向量的线性组合与线性表示

§11.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.89 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

4.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算矩阵的秩③ 掌握后可解锁向量组的线性相关性非齐次线性方程组解的结构

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 线性组合与线性表示的定义： $β$ 可由 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 表示 $⟺ r (A) = r (A, β)$ ★★ 必会

① 定义. 表达式

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s}

（

k_{i}

为数）称为向量组

α_{1}, \dots, α_{s}

的一个线性组合；如果存在一组数

k_{1}, \dots, k_{s}

使

β = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s},

那么称

β

可由向量组 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性表示（线性表出）。

② 化为线性方程组（判定的基本途径）. 把各向量按列拼成

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

，则

β

可以表示，就是非齐次线性方程组 $A x = β$ 有解（解

x

的各分量即为表示的系数）。根据解的判定定理（§12.2），有下面的完整分类：
可表示

⟺ r (A) = r (A, β)

（系数矩阵与增广矩阵同秩）；
其中表示式唯一

⟺ r (A) = r (A, β) = s

；
表示式有无穷多个

⟺ r (A) = r (A, β) < s

；
不可表示

⟺ r (A) < r (A, β)

，这时必有

r (A, β) = r (A) + 1

（增广矩阵只多一列，秩至多增加

1

）。

③ 具体做法与几个简单事实. 做法是：对增广矩阵

(A ∣ β)

作初等行变换化成阶梯形，即可读出两个秩；如果还要写出表示的系数，就继续化成行最简形再回代。几个简单事实：零向量可由任何向量组表示（系数全取

0

即可）；组内每个

α_{i}

都可由整组表示；如果

α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关，而添入

β

后成为线性相关，那么

β

可由该组唯一地表示（唯一性与线性无关的完整关系见本页表示式的唯一性条）。

证明 / 推导

证只需证明方程组有解

⟺ r (A) = r (A, β)

及关于唯一性的结论。把增广矩阵

(A ∣ β)

用初等行变换化为行阶梯形；行变换既不改变方程组的解集，也不改变

A

与

(A, β)

各自的秩。

如果 $r (A) < r (A, β)$ ，那么增广矩阵的阶梯形中必出现形如

(0, 0, \dots, 0 ∣ d)

而

d \neq = 0

的一行，它对应矛盾方程

0 = d

，因此方程组无解，

β

不能表示。

如果 $r (A) = r (A, β) = r$ ，那么阶梯形只有

r

个非零行，且每个主元都落在系数部分。把主元所在的

r

个未知数取作主变量，其余

s - r

个取作自由变量，自上而下回代即可解出主变量，故方程组有解，

β

可以表示。解中含

s - r

个自由参数：当

r = s

时没有自由参数，表示的系数被唯一确定；当

r < s

时自由参数可以任取，于是得到无穷多组表示的系数。

■

举例说明

例（1991 年数一·解答题）. 设

α_{1} = (1, 0, 2, 3), α_{2} = (1, 1, 3, 5), α_{3} = (1, - 1, a + 2, 1), α_{4} = (1, 2, 4, a + 8)

及

β = (1, 1, b + 3, 5)

。问：

a, b

为何值时

β

不能由

α_{1}, \dots, α_{4}

线性表示？

a, b

为何值时能唯一表示？

解. 能否表示，就是问方程

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + x_{3} α_{3} + x_{4} α_{4} = β

是否有解。把各向量转置后作为列，对增广矩阵作行变换（

r_{3} - 2 r_{1}, r_{4} - 3 r_{1}

，再作

r_{3} - r_{2}, r_{4} - 2 r_{2}

）：

10231135 1 - 1 a + 2 1 124 a + 8 11 b + 3 5 \to 10001100 1 - 1 a + 1 0 120 a + 1 11 b 0 .

