齐次线性方程组与基础解系

§12.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.19 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

5.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的秩向量组的秩与极大线性无关组向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁非齐次线性方程组解的结构线性方程组解的判定特征值与特征向量的概念与计算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 解的结构定理的基本内容：基础解系存在，且恰含 n−r 个向量（严格证明）★★ 必会

解空间的维数

= n - r (A)

是齐次方程组理论中最基本的结论。下面给出它的构造性的严格证明：不但说明基础解系存在，而且说明它为什么恰好含

n - r

个向量。这是因为

r

个主元变量由

n - r

个自由变量唯一确定，而自由变量的每一种独立取法对应一个基向量。理解了这个证明，基础解系所含向量的个数

= n - r

以及通解

=

基础解系的线性组合这两点，就不会再记混。

证明 / 推导

证设

A

为

m \times n

矩阵，

r (A) = r < n

。把

A

化为行最简形，则主元变量有

r

个，自由变量有

n - r

个；不妨设自由变量为

x_{r + 1}, \dots, x_{n}

。令自由变量依次取标准单位向量的各分量：第

i

次取

x_{r + i} = 1

，其余自由变量

= 0

，回代即唯一确定主元变量，得解

ξ_{i} (i = 1, \dots, n - r)

。

(存在且确为解) 每个

ξ_{i}

都由回代得到，因而确实是

A x = 0

的解。

(线性无关) 把

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

中自由变量所对应的分量取出，恰好构成

n - r

阶单位矩阵的各列。如果

\sum_{i} c_{i} ξ_{i} = 0

，那么比较自由变量的分量即得

c_{i} = 0

，所以它们线性无关。

(能表示一切解) 任取一个解

x

，设它的自由变量为

(c_{1}, \dots, c_{n - r})

，则

x - \sum_{i} c_{i} ξ_{i}

仍是解，且它的所有自由变量都为 $0$ ；而自由变量全为

0

时，由行最简形知主元变量也全为

0

，因此

x - \sum_{i} c_{i} ξ_{i} = 0

，即

x = \sum_{i} c_{i} ξ_{i}

。

以上三条都已具备，故

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

是基础解系，解空间的维数

= n - r

。

■

2. 重要结论：由 AB=0 可推出 r(A)+r(B)≤n（B 的列都是 Ax=0 的解）★★ 必会

如果

A

是

m \times n

矩阵、

B

是

n \times p

矩阵，且

A B = 0

，那么

r (A) + r (B) \leq n

。理解的要点是：

A B = 0

说明

B

的每一列

b_{j}

满足

A b_{j} = 0

，即 $B$ 的列全部落在 $A x = 0$ 的解空间之中；而解空间的维数只有

n - r (A)

，其中线性无关的列不会超过这个数。这条结论把矩阵乘积为零转述成列向量是解，在证明秩的关系、判断可逆性以及构造反例时都很有用。

证明 / 推导

证

A B = 0 ⟺ A (b_{1}, \dots, b_{p}) = (A b_{1}, \dots, A b_{p}) = 0 ⟺

每个

A b_{j} = 0

，即

B

的列

b_{1}, \dots, b_{p}

都是

A x = 0

的解。这些列张成解空间的一个子空间，因此

r (B) \leq dim (解空间) = n - r (A) .

移项即得

r (A) + r (B) \leq n

。

■

举例说明

设

A

为

n

阶方阵，

A^{2} = 0

，证明

r (A) \leq \frac{n}{2}

。证. 由

A \cdot A = 0

，在上面的结论中取

B = A

，得

r (A) + r (A) \leq n

，即

2 r (A) \leq n

，所以

r (A) \leq \frac{n}{2}

。例如当

n = 3

时，

A^{2} = 0 \Rightarrow r (A) \leq 1

。

3. 任意 n−r 个线性无关的解都构成基础解系★ 要懂

基础解系并不唯一，但只要满足两点，就可以断定它是基础解系：个数正确（共 $n - r$ 个）且线性无关。换句话说，解空间中任意

n - r

个线性无关的解，自然构成一组基础解系，不一定要由前面的标准取法得到。在已知若干解而要判断它们是否为基础解系，或者要用已知的解拼出基础解系的题目中，这条结论用得很多。

