线性方程组解的判定

§12.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.19 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

1.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的秩齐次线性方程组与基础解系非齐次线性方程组解的结构

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 三分判据的严格证明，为什么 r(A,b)−r(A) 只能是 0 或 1★★ 必会

非齐次线性方程组

A x = b

无解、有唯一解还是有无穷多解，完全由

r (A)

、

r (A, b)

、

n

这三个数之间的关系决定。其根据在于：增广矩阵

(A, b)

比

A

只多一列，因此

r (A) \leq r (A, b) \leq r (A) + 1

，两个秩之差只能是

0

或

1

。如果差为

1

，那么

b

在消元中产生一个新的主元，从而出现矛盾行，方程组无解；如果差为

0

，那么

b

可以由

A

的列向量线性表示，方程组有解，此时再由

r

与

n

的大小关系判定解是唯一的还是有无穷多个。这就是罗歇–卡佩利（Rouché–Capelli）定理。

证明 / 推导

证矩阵每增加一列，秩至多增加

1

，因此

r (A) \leq r (A, b) \leq r (A) + 1

。

- 如果

r (A) < r (A, b)

，即二者相差

1

，那么把

(A, b)

化为行最简形后，增广的那一列成为某一行的主元所在列，该行形如

(0, \dots, 0 ∣ d)

，其中

d \neq = 0

，它所对应的方程为

0 = d

，这是矛盾的，故方程组无解。
- 如果

r (A) = r (A, b) = r

，那么

b

不引入新的主元，方程组相容。化为行最简形后有

r

个主元变量与

n - r

个自由变量。当

r = n

时没有自由变量，方程组有唯一解；当

r < n

时有

n - r

个自由参数，方程组有无穷多解。

■

举例说明

设

A = (1212)

，

b_{1} = (1, 2)^{T}

，

b_{2} = (1, 3)^{T}

。

对于

b_{1}

，有

(A, b_{1}) \to (101010)

，

r (A) = r (A, b_{1}) = 1 < 2 = n

，故方程组有无穷多解。

对于

b_{2}

，有

(A, b_{2}) \to (101011)

，

r (A) = 1 < r (A, b_{2}) = 2

，出现矛盾行

0 = 1

，故方程组无解。

系数矩阵同为

A

，只是换了

b

，解的情况就由无穷多解变成无解。由此可见，判别的结论对

b

是敏感的。

2. 两个方程组的公共解与同解判定★ 要懂

- 公共解：求同时满足

A x = 0

与

B x = 0

的向量，等价于把两个方程组的系数矩阵上下叠放，解方程组

(A B) x = 0

；如果是非齐次方程组，就把两个增广矩阵上下叠放后一起求解。
- 同解：

A x = 0

与

B x = 0

同解

⟺

二者的解空间相同

⟺ r (A) = r (B) = r (A B)

，即两组行向量等价。

这类问题的一般解法是叠放矩阵、比较秩。

证明 / 推导

证下面证明同解的判别条件。先证必要性。如果两个方程组同解，那么它们的解空间相同，维数也相同，因此

r (A) = r (B)

，二者皆

= n - dim

；又

(A B) x = 0

的解集

=

两个解空间之交

=

同一个空间，所以

r (A B) = n - dim = r (A)

。再证充分性。设

r (A) = r (A B)

，则

A

与

(A B)

的解空间维数相同，而前者又包含后者，因此二者相等；对

B

同理可证。于是三个方程组的解空间相同，即它们同解。

■

举例说明

求

A x = 0

与

B x = 0

的公共解，已知它们的解空间分别由

ξ_{1} = (1, 0, 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (0, 1, 0, 1)^{T}

与

η_{1} = (1, 1, 0, 0)^{T}, η_{2} = (0, 0, 1, 1)^{T}

张成。

公共解一方面

= a ξ_{1} + b ξ_{2} = (a, b, a, b)^{T}

，另一方面

= c η_{1} + d η_{2} = (c, c, d, d)^{T}

。令对应分量相等，得

a = c, b = c, a = d, b = d \Rightarrow a = b = c = d

。因此公共解为

x = a (1, 1, 1, 1)^{T} (a \in R)

，即公共解空间由

(1, 1, 1, 1)^{T}

张成。

■

3. 含参数方程组的系统讨论法（两参数范例，与对称型互补）★★ 必会

含参数的方程组一般这样讨论：如果系数矩阵不是方阵，就直接对 $(A ∣ b)$ 作行变换，把参数一并带下去，看参数取何值时某个主元消失；如果是方阵，可以先算出

∣ A ∣

，由

∣ A ∣ = 0

求出临界的参数值，再把每个临界值代回，检验

r (A)