当 $a = - 1$ 且 $b \neq = 0$ 时，第 3 行成为

(0, 0, 0, 0 ∣ b)

，

r (A) = 2 < 3 = r (A, β)

，方程组无解，

β

不可表示。

当 $a \neq = - 1$ 时（

b

任意），

r (A) = r (A, β) = 4 = s

，方程组有唯一解。回代得

x_{4} = 0, x_{3} = \frac{b}{a + 1}, x_{2} = \frac{a + b + 1}{a + 1}, x_{1} = - \frac{2 b}{a + 1}

，即得唯一的表示式

β = - \frac{2 b}{a + 1} α_{1} + \frac{a + b + 1}{a + 1} α_{2} + \frac{b}{a + 1} α_{3} + 0 \cdot α_{4} .

（另外，当

a = - 1

且

b = 0

时

r (A) = r (A, β) = 2 < 4

，可以表示，但表示式有无穷多个。三种情形在同一道真题中全部出现，恰好对应 ② 中的分类。）

2. 表示式是否唯一，完全由作表示的那组向量决定：唯一当且仅当它们线性无关★★ 必会

设

β

可由

α_{1}, \dots, α_{s}

线性表示（即

A x = β

相容，其中

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

）。表示法是否唯一，与 $β$ 无关，只由 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 自身决定：

- 表示唯一

⟺ α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关

⟺ r (A) = s

；
- 表示不唯一（有无穷多种）

⟺ α_{1}, \dots, α_{s}

线性相关

⟺ r (A) < s

。

从直观上看：如果这组作表示的向量中有多余的（即线性相关），那么在配出

β

时可以此增彼减，系数自然不唯一。更有用的是下面这一点：此时全部表示式 = 某一个特定的表示 $+$ 导出组 $A x = 0$ 的全部解，这种特解

+

通解的结构在 11.1 中已经出现过。

证明 / 推导

证设

β = \sum_{i} x_{i} α_{i} = \sum_{i} x_{i}^{'} α_{i}

有两组系数，两式相减得

\sum_{i} (x_{i} - x_{i}^{'}) α_{i} = 0

。记

c = x - x^{'}

。于是表示唯一（即

x

必等于

x^{'}

）

⟺

由

\sum_{i} c_{i} α_{i} = 0

只能推出

c = 0

⟺ α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关。

当它们线性相关时，取

A x = 0

的一个非零解

ξ

，则对任一表示

x_{0}

，

x_{0} + k ξ (k \in R)

都给出一个表示，因此表示有无穷多种，并且全体表示恰为

{x_{0} + 导出组通解}

。

■

举例说明

设

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 1, 2)^{T}, β = (2, 1, 3)^{T}

。因为

α_{3} = α_{1} + α_{2}

，所以向量组线性相关，

r = 2 < 3

，表示不唯一。解

A x = β

，得

(A ∣ β) \to 100010110210, x_{1} = 2 - x_{3}, x_{2} = 1 - x_{3}, x_{3} 自由 .

于是全部表示式为

β = (2 - t) α_{1} + (1 - t) α_{2} + t α_{3} (t \in R)

；取

t = 0

得一个特定的表示

β = 2 α_{1} + α_{2}

，而导出组的解为

t (- 1, - 1, 1)^{T}

。

3. 基本定理：以少表多则多者必线性相关，本章许多结论都由它导出★ 要懂

这是向量组理论中最有用的定理之一：如果 $β_{1}, \dots, β_{t}$ 都可由 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性表示，且 $t > s$ ，那么 $β_{1}, \dots, β_{t}$ 线性相关。 就是说，一组向量若能由个数更少的一组向量表示，则其中必有多余的向量。

