非齐次线性方程组解的结构

§12.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.88 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

2.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）齐次线性方程组与基础解系向量的线性组合与线性表示③ 掌握后可解锁线性方程组解的判定

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 非齐次线性方程组解的结构定理：通解 $x = η^{} + k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}$ ★★ 必会*

设非齐次线性方程组

A x = b

（

A

为

m \times n

矩阵，

b \neq = 0

）有解，且

r (A) = r

。称对应的齐次线性方程组

A x = 0

为它的导出组。

① 解的基本关系：如果

η_{1}, η_{2}

都是

A x = b

的解，那么

A (η_{1} - η_{2}) = 0

，即两个非齐次解之差是导出组的解；反之，在非齐次解上加一个导出组的解，所得仍是非齐次解，因为

A (η^{*} + ξ) = b + 0 = b

。

② 结构定理：任取

A x = b

的一个特解

η^{*}

，设

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

是导出组

A x = 0

的一个基础解系，则

A x = b

的通解为

x = η^{*} + k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r},

其中

k_{1}, \dots, k_{n - r}

为任意常数。简言之，非齐次线性方程组的通解 $=$ 它的一个特解 $+$ 导出组的通解。

③ 注意：当

b \neq = 0

时，解集不是向量空间，因为零向量不是解，两个解之和也不再是解，故不能称它为解空间。它是导出组的解空间沿

η^{*}

的平移，自由度仍为

n - r

。特解与基础解系都不唯一，因此同一方程组可以写出形式不同的通解，但它们表示的解集是相同的。

证明 / 推导

先证都是解：事实上，对任意常数

k_{1}, \dots, k_{n - r}

，

A (η^{*} + i \sum k_{i} ξ_{i}) = A η^{*} + i \sum k_{i} A ξ_{i} = b + 0 = b .

再证完备性（任一解都能写成这种形式）：设

x

是

A x = b

的任一解，则

A (x - η^{*}) = A x - A η^{*} = b - b = 0,

即

x - η^{*}

是导出组的解，从而可由基础解系线性表出，

x - η^{*} = k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}

，移项即得

x = η^{*} + \sum_{i} k_{i} ξ_{i}

。两方面合起来可见，② 中的集合恰好是全部解，既无遗漏，也不多余。

■

举例说明

真题（2002·数一） 已知

4

阶方阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

，其中

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关，

α_{1} = 2 α_{2} - α_{3}

，又

β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}

，求

A x = β

的通解。

解. 按结构定理分三步进行。第一步，定出基础解系所含向量的个数：

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关，而

α_{1}

可由它们线性表出，故

r (A) = 3

，基础解系含

n - r = 4 - 3 = 1

个向量。第二步，求导出组的解：把

α_{1} - 2 α_{2} + α_{3} = 0

改写为列向量的线性组合

A (1, - 2, 1, 0)^{T} = 0

，得

ξ = (1, - 2, 1, 0)^{T} \neq = 0

。第三步，求特解：把

β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}

改写为

A (1, 1, 1, 1)^{T} = β

，得

η^{*} = (1, 1, 1, 1)^{T}

。因此所求通解为

x = (1, 1, 1, 1)^{T} + k (1, - 2, 1, 0)^{T},

其中

k

为任意常数。

2. 解的线性组合何时仍是解：系数和为 1 时是 Ax=b 的解，为 0 时是 Ax=0 的解★★ 必会

设

η_{1}, \dots, η_{k}

都是

A x = b

的解，则它们的线性组合满足

A (i \sum c_{i} η_{i}) = (i \sum c_{i}) b .

由此可见：系数之和 $\sum c_{i} = 1$ $\Rightarrow$ 该组合仍是 $A x = b$ 的解；系数之和 $\sum c_{i} = 0$ $\Rightarrow$ 该组合是导出组 $A x = 0$ 的解。 这条关于系数之和的判据是处理抽象非齐次方程组的基本工具：要构造新的特解，就使系数之和为

1

；要由已知的非齐次解得出导出组的解，就使系数之和为

0

。

证明 / 推导

证. 由矩阵乘法的线性性质，

A (\sum_{i} c_{i} η_{i}) = \sum_{i} c_{i} (A η_{i}) = \sum_{i} c_{i} b = (\sum_{i} c_{i}) b