证明 / 推导

证解空间是维数为

n - r

的向量空间。给定

n - r

个线性无关的解，它们是该空间中

n - r

（

=

维数）个线性无关的向量，因而构成解空间的一组基；这里用到：在有限维空间中，个数

=

维数的线性无关组必是基。而解空间的基就是基础解系。

■

举例说明

已知三元方程组

A x = 0

中

r (A) = 1

，故

n - r = 2

。如果

η_{1} = (1, 0, - 1)^{T}, η_{2} = (0, 1, - 1)^{T}

都是它的解，且不成比例（即线性无关），那么

{η_{1}, η_{2}}

就是一个基础解系，通解为

x = k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2}

。这里不必知道 $A$ 的具体形式。

4. 反问题：由基础解系反求齐次方程组★ 要懂

正问题是已知

A

求解，反问题则是已知基础解系求

A

，在考研的填空题与解答题中都常出现。所依据的道理是：如果

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

是

A x = 0

的基础解系，那么

A

的每一行

a^{T}

满足

a^{T} ξ_{i} = 0

，也就是说

A

的行向量是以

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

为系数的新齐次方程组的解。求出这个新方程组的基础解系，转置后排成行，就得到一个符合要求的

A

。

证明 / 推导

证设所求的系数矩阵

A

的某一行为

a^{T}

。

ξ_{i}

是

A x = 0

的解，即

A ξ_{i} = 0

；逐行来看，就是

a^{T} ξ_{i} = 0 (i = 1, \dots, n - r)

，也就是

a

满足以

M = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r})

的转置为系数矩阵的齐次方程组

M^{T} a = 0

。这个方程组有

n

个未知数，而

r (M^{T}) = n - r

，故解空间的维数为

n - (n - r) = r

；取它的基础解系作为

A

的各行，所得的

A

的秩为

r

，其解空间恰是原来的

span {ξ_{i}}

。

■

举例说明

求一个齐次方程组，使它的基础解系为

ξ_{1} = (1, 0, 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (0, 1, 0, 1)^{T}

。

解. 这里

n = 4, n - r = 2 \Rightarrow r = 2

，故

A

取

2 \times 4

矩阵。设它的行为

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

，满足

a ξ_{1} = a_{1} + a_{3} = 0, a ξ_{2} = a_{2} + a_{4} = 0

，即

a_{3} = - a_{1}, a_{4} = - a_{2}

。取

(a_{1}, a_{2}) = (1, 0), (0, 1)

，得两行

(1, 0, - 1, 0), (0, 1, 0, - 1)

。于是所求的方程组为

{x_{1} - x_{3} = 0 x_{2} - x_{4} = 0, A = (1001 - 1 0 0 - 1) .

验证

A ξ_{1} = (1 - 1, 0)^{T} = 0, A ξ_{2} = (0, 1 - 1)^{T} = 0

。

■

💡 小知识

齐次方程组的解空间就是矩阵的零空间，也叫核，英文是 null space。图像压缩、电路的基尔霍夫定律、机器人运动学中的冗余自由度分析，都要用到它。解空间的维数 n−r 量化了一个系统还剩下多少可以自由支配的方向。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求齐次线性方程组

{x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0, x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0

的基础解系与通解。难度 1

对系数矩阵作初等行变换：

A = (11 1 - 1 - 1 1) r_{2} - r_{1} (10 1 - 2 - 1 2) r_{2} \div (- 2) r_{1} - r_{2} (1001 0 - 1) .

r (A) = 2

，

n = 3

，基础解系含

n - r = 1

个向量。主元为

x_{1}, x_{2}

，自由变量为

x_{3}

，且

x_{1} = 0, x_{2} = x_{3}

。

取

x_{3} = 1

，得基础解系

ξ = (0, 1, 1)^{T}

。通解为

x = k (0, 1, 1)^{T} (k 为任意常数) .

■

例 2 求齐次线性方程组

{x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0, 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0

的基础解系与通解。难度 2

对系数矩阵作初等行变换：

A = (12122121) r_{2} - 2 r_{1} (1010 2 - 3 2 - 3) r_{2} \div (- 3) r_{1} - 2 r_{2} (10100101) .

r (A) = 2

，

n = 4

，基础解系含

n - r = 2

个向量。主元为

x_{1}, x_{3}

，自由变量为

x_{2}, x_{4}

，且

x_{1} = - x_{2}, x_{3} = - x_{4}

。

取

(x_{2}, x_{4}) = (1, 0)

得

ξ_{1} = (- 1, 1, 0, 0)^{T}

；取

(x_{2}, x_{4}) = (0, 1)

得

ξ_{2} = (0, 0, - 1, 1)^{T}

。通解为

x = k_{1} (- 1, 1, 0, 0)^{T} + k_{2} (0, 0, - 1, 1)^{T} (k_{1}, k_{2} 任意) .