维数的唯一性、秩不增、

n + 1

个

n

维向量必相关等一系列结论，都由这条定理导出。例如它有下面的直接推论：

n + 1

个

n

维向量必线性相关，因为它们都能被

n

个标准基向量表示。

证明 / 推导

证把表示式写成矩阵形式

(β_{1}, \dots, β_{t}) = (α_{1}, \dots, α_{s}) K

，其中

K

为

s \times t

矩阵。考察齐次方程组

K x = 0

：它有

s

个方程、

t

个未知数，而

r (K) \leq s < t

，所以它必有非零解

x_{0}

。于是

(β_{1}, \dots, β_{t}) x_{0} = (α_{1}, \dots, α_{s}) (K x_{0}) = (α_{1}, \dots, α_{s}) \cdot 0 = 0,

即

\sum_{j} (x_{0})_{j} β_{j} = 0

，且

x_{0} \neq = 0

，因此

β_{1}, \dots, β_{t}

线性相关。

■

举例说明

判断

R^{3}

中

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}, α_{2} = (0, 1, 4)^{T}, α_{3} = (2, 0, 1)^{T}, α_{4} = (1, 1, 1)^{T}

的相关性。这四个三维向量都可由标准基

e_{1}, e_{2}, e_{3}

（共

3

个）表示，而

4 > 3

，由上面的定理立即断定它们线性相关，不必作任何计算。如果还要写出一个具体的线性关系式，才需要解

A x = 0

。

4. 向量组等价的秩判据： $r (I) = r (II) = r (I, II)$ ★★ 必会

两向量组

(I) : α_{1}, \dots, α_{s}

与

(II) : β_{1}, \dots, β_{t}

等价（即可以相互线性表示）的充分必要条件是

r (I) = r (II) = r (I, II),

其中

(I, II)

是把两组向量并在一起所成的大向量组。

必须注意：等价

\Rightarrow

秩相等，但秩相等 $\neq \Rightarrow$ 等价。例如取

(I) = {(1, 0)^{T}}, (II) = {(0, 1)^{T}}

，两组的秩都是

1

，却互不能表示，且

r (I, II) = 2 \neq = 1

。所以判断等价时，还必须验证并组的秩。

证明 / 推导

证

(\Rightarrow)

设两组等价。

(II)

中每个向量都可由

(I)

表示，因此并组

(I, II)

可由

(I)

表示，于是

r (I, II) \leq r (I)

；又

(I)

是

(I, II)

的一部分，故

r (I) \leq r (I, II)

。两式合起来得

r (I) = r (I, II)

。同理

r (II) = r (I, II)

。

(\Leftarrow)

设

r (I) = r (I, II)

。

(I)

的极大无关组含

r (I)

个向量，它在并组中仍线性无关，且个数

= r (I, II)

，因此它也是并组的极大无关组。于是并组中每个向量，特别是

(II)

中每个向量，都可由

(I)

表示。同理，由

r (II) = r (I, II)

得

(I)

可由

(II)

表示。所以两组等价。

■

举例说明

设

α_{1} = (1, 0, - 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

；

β_{1} = (1, 1, 0)^{T}, β_{2} = (1, - 1, - 2)^{T}

。验证它们等价：由

β_{1} = α_{1} + α_{2}, β_{2} = α_{1} - α_{2}

知

II

可由

I

表示；由

α_{1} = \frac{1}{2} (β_{1} + β_{2}), α_{2} = \frac{1}{2} (β_{1} - β_{2})

知

I

可由

II

表示。所以两组等价，且

r (I) = r (II) = r (I, II) = 2

。

5. 线性表示的传递性与秩不等式 $r (I) \leq r (II)$ ★ 要懂

线性表示具有传递性：如果

(I)

可由

(II)

表示，

(II)

可由

(III)

表示，那么

(I)

可由

(III)

表示。由此得到一条很重要的秩不等式：

(I) 可由 (II) 线性表示 ⟹ r (I) \leq r (II) .