。如果

\sum_{i} c_{i} = 1

，那么右端

= b

，故该组合是

A x = b

的解；如果

\sum_{i} c_{i} = 0

，那么右端

= 0

，故该组合是

A x = 0

的解。

■

举例说明

已知

η_{1}, η_{2}, η_{3}

是

A x = b

的解，判断下列向量各是哪个方程组的解：

-

2 η_{1} - η_{2}

（系数之和为

1

）

\to A x = b

的解；
-

η_{1} - η_{2}

（系数之和为

0

）

\to A x = 0

的解；
-

\frac{1}{3} (η_{1} + η_{2} + η_{3})

（系数之和为

1

）

\to A x = b

的解；
-

η_{1} + η_{2} - 2 η_{3}

（系数之和为

0

）

\to A x = 0

的解。

3. 由 k 个线性无关的非齐次解可得 k−1 个线性无关的齐次解，从而 n−r≥k−1★ 要懂

如果

A x = b

有

k

个线性无关的解

η_{1}, \dots, η_{k}

，那么

η_{2} - η_{1}, \dots, η_{k} - η_{1}

是导出组

A x = 0

的

k - 1

个线性无关的解，从而基础解系所含向量不少于

k - 1

个，于是

n - r (A) r (A) \geq k - 1 \leq n - k + 1.

这是由解的个数反推系数矩阵的秩的常用途径，在证明题与填空题中经常用到。

证明 / 推导

证. 每个

η_{i} - η_{1}

满足

A (η_{i} - η_{1}) = b - b = 0

，故都是

A x = 0

的解。再证线性无关：设

\sum_{i = 2}^{k} λ_{i} (η_{i} - η_{1}) = 0

，展开得

- (i = 2 \sum k λ_{i}) η_{1} + λ_{2} η_{2} + \dots + λ_{k} η_{k} = 0.

由于

η_{1}, \dots, η_{k}

线性无关，上式中各系数必须为零，即

λ_{2} = \dots = λ_{k} = 0

。这就证明了

η_{2} - η_{1}, \dots, η_{k} - η_{1}

线性无关。它们共

k - 1

个，且都是导出组的解，因此

n - r = dim (解空间) \geq k - 1

。

■

举例说明

设

4

元非齐次线性方程组

A x = b

有

3

个线性无关的解，则

n - r (A) \geq 3 - 1 = 2

，因此

r (A) \leq 4 - 2 = 2

。另一方面，当

b \neq = 0

且方程组有解时

r (A) = r (A, b) \geq 1

。综合两式得

1 \leq r (A) \leq 2

。

4. 行满秩当且仅当对任意 b 都有解；列满秩当且仅当有解必唯一★ 要懂

设

A

为

m \times n

矩阵。当它的秩取到最大可能值时，可以直接读出解的存在性与唯一性：

-

r (A) = m

（行满秩）

⟺

对每个

b \in R^{m}

，

A x = b

都有解（此时

A

的列向量张成整个

R^{m}

）；
-

r (A) = n

（列满秩）

⟺ A x = 0

只有零解

⟺ A x = b

一旦有解就唯一。

对于方阵（

m = n

），两者合而为一：

r = n ⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺

对任意

b

都有唯一解。由此可见，行满秩决定解的存在性，列满秩决定解的唯一性，许多判定题据此即可直接作答。

证明 / 推导

证. 行满秩的情形：

A x = b

有解

⟺ r (A) = r (A, b)

。如果

r (A) = m

，那么

r (A, b) \leq m = r (A) \leq r (A, b)

，三者必相等，故方程组恒有解；反之，若对任意

b

方程组都有解，取

b

遍历

R^{m}

的一组基，即知列空间

= R^{m}

，于是

r (A) = m

。

列满秩的情形：解唯一

⟺

导出组

A x = 0

只有零解

⟺ r (A) = n

，这正是齐次线性方程组的判定条件。

■

举例说明

设

A

为

3 \times 4

矩阵，且

r (A) = 3

。此时它行满秩（

m = 3

），故对任意

b \in R^{3}

方程组都有解；又

n - r = 1 > 0

，故必有无穷多解。与此相对，

4 \times 3

、

r = 3

的矩阵是列满秩的，

A x = b

一旦有解就唯一，但未必对所有

b

都有解，也可能无解。

5. 抽象型综合题：已知秩与若干个解，写出通解★★ 必会

综合题常常不给出

A

的具体形式，只给出

r (A)