■

例 3 求齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 0, 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 0

的通解。难度 2

对系数矩阵作初等行变换：

A = 121 21 - 1 - 1 12 r_{2} - 2 r_{1} r_{3} - r_{1} 100 2 - 3 - 3 - 1 33 r_{3} - r_{2} r_{2} \div (- 3) 100210 - 1 - 1 0 r_{1} - 2 r_{2} 100010 1 - 1 0 .

r (A) = 2

，

n = 3

，基础解系含

1

个向量。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = - x_{3}, x_{2} = x_{3}

。

取

x_{3} = 1

得

ξ = (- 1, 1, 1)^{T}

，通解为

x = k (- 1, 1, 1)^{T} (k 任意) .

验证：

- 1 + 2 - 1 = 0

，

- 2 + 1 + 1 = 0

，

- 1 - 1 + 2 = 0

，均成立。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = 4 a b 235 - 3 - 4 - 7

，若方程组

A^{2} x = 0

与

A x = 0

不同解，则

a - b =

______.

2025 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 0 - 1 - 1 - 1 0 - 1 22 a

，已知

1

是

A

的特征多项式的重根。
（Ⅰ）求

a

的值；
（Ⅱ）求所有满足

A α = α + β, A^{2} α = α + 2 β

的非零列向量

α, β

2023 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　　）

A $k 334, k \in R$ .
B $k 3510, k \in R$ .
C $k - 1 12, k \in R$ .
D $k 158, k \in R$ .

2022 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，

E

为单位矩阵。若方程组

A x = 0

与

B x = 0

同解，则（　　）

A方程组 $(A E O B) y = 0$ 只有零解.
B方程组 $(E O A A B) y = 0$ 只有零解.
C方程组 $(A O B B) y = 0$ 与 $(B O A A) y = 0$ 同解.
D方程组 $(A B O B A) y = 0$ 与 $(B A O A B) y = 0$ 同解.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A

为

4 \times 5

矩阵，

r (A) = 2

，则齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系含（　）个解向量。

A $2$
B $3$
C $4$
D $5$

练习 2 · 选择题

n

元齐次线性方程组

A x = 0

有非零解的充要条件是（　）。

A $r (A) = n$
B $r (A) < n$
C $r (A) > n$
D $∣ A ∣ \neq = 0$

练习 3 · 填空题

方程组

{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, 2 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 0

的基础解系所含向量的个数为 ____。

练习 4 · 填空题

若方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + x_{2} + a x_{3} = 0

有非零解，则

a =

____。

练习 5 · 填空题

设

A

为

5 \times 7

矩阵，且

A

的行向量组线性无关，则齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系所含向量的个数为 ____。

练习 6 · 选择题

设

A

为

n

阶矩阵，

α_{1}, α_{2}

是

A x = 0

的两个线性无关的解。则下列一定正确的是（　　）。

A $∣ A ∣ \neq = 0$
B $r (A) = n - 2$
C $α_{1}, α_{2}$ 一定构成 $A x = 0$ 的基础解系
D $r (A) \leq n - 2$

练习 7 · 解答题

求齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0, 2 x_{1} + 4 x_{2} - 2 x_{3} + 3 x_{4} = 0, 3 x_{1} + 6 x_{2} - 3 x_{3} + 4 x_{4} = 0

的一个基础解系，并写出通解。

2019 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为

3

阶矩阵。若

α_{1}, α_{2}

线性无关，且

α_{3} = - α_{1} + 2 α_{2}

，则线性方程组

A x = 0

的通解为 ______.

2015 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为

R^{3}

的一个基，

β_{1} = 2 α_{1} + 2 k α_{3}

，

β_{2} = 2 α_{2}

，

β_{3} = α_{1} + (k + 1) α_{3}

。

（Ⅰ）证明向量组

β_{1}, β_{2}, β_{3}

为

R^{3}

的一个基；

（Ⅱ）当

k

为何值时，存在非零向量

ξ

在基

α_{1}, α_{2}, α_{3}

与基

β_{1}, β_{2}, β_{3}

下的坐标相同，并求所有的

ξ

。