它是以少表多必相关这一定理的秩的形式，也是等价

\Rightarrow

秩相等的来源，常用来比较或估计秩。

证明 / 推导

证 传递性. 设

(α) = (β) M, (β) = (γ) L

，则

(α) = (γ) (L M)

，即

(α)

可由

(γ)

表示。

秩不等式. 设

(I) = (α_{1}, \dots, α_{s})

可由

(II) = (β_{1}, \dots, β_{t})

表示，写成

(α_{1}, \dots, α_{s}) = (β_{1}, \dots, β_{t}) K

。于是

r (I) = r ((β_{1}, \dots, β_{t}) K) \leq r (β_{1}, \dots, β_{t}) = r (II),

这里用到了

r (B K) \leq r (B)

。

推论.

(I), (II)

等价

\Rightarrow

两组可以互相表示

\Rightarrow r (I) \leq r (II)

且

r (II) \leq r (I)

\Rightarrow r (I) = r (II)

。

■

举例说明

已知

β_{1}, β_{2}, β_{3}

可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，问

β_{1}, β_{2}, β_{3}

能否线性无关？由

r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) \leq r (α_{1}, α_{2}) \leq 2 < 3,

可见它们的秩小于

3

，因此

β_{1}, β_{2}, β_{3}

必线性相关，不可能线性无关。这就是用秩来证明以少表多、多必相关的方法。

💡 小知识

线性代数这门课的名字，来源就是线性表示：整门课研究的，无非是数乘与相加这一种运算到底能生成什么。RGB 三原色配色、声音按频率分解、量子态的叠加，做的都是同一件事，即用一组基向量把目标线性表示出来。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

α_{1} = (1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, - 1)^{T}

，

β = (3, 1)^{T}

。判断

β

能否由

α_{1}, α_{2}

线性表示；若能，写出表示式。难度 1

设

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} = β

，按分量展开得方程组

{x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} - x_{2} = 1.

两式相加得

2 x_{1} = 4

，即

x_{1} = 2

；代回得

x_{2} = 1

。方程组有唯一解，故

β

可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，且

β = 2 α_{1} + α_{2} .

验证：

2 (1, 1)^{T} + (1, - 1)^{T} = (3, 1)^{T} = β

。

■

例 2 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 4)^{T}

，

β = (1, 3, 7)^{T}

。判断

β

能否由

α_{1}, α_{2}

线性表示；若能，求表示式。难度 1

把向量按列拼成增广矩阵

(α_{1}, α_{2} ∣ β)

，作初等行变换：

111124137 r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100113126 r_{3} - 3 r_{2} r_{1} - r_{2} 100010 - 1 20 .

于是

r (A) = r (A, β) = 2

，方程组有唯一解

x_{1} = - 1, x_{2} = 2

。故

β = - α_{1} + 2 α_{2} .

验证：

- (1, 1, 1)^{T} + 2 (1, 2, 4)^{T} = (1, 3, 7)^{T} = β

。

■

例 3 设

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{2} = (2, 4, 6)^{T}

，

β = (1, 1, 1)^{T}

。判断

β

能否由

α_{1}, α_{2}

线性表示。难度 2

对增广矩阵

(α_{1}, α_{2} ∣ β)

作初等行变换：

123246111 r_{2} - 2 r_{1} r_{3} - 3 r_{1} 100200 1 - 1 - 2 .

此时系数矩阵部分只剩第

1

列非零，

r (A) = 1

；而增广矩阵出现非零的第

3

列，

r (A, β) = 2

。因

r (A) = 1 < 2 = r (A, β)

，方程组无解，故

β

不能由

α_{1}, α_{2}

线性表示。

（直观理解：

α_{2} = 2 α_{1}

，二者共线，其组合只能落在

α_{1}

所在的直线上，而

β

不在这条直线上。）

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，

β

为

n

维列向量，若

A

的列向量组可由

B

的列向量组线性表示，则（　　）

A当 $A x = β$ 有解时， $B x = β$ 有解
B当 $A^{T} x = β$ 有解时， $B^{T} x = β$ 有解
C当 $B x = β$ 有解时， $A x = β$ 有解
D当 $B^{T} x = β$ 有解时， $A^{T} x = β$ 有解

2023 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　　）

A $k 334, k \in R$ .
B $k 3510, k \in R$ .
C $k - 1 12, k \in R$ .
D $k 158, k \in R$ .