与若干个解，要求写出通解。求解可按四步进行：① 由

n - r

定出基础解系所含向量的个数；② 利用系数之和

= 0

的判据，从已知解构造出足够多的导出组的解，凑成基础解系；③ 利用系数之和

= 1

的判据取一个特解；④ 按结构定理拼成

x = η^{*} + \sum_{i} k_{i} ξ_{i}

。本条把前面两条要点合起来使用。

举例说明

设

4

元非齐次线性方程组

A x = b

满足

r (A) = 3

，已知它的三个解

η_{1}, η_{2}, η_{3}

中

η_{1} = (1, 1, 1, 1)^{T}

，

η_{2} + η_{3} = (2, 3, 4, 5)^{T}

。求它的通解。

解. 由

n - r = 4 - 3 = 1

知基础解系只含

1

个向量。先构造导出组的解：

2 η_{1} - (η_{2} + η_{3})

的系数之和

= 2 - 1 - 1 = 0

，故它是

A x = 0

的解，

2 (1, 1, 1, 1)^{T} - (2, 3, 4, 5)^{T} = (0, - 1, - 2, - 3)^{T} \neq = 0,

于是可取基础解系

ξ = (0, - 1, - 2, - 3)^{T}

。再取特解

η^{*} = η_{1}

，它的系数之和为

1

。因此所求通解为

x = (1, 1, 1, 1)^{T} + k (0, - 1, - 2, - 3)^{T} (k \in R),

末项也可以写成

+ k (0, 1, 2, 3)^{T}

。

■

💡 小知识

通解等于特解加齐次通解这个结构，在微分方程里完全一样：非齐次线性 ODE 的通解，也是一个特解加上齐次方程的通解。线性方程组与线性微分方程遵循的是同一条线性叠加原理，凡是线性的对象都受它支配。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求非齐次线性方程组

{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2, x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0

的通解。难度 1

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = (11 1 - 1 1120) r_{2} - r_{1} (10 1 - 2 10 2 - 2) r_{2} \div (- 2) r_{1} - r_{2} (10011011) .

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

，有无穷多解。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = 1 - x_{3}, x_{2} = 1

。

特解（取

x_{3} = 0

）：

η^{*} = (1, 1, 0)^{T}

。导出组基础解系（令右端为

0

，则

x_{1} = - x_{3}, x_{2} = 0

，取

x_{3} = 1

）：

ξ = (- 1, 0, 1)^{T}

。通解为

x = (1, 1, 0)^{T} + k (- 1, 0, 1)^{T} (k 任意) .

■

例 2 求非齐次线性方程组

{x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 1, 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2

的通解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = (1212212112) r_{2} - 2 r_{1} (1010 2 - 3 2 - 3 10) r_{2} \div (- 3) r_{1} - 2 r_{2} (1010010110) .

r (A) = r (A, b) = 2 < 4

，有无穷多解。主元

x_{1}, x_{3}

，自由变量

x_{2}, x_{4}

，且

x_{1} = 1 - x_{2}, x_{3} = - x_{4}

。

特解（取

x_{2} = x_{4} = 0

）：

η^{*} = (1, 0, 0, 0)^{T}

。导出组基础解系：取

(x_{2}, x_{4}) = (1, 0)

得

ξ_{1} = (- 1, 1, 0, 0)^{T}

，取

(x_{2}, x_{4}) = (0, 1)

得

ξ_{2} = (0, 0, - 1, 1)^{T}

。通解为

x = (1, 0, 0, 0)^{T} + k_{1} (- 1, 1, 0, 0)^{T} + k_{2} (0, 0, - 1, 1)^{T} .

■

例 3 设

A x = b

是

3

元非齐次线性方程组，

r (A) = 2

，已知它的两个解

η_{1} = (1, 0, 2)^{T}

，

η_{2} = (3, 2, 0)^{T}

。求

A x = b

的通解。难度 2

利用解的结构定理。 因为

η_{1}, η_{2}

都是

A x = b

的解，其差是导出组

A x = 0

的解：

η_{1} - η_{2} = (1, 0, 2)^{T} - (3, 2, 0)^{T} = (- 2, - 2, 2)^{T} .

由于

n = 3, r (A) = 2

，导出组基础解系含

n - r = 1

个向量，故上式（约简为）

ξ = (- 1, - 1, 1)^{T}

就是一个基础解系。

取特解为

η_{1}

，则通解为

x = η_{1} + k ξ = (1, 0, 2)^{T} + k (- 1, - 1, 1)^{T} (k 任意) .

