要点精讲 把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。
1. 线性相关与线性无关的定义：k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 A x = 0 ★★ 必会 ① 定义. 对 n α 1 , α 2 , … , α s k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0. 不全为零 的数 k 1 , … , k s 线性相关 ；如果只有 k 1 = k 2 = ⋯ = k s = 0 线性无关 。这里的措辞要留意：系数全为零时等式总能成立，所以线性无关并不是说等式不能成立，而是说使它成立的系数只有 全为零这一种。② 与 A x = 0 把各向量按列拼成 n × s A = ( α 1 , α 2 , … , α s ) A x = 0 x = ( k 1 , … , k s ) T 线性相关 ⟺ A x = 0 ⟺ r ( A ) < s 线性无关 ⟺ A x = 0 ⟺ r ( A ) = s r ( A ) s ③ 由定义立刻可用的推论. α ⟺ α = 0 含零向量的组必线性相关 ；⟺ s > n 4 3 r ( A ) ≤ n < s n n A ⟺ ∣ A ∣ = 0 ⟺ ∣ A ∣ = 0 部分相关 ⇒ （把多出来的向量的系数取作 0 ⇒ 接长保无关、截短保相关 ：无关组的每个向量都添上若干分量（接长）后仍线性无关；相关组的每个向量都去掉相同位置的若干分量（截短）后仍线性相关。
证明 / 推导 证 ② 中的对应. 矩阵乘向量本来就是各列的线性组合：A x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x s α s k 1 , … , k s A x = 0 A x = 0 ⟺ r ( A ) < s 证s > n 这时 A n × s r ( A ) ≤ min { n , s } ≤ n < s n s ■ 举例说明 例（2012 年数一·选择题）. 设 α 1 = 0 0 c 1 α 2 = 0 1 c 2 α 3 = 1 − 1 c 3 α 4 = − 1 1 c 4 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 α 1 , α 2 , α 3 α 1 , α 2 , α 4 α 1 , α 3 , α 4 α 2 , α 3 , α 4 解（按定义找一组不全为零的系数）. 注意 α 3 + α 4 = ( 0 , 0 , c 3 + c 4 ) T α 1 = ( 0 , 0 , c 1 ) T c 1 = 0 α 3 + α 4 − c 1 c 3 + c 4 α 1 = 0 , ( − c 1 c 3 + c 4 , 1 , 1 ) c 1 = 0 α 1 = 0 α 1 , α 3 , α 4 (C) 。用行列式复核（3 3 ∣ A ∣ ：∣ α 1 , α 3 , α 4 ∣ = 0 0 c 1 1 − 1 c 3 − 1 1 c 4 = 0 − c 1 , c 1 , − ( c 3 + c 4 ) 不恒为零 ，取适当的常数即可使它们线性无关，所以都不是必相关的。必须注意 ：题目问的是对任意 常数都线性相关的向量组；只在个别取值下相关是不算的。2. 线性相关的递进刻画：某向量可由它前面的向量表示★ 要懂 常见的结论是：线性相关 ⟺ 其余 向量表示。下面是一个更精细、也更便于使用的形式： α 1 , … , α s ( s ≥ 2 ) 线性相关 ⟺ α 1 = 0 , 或 ∃ i ≥ 2 使 α i 可由它 前面 的 α 1 , … , α i − 1 表示 .
证明 / 推导 证 ( ⇐ ) α i ( ⇒ ) k 1 , … , k s ∑ j k j α j = 0 最大 的下标 i k i = 0 i = 1 k 1 α 1 = 0 k 1 = 0 α 1 = 0 i ≥ 2 k i + 1 = ⋯ = k s = 0 α i = − k i 1 j < i ∑ k j α j , α i ■ 举例说明 设 α 1 = ( 1 , 2 ) T , α 2 = ( 2 , 4 ) T , α 3 = ( 1 , 0 ) T , α 4 = ( 3 , 1 ) T α 2 = 2 α 1 α 3 α 1 α 1 , α 3 R 2 α 4 { α 1 , α 3 } 2 3. 一条重要的引理：线性无关组添一个向量后成为相关，则该向量可由原组唯一表示★ 要懂 基、极大无关组、坐标的唯一性，背后都是下面这条公共的引理 ：α 1 , … , α s 无关 ，而 α 1 , … , α s , β 相关 ，那么 β α 1 , … , α s 且表示式唯一 。
证明 / 推导 证 因为 α 1 , … , α s , β k 1 , … , k s , l ∑ j k j α j + l β = 0 l = 0 ∑ j k j α j = 0 k j α 1 , … , α s l = 0 β = − l 1 ∑ j k j α j 唯一性. 设 β = ∑ j a j α j = ∑ j b j α j ∑ j ( a j − b j ) α j = 0 a j = b j ■ 举例说明 在 R 3 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T β = ( 1 , 2 , 3 ) T α 1 , α 2 , β β β 不能 表示。改取 β = ( 1 , 2 , 0 ) T α 1 , α 2 , β β α 1 , α 2 唯一 地表示，即 β = α 1 + 2 α 2 4. 抽象向量组相关性：化为 ( β ) = ( α ) C ∣ C ∣ r ( C ) ★★ 必会 当向量是用符号的线性组合给出时（例如 β i α 1 , … , α m 不能代入分量 ，只能用矩阵的方法。设 α 1 , … , α m ( β 1 , … , β s ) = ( α 1 , … , α m ) C r ( β 1 , … , β s ) = r ( C ) , β ⟺ r ( C ) = s s = m ⟺ ∣ C ∣ = 0 当 α ( α ) 。
证明 / 推导 证 设 ∑ j x j β j = 0 ( α ) C x = 0 y = C x ( α ) y = ∑ i y i α i = 0 α 1 , … , α m y = 0 C x = 0 C x = 0 ∑ j x j β j = 0 β C x = 0 r ( β 1 , … , β s ) = s − dim { C x = 0 } = r ( C ) β ⟺ C x = 0 ⟺ r ( C ) = s ■ 举例说明 设 α 1 , α 2 , α 3 β 1 = α 1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α 1 C = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ∣ C ∣ = 2 = 0 线性无关 。β 1 = α 1 − α 2 , β 2 = α 2 − α 3 , β 3 = α 3 − α 1 β 1 + β 2 + β 3 = 0 线性相关 ；与此相应有 ∣ C ∣ = 0 一般地 ：这种首尾相接的向量组，作差 时恒线性相关（因为各式相加为零）；作和 时，向量的个数为偶数则线性相关，为奇数则线性无关。5. 含参数时的相关性判定：方阵用行列式定出临界值，非方阵用秩★★ 必会 含参数的题目在考研中很常见。设有 n t n A ( t ) 线性相关 ⟺ ∣ A ( t ) ∣ = 0 ，由此解出使向量组线性相关的 t = < s ( t + c )