2023 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 1011, α_{2} = - 1 - 1 01, α_{3} = 01 - 1 1, β = 111 - 1

，

γ = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}

。若

γ^{T} α_{i} = β^{T} α_{i} (i = 1, 2, 3)

，则

k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

α_{1} = (1, 2)^{T}

，

α_{2} = (2, 1)^{T}

，

β = (4, 5)^{T}

，则

β

由

α_{1}, α_{2}

的线性表示式为（　）。

A $β = α_{1} + 2 α_{2}$
B $β = 2 α_{1} + α_{2}$
C $β = 2 α_{1} - α_{2}$
D $β = α_{1} + α_{2}$

练习 2 · 选择题

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，已知

r (A) = 2

，

r (A, β) = 3

，则

β

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示的情况是（　）。

A可唯一表示
B有无穷多种表示
C不能表示
D无法确定

练习 3 · 填空题

设

α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

β = (1, a, 2)^{T}

。若

β

能由

α_{1}, α_{2}

线性表示，则

a =

____。

练习 4 · 选择题

设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，向量

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，则表示法（　）。

A唯一
B有无穷多种
C不存在
D不确定

练习 5 · 选择题

设

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

α_{3} = (1, 1, a)^{T}

，

β = (1, 2, 4)^{T}

。若

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，则

a =

（　）。

A $2$
B $1$
C $0$
D $- 2$

练习 6 · 填空题

设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{3} = (1, 3, t)^{T}

，

β = (1, 0, - 1)^{T}

。若

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表示法不唯一，则

t =

____。

练习 7 · 解答题

设

α_{1} = (1, 1, a)^{T}

，

α_{2} = (1, a, 1)^{T}

，

α_{3} = (a, 1, 1)^{T}

，

β = (1, 1, - 2)^{T}

。讨论

a

取何值时：

（1）

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示；

（2）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

唯一地线性表示，并求出表示式；

（3）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示但表示法不唯一，并求出全部表示式。

2013 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B, C

均为

n

阶矩阵，若

AB = C

，且

B

可逆，则（　　）

A矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价.
B矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价.
C矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价.
D矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价.

2011 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设向量组

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

不能由向量组

β_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

β_{2} = (1, 2, 3)^{T}

，

β_{3} = (3, 4, a)^{T}

线性表示。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）将

β_{1}, β_{2}, β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示。

1991 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 8 分

设

α_{1} = (1, 0, 2, 3), α_{2} = (1, 1, 3, 5), α_{3} = (1, - 1, a + 2, 1), α_{4} = (1, 2, 4, a + 8)

及

β = (1, 1, b + 3, 5)

.

(1)

a, b

为何值时，

β

不可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性表示？

(2)

a, b

为何值时，

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

唯一线性表示？并写出该表达式.

向量的线性组合与线性表示

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 线性组合与线性表示的定义：β 可由 α1​,…,αs​ 表示 ⟺r(A)=r(A,β)★★ 必会

2. 表示式是否唯一，完全由作表示的那组向量决定：唯一当且仅当它们线性无关★★ 必会

3. 基本定理：以少表多则多者必线性相关，本章许多结论都由它导出★ 要懂

4. 向量组等价的秩判据：r(I)=r(II)=r(I,II)★★ 必会

5. 线性表示的传递性与秩不等式 r(I)≤r(II)★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 线性组合与线性表示的定义： $β$ 可由 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 表示 $⟺ r (A) = r (A, β)$ ★★ 必会

4. 向量组等价的秩判据： $r (I) = r (II) = r (I, II)$ ★★ 必会

5. 线性表示的传递性与秩不等式 $r (I) \leq r (II)$ ★ 要懂