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

是

n

维向量，

α_{1}, α_{2}

线性无关，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，且

α_{1} + α_{2} + α_{4} = 0

。在空间直角坐标系

O - x y z

中，关于

x, y, z

的方程组

x α_{1} + y α_{2} + z α_{3} = α_{4}

的几何图形是（　　）

A过原点的一个平面.
B过原点的一条直线.
C不过原点的一个平面.
D不过原点的一条直线.

2025 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 0 - 1 - 1 - 1 0 - 1 22 a

，已知

1

是

A

的特征多项式的重根。
（Ⅰ）求

a

的值；
（Ⅱ）求所有满足

A α = α + β, A^{2} α = α + 2 β

的非零列向量

α, β

2017 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设

3

阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

有

3

个不同的特征值，且

α_{3} = α_{1} + 2 α_{2}

。

（Ⅰ）证明

r (A) = 2

；

（Ⅱ）设

β = α_{1} + α_{2} + α_{3}

，求方程组

A x = β

的通解.

2016 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设矩阵

A = 12 - 1 - 1 a 1 - 1 1 a

，

B = 21 - a - 1 2 a - 2

。当

a

为何值时，方程

A X = B

无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

η^{*}

是

A x = b

的一个特解，

ξ

是导出组

A x = 0

的基础解系（只含一个向量），则

A x = b

的通解为（　）。

A $k ξ$
B $η^{*} + k ξ$
C $k η^{*} + ξ$
D $η^{*} + ξ$

练习 2 · 选择题

设

η_{1}, η_{2}

是非齐次方程组

A x = b (b \neq = 0)

的解，则下列向量中一定是导出组

A x = 0

的解的是（　）。

A $η_{1} + η_{2}$
B $η_{1} - η_{2}$
C $2 η_{1}$
D $η_{1} + 2 η_{2}$

练习 3 · 填空题

设

A x = b

满足

r (A) = r (A, b) = 3

，未知数个数

n = 5

，则其通解中含 ____ 个自由参数。

练习 4 · 选择题

设

η_{1}, η_{2}

是

A x = b

的两个不同解，则下列向量中仍是

A x = b

的解的是（　）。

A $η_{1} + η_{2}$
B $2 η_{1} - η_{2}$
C $η_{1} - η_{2}$
D $3 η_{1}$

练习 5 · 选择题

设

A

为

4 \times 5

矩阵，

r (A) = 4

，

η_{1}, η_{2}

是非齐次线性方程组

A x = b

的两个不同的解，

k

为任意常数。则

A x = b

的通解为（　　）。

A $k (η_{1} - η_{2})$
B $η_{1} + k (η_{1} - η_{2})$
C $k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2}$
D $\frac{η _{1} + η _{2}}{2}$

练习 6 · 填空题

设

A

为

3

阶矩阵，

r (A) = 2

，且

α_{1}, α_{2}

是

A x = b

（

b \neq = 0

）的两个不同解。若

α_{1} = (1, 0, 2)^{T}

，

α_{2} = (3, - 1, 4)^{T}

，则

A x = 0

的通解为 ____（

k

为任意常数）。

练习 7 · 解答题

设

A

为

4

阶矩阵，

r (A) = 3

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是非齐次线性方程组

A x = b

的三个解，且

α_{1} + α_{2} = (1, 2, 3, 4)^{T}, α_{2} + α_{3} = (0, 1, 2, 3)^{T} .

求

A x = b

的通解。

2014 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设

A = 101 - 2 12 3 - 1 0 - 4 1 - 3

，

E

为

3

阶单位矩阵。

（I）求方程组

A x = 0

的一个基础解系；

（II）求满足

A B = E

的所有矩阵

B

。

2013 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设

A = (11 a 0)

，

B = (01 1 b)

。当

a, b

为何值时，存在矩阵

C

使得

AC - CA = B

，并求所有矩阵

C

。

非齐次线性方程组解的结构

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 非齐次线性方程组解的结构定理：通解 x=η∗+k1​ξ1​+⋯+kn−r​ξn−r​★★ 必会

2. 解的线性组合何时仍是解：系数和为 1 时是 Ax=b 的解，为 0 时是 Ax=0 的解★★ 必会

3. 由 k 个线性无关的非齐次解可得 k−1 个线性无关的齐次解，从而 n−r≥k−1★ 要懂

4. 行满秩当且仅当对任意 b 都有解；列满秩当且仅当有解必唯一★ 要懂

5. 抽象型综合题：已知秩与若干个解，写出通解★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 非齐次线性方程组解的结构定理：通解 $x = η^{} + k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}$ ★★ 必会*