与

r (A, b)

。必须注意，不能只讨论 $∣ A ∣ \neq = 0$ 这一种情形，因为无穷多解与无解的分界恰恰出现在临界值处。

举例说明

讨论

a, c

取不同值时方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 2 x_{1} + 3 x_{2} + a x_{3} = c

的解。

对

(A ∣ b)

作行变换，先作

r_{2} - r_{1}, r_{3} - r_{1}

，再作

r_{3} - 2 r_{2}

，得

100110 12 a - 5 11 c - 3 .

- 当

a \neq = 5

时，

r (A) = r (A, b) = 3 = n

，方程组有唯一解，这时

c

可取任意值；
- 当

a = 5, c = 3

时，末行元素全为

0

，

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

，方程组有无穷多解；
- 当

a = 5, c \neq = 3

时，末行为

(0, 0, 0 ∣ c - 3)

，且

c - 3 \neq = 0

，于是

r (A) = 2 < r (A, b) = 3

，方程组无解。

（本例含两个参数，三种情形齐备，比单参数的对称型例子更能训练分情形讨论的完整性。）

4. 反问题：由解的情况反求参数或秩★★ 必会

这类判定问题也常反过来考：给定方程组有无穷多解、无解或只有非零解，反求参数或秩。着手之处仍是三分判据，把结论化成关于

r (A)

、

r (A, b)

、

n

的等式或不等式，再由此解出参数。齐次方程组的反问题最为典型：

A x = 0

有非零解

⟺ r (A) < n

，当系数矩阵为方阵时

⟺ ∣ A ∣ = 0

。求出参数以后，还要按

n - r

写出通解。

举例说明

设齐次方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 2 x_{1} + 3 x_{2} + t x_{3} = 0 x_{1} + t x_{2} + 3 x_{3} = 0

有非零解，求

t

并给出通解。

这里系数矩阵是方阵，故有非零解

⟺ ∣ A ∣ = 0

。由

∣ A ∣ = 121 13 t 1 t 3 = 1 \cdot (9 - t^{2}) - 1 \cdot (6 - t) + 1 \cdot (2 t - 3) = 3 t - t^{2} = t (3 - t) = 0,

得

t = 0

或

t = 3

。

- 当

t = 0

时，作行变换得

r (A) = 2

，故

n - r = 1

，基础解系为

(3, - 2, - 1)^{T}

，通解为

k (3, - 2, - 1)^{T}

；
- 当

t = 3

时，作行变换得

r (A) = 2

，故

n - r = 1

，基础解系为

(0, - 1, 1)^{T}

，通解为

k (0, - 1, 1)^{T}

。

■

💡 小知识

无解、唯一解、无穷多解这三句判定，背后是 19 世纪的罗歇–卡佩利定理（Rouché–Capelli）。今天手机做人脸识别、导航做定位，所做的都是实时判定并求解一个大型线性方程组，而衡量已知信息够不够用的那个量，就是秩。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断方程组

{x_{1} + x_{2} = 1, 2 x_{1} + 2 x_{2} = 3

是否有解。难度 1

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = (121213) r_{2} - 2 r_{1} (101011) .

系数矩阵部分

r (A) = 1

，而增广矩阵出现非零行

(0, 0 ∣ 1)

，即

r (A, b) = 2

。

因为

r (A) = 1 < 2 = r (A, b)

，方程组无解（第二行对应矛盾方程

0 = 1

）。

■

例 2 判断方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 1, x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} = 1

解的情况，若有解求通解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = 111123135111 r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100112124100 r_{3} - 2 r_{2} r_{1} - r_{2} 100010 - 1 20 100 .

r (A) = r (A, b) = 2 < 3 = n

，故有无穷多解。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = 1 + x_{3}, x_{2} = - 2 x_{3}

。

特解（取

x_{3} = 0

）

η^{*} = (1, 0, 0)^{T}

，导出组基础解系

ξ = (1, - 2, 1)^{T}

，通解为

x = (1, 0, 0)^{T} + k (1, - 2, 1)^{T} (k 任意) .

■

例 3 讨论参数

a

取何值时，方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 2, x_{1} + x_{2} + a x_{3} = 3

有唯一解、无解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = 111121 11 a 123 r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100110 10 a - 1 112 .

