

满足

r (A) + r (B) + r (C) = r (A B C) + 2 n

，给出下列四个结论：
①

r (A B C) + n = r (A B) + r (C)

；
②

r (A B) + n = r (A) + r (B)

；
③

r (A) = r (B) = r (C) = n

；
④

r (A B) = r (B C) = n

。
其中正确的选项是（　　）

A①②.
B①③.
C②④.
D③④.

2025 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = 4 a b 235 - 3 - 4 - 7

，若方程组

A^{2} x = 0

与

A x = 0

不同解，则

a - b =

______.

2024 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

在空间直角坐标系

O - x y z

中，三张平面

π_{i} : a_{i} x + b_{i} y + c_{i} z = d_{i} (i = 1, 2, 3)

的位置关系如图所示（三张平面相交于同一条直线），记

α_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i})

，

β_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i})

。若

r α_{1} α_{2} α_{3} = m

，

r β_{1} β_{2} β_{3} = n

，则（　　）

A $m = 1, n = 2$ .
B $m = n = 2$ .
C $m = 2, n = 3$ .
D $m = n = 3$ .

2023 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

已知

n

阶矩阵

A, B, C

满足

A B C = O

，

E

为

n

阶单位矩阵。记矩阵

(O B C A E), (A B O C E), (E A B A B O)

的秩分别为

r_{1}, r_{2}, r_{3}

，则（　　）

A $r_{1} \leq r_{2} \leq r_{3}$ .
B $r_{1} \leq r_{3} \leq r_{2}$ .
C $r_{3} \leq r_{1} \leq r_{2}$ .
D $r_{2} \leq r_{1} \leq r_{3}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

r 100210340 =

____。

练习 2 · 选择题

设

A

为

5 \times 4

矩阵，则

r (A)

的最大可能值是（）。

A $4$
B $5$
C $9$
D $20$

练习 3 · 选择题

设

A

为

n

阶方阵且

r (A) = n - 1

，则

r (A^{*}) =

（）。

A $n$
B $1$
C $0$
D $n - 1$

练习 4 · 填空题

设

A = 1 - 1 2 (21 - 1)

，则

r (A) =

____。

练习 5 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶方阵且

A B = O

，则下列一定成立的是（）。

A $r (A) + r (B) \leq n$
B $A = O$ 或 $B = O$
C $r (A) = r (B)$
D $r (A B) = r (A) + r (B)$

练习 6 · 选择题

设

A

是

4 \times 3

矩阵，

B

是

3 \times 4

矩阵，且

r (A) = r (B) = 3

。则下列结论中一定成立的是（）。

A $r (A B) = 3$
B $r (B A) = 2$
C $A B$ 可逆
D $r (B A) = 3$

练习 7 · 填空题

设

A

为

4

阶矩阵，满足

A^{2} = A

且

r (A) = 3

，则

r (A - E) =

____。

练习 8 · 解答题

设

A = 111112341357 14 a b .

（1）讨论

a, b

取不同值时

r (A)

的取值；
（2）证明：无论

a, b

取何值，

A

都不可逆；
（3）当

r (A)

取到最小值时，把

A

的第

3, 4

列分别用第

1, 2

列线性表示，并求

r (A^{T} A)

。

2018 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，记

r (X)

为矩阵

X

的秩，

(X, Y)

表示分块矩阵，则（　　）

A $r (A, A B) = r (A)$
B $r (A, B A) = r (A)$
C $r (A, B) = max {r (A), r (B)}$
D $r (A, B) = r (A^{T}, B^{T})$

2018 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

已知

a

是常数，且矩阵

A = 112237 a 0 - a

可经初等列变换化为矩阵

B = 10 - 1 a 11 211

.
（Ⅰ）求

a

；
（Ⅱ）求满足

A P = B

的可逆矩阵

P

矩阵的秩

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 秩的定义：k 阶子式与最高阶非零子式；行阶梯形的非零行个数；行秩 = 列秩★★ 必会

2. r(AB)≤min{r(A),r(B)}：因为 AB 的列是 A 的各列的线性组合★★ 必会

3. r(ATA)=r(AAT)=r(A)：转置相乘不改变秩★★ 必会

4. AB=O 的秩表述：B 的列都是 Ax=0 的解，因此 r(A)+r(B)≤n★★ 必会

5. 分块矩阵法：用一个分块恒等式证出 r(A+B)≤r(A)+r(B)★ 要懂

6. 行秩 = 列秩何以成立：用满秩分解 A=CR 给出证明★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 秩的定义： $k$ 阶子式与最高阶非零子式；行阶梯形的非零行个数；行秩 $=$ 列秩★★ 必会

2. $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ ：因为 $A B$ 的列是 $A$ 的各列的线性组合★★ 必会

3. $r (A^{T} A) = r (A A^{T}) = r (A)$ ：转置相乘不改变秩★★ 必会

4. $A B = O$ 的秩表述： $B$ 的列都是 $A x = 0$ 的解，因此 $r (A) + r (B) \leq n$ ★★ 必会

5. 分块矩阵法：用一个分块恒等式证出 $r (A + B) \leq r (A) + r (B)$ ★ 要懂

6. 行秩 = 列秩何以成立：用满秩分解 $A = C R$ 给出证明★ 要懂