举例说明 讨论 α 1 = ( 1 , 1 , 1 ) T , α 2 = ( 1 , 2 , 3 ) T , α 3 = ( 1 , 4 , t ) T ∣ A ∣ = 1 1 1 1 2 3 1 4 t = 1 ⋅ ( 2 t − 12 ) − 1 ⋅ ( t − 4 ) + 1 ⋅ ( 3 − 2 ) = t − 7. t = 7 线性相关 ，当 t = 7 线性无关 。当 t = 7 α 3 = 3 α 2 − 2 α 1 3 ( 1 , 2 , 3 ) T − 2 ( 1 , 1 , 1 ) T = ( 1 , 4 , 7 ) T 2 { α 1 , α 2 } 真题精选 近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。
2026 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分
已知向量组
α 1 = 1 0 − 1 − 1 , α 2 = 1 − 1 0 − 2 , α 3 = 0 − 1 1 − 1 , α 4 = 0 1 − 1 1 。设
A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ，
G = ( α 1 , α 2 ) 。
（1）证明：
α 1 , α 2 是
α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的极大线性无关组；
（2）求矩阵
H 使得
A = G H ，并求
A 10 。
2025 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分
设 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 n α 1 , α 2 α 1 , α 2 , α 3 α 1 + α 2 + α 4 = 0 O - x y z x , y , z x α 1 + y α 2 + z α 3 = α 4
A 过原点的一个平面.B 过原点的一条直线.C 不过原点的一个平面.D 不过原点的一条直线.2024 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分
设向量
α 1 = a 1 − 1 1 ，
α 2 = 1 1 b a ，
α 3 = 1 a − 1 1 。若
α 1 , α 2 , α 3 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（ ）
A a = 1 , b = − 1 B a = 1 , b = − 1 C a = − 2 , b = 2 D a = − 2 , b = 2 2020 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分
已知直线
l 1 : a 1 x − a 2 = b 1 y − b 2 = c 1 z − c 2 与直线
l 2 : a 2 x − a 3 = b 2 y − b 3 = c 2 z − c 3 相交于一点，记向量
α i = a i b i c i ，
i = 1 , 2 , 3 ，则（ ）
A α 1 α 2 , α 3 B α 2 α 1 , α 3 C α 3 α 1 , α 2 D α 1 , α 2 , α 3 随堂练习 先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。
练习 1 · 选择题
下列向量组中，线性相关的是（ ）。
A ( 1 , 0 ) T , ( 0 , 1 ) T B ( 1 , 2 ) T , ( 2 , 4 ) T C ( 1 , 1 ) T , ( 1 , − 1 ) T D ( 1 , 0 , 0 ) T , ( 0 , 1 , 0 ) T , ( 0 , 0 , 1 ) T 练习 2 · 选择题
设 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 5 4
练习 3 · 填空题
设 α 1 = ( 1 , 1 , 1 ) T α 2 = ( 1 , 2 , 3 ) T α 3 = ( 1 , 3 , t ) T t =
练习 4 · 选择题
设向量组 α 1 , α 2 , α 3
A α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 1 B α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1 C α 1 , α 2 , α 1 + α 2 D α 1 + α 2 , α 1 − α 2 , 2 α 1 练习 5 · 选择题
设向量组 α 1 , α 2 , α 3 k β 1 = α 1 + k α 2 β 2 = α 2 + k α 3 β 3 = α 3 + k α 1 β 1 , β 2 , β 3
练习 6 · 填空题
设 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 β 1 = α 1 + α 2 β 2 = α 2 + α 3 β 3 = α 3 + α 4 β 4 = α 4 + α 1 β 1 , β 2 , β 3 , β 4
练习 7 · 解答题
设α 1 = ( 1 , 0 , 2 , 1 ) T , α 2 = ( 2 , 1 , 3 , − 1 ) T , α 3 = ( 0 , 1 , − 1 , − 3 ) T , α 4 = ( 1 , 1 , 1 , a ) T , a (1) 证明：无论 a α 1 , α 2 , α 3 , α 4 (2) 求 a (3) 当 a
2014 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分
设 α 1 , α 2 , α 3 k , l α 1 + k α 3 , α 2 + l α 3 α 1 , α 2 , α 3
A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件2012 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分
设
α 1 = 0 0 c 1 ，
α 2 = 0 1 c 2 ，
α 3 = 1 − 1 c 3 ，
α 4 = − 1 1 c 4 ，其中
c 1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）
A α 1 , α 2 , α 3 B α 1 , α 2 , α 4 C α 1 , α 3 , α 4 D α 2 , α 3 , α 4