关键看第三行

(0, 0, a - 1 ∣ 2)

。

情形一： $a \neq = 1$ 。

a - 1 \neq = 0

，

r (A) = r (A, b) = 3 = n

，方程组有唯一解。

情形二： $a = 1$ 。 第三行变为

(0, 0, 0 ∣ 2)

，出现矛盾方程

0 = 2

，此时

r (A) = 2 < 3 = r (A, b)

，方程组无解。

综上：

a \neq = 1

时有唯一解；

a = 1

时无解。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，

β

为

n

维列向量，若

A

的列向量组可由

B

的列向量组线性表示，则（　　）

A当 $A x = β$ 有解时， $B x = β$ 有解
B当 $A^{T} x = β$ 有解时， $B^{T} x = β$ 有解
C当 $B x = β$ 有解时， $A x = β$ 有解
D当 $B^{T} x = β$ 有解时， $A^{T} x = β$ 有解

2024 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

在空间直角坐标系

O - x y z

中，三张平面

π_{i} : a_{i} x + b_{i} y + c_{i} z = d_{i} (i = 1, 2, 3)

的位置关系如图所示（三张平面相交于同一条直线），记

α_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i})

，

β_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i})

。若

r α_{1} α_{2} α_{3} = m

，

r β_{1} β_{2} β_{3} = n

，则（　　）

A $m = 1, n = 2$ .
B $m = n = 2$ .
C $m = 2, n = 3$ .
D $m = n = 3$ .

2019 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

如图所示，有

3

张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

a_{i 1} x + a_{i 2} y + a_{i 3} z = d_{i} (i = 1, 2, 3)

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为

A, \overline{A}

，则（　　）

A $r (A) = 2, r (\overline{A}) = 3$ .
B $r (A) = 2, r (\overline{A}) = 2$ .
C $r (A) = 1, r (\overline{A}) = 2$ .
D $r (A) = 1, r (\overline{A}) = 1$ .

2016 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设矩阵

A = 12 - 1 - 1 a 1 - 1 1 a

，

B = 21 - a - 1 2 a - 2

。当

a

为何值时，方程

A X = B

无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A x = b

是

4

元非齐次线性方程组，

r (A) = r (A, b) = 3

，则该方程组（　）。

A无解
B有唯一解
C有无穷多解
D无法确定

练习 2 · 选择题

n

元非齐次线性方程组

A x = b

无解的充要条件是（　）。

A $r (A) = r (A, b)$
B $r (A) < r (A, b)$
C $r (A) = n$
D $r (A, b) = n$

练习 3 · 填空题

若方程组

{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, 2 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = a

有解，则

a =

____。

练习 4 · 选择题

设

A

为

n

阶方阵，则线性方程组

A x = b

有唯一解的充要条件是（　）。

A $∣ A ∣ = 0$
B $∣ A ∣ \neq = 0$
C $r (A) < n$
D $b \neq = 0$

练习 5 · 选择题

设

A

为

m \times n

矩阵，

A x = b

为非齐次线性方程组。下列说法正确的是（　　）。

A若 $r (A) = r (A ∣ b) = n$ ，则 $A x = b$ 有唯一解
B若 $r (A) = r (A ∣ b)$ ，则 $A x = b$ 有无穷多解
C若 $m < n$ ，则 $A x = b$ 必有无穷多解
D若 $A x = 0$ 只有零解，则 $A x = b$ 必有唯一解

练习 6 · 填空题

设

A

为

4 \times 5

矩阵，

A x = b

有解且

r (A) = 3

，则

A x = b

的解集中线性无关的解向量最多有 ____ 个。

练习 7 · 解答题

讨论

λ

取何值时，线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = λ, x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = λ^{2}

有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。

2015 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设矩阵

A = 111124 1 a a^{2}

，

b = 1 d d^{2}

。若集合

Ω = {1, 2}

，则线性方程组

A x = b

有无穷多解的充分必要条件为（　　）

A $a \in / Ω, d \in / Ω$ .
B $a \in / Ω, d \in Ω$ .
C $a \in Ω, d \in / Ω$ .
D $a \in Ω, d \in Ω$ .

2013 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设

A = (11 a 0)

，

B = (01 1 b)

。当

a, b

为何值时，存在矩阵

C

使得

AC - CA = B

，并求所有矩阵

C

。