施密特正交化与正交矩阵

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考频价值

0.77 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

1.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）向量空间（基、维数、坐标、过渡矩阵）向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁实对称矩阵的正交对角化

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 正交向量组必线性无关：正交化以后仍能构成基★ 要懂

施密特正交化把线性无关组化为正交组，所得的向量组之所以仍可用作基，依据的是下面这条基本事实：一组两两正交的非零向量一定线性无关。反过来，线性无关未必正交，可见正交是比线性无关更强的性质。

n

个两两正交的非零向量构成

R^{n}

的一组正交基，根据也在于此。

证明 / 推导

证设

α_{1}, \dots, α_{s}

两两正交且都不为零。令

\sum_{i} k_{i} α_{i} = 0

，两边与

α_{j}

作内积，得

(i \sum k_{i} α_{i}, α_{j}) = i \sum k_{i} (α_{i}, α_{j}) = k_{j} (α_{j}, α_{j}) = 0,

这里由正交性知

i \neq = j

的各项都为

0

。又因

α_{j} \neq = 0

，有

(α_{j}, α_{j}) = ∥ α_{j} ∥^{2} > 0

，所以

k_{j} = 0

。对每个

j

都如此，可见只有零解，故向量组线性无关。

■

举例说明

设

η_{1} = (1, 1, 0)^{T}, η_{2} = (1, - 1, 1)^{T}, η_{3} = (1, - 1, - 2)^{T}

。验证它们两两正交：

(η_{1}, η_{2}) = 1 - 1 + 0 = 0

，

(η_{1}, η_{3}) = 1 - 1 + 0 = 0

，

(η_{2}, η_{3}) = 1 + 1 - 2 = 0

。这是三个两两正交的非零向量，因而线性无关，构成

R^{3}

的一组正交基。可见不必计算行列式就能断定它们线性无关。

2. 施密特正交化的归纳证明：为什么减去的是在已正交化的 $β_{j}$ 上的投影★★ 必会

在公式

β_{k} = α_{k} - j = 1 \sum k - 1 \frac{( α _{k} , β _{j} )}{( β _{j} , β _{j} )} β_{j}

中，减去的是

α_{k}

在已经正交化了的

β_{j}

上的投影，分母是

(β_{j}, β_{j})

而不是

(α_{j}, α_{j})

。为什么这样作能保证

β_{k}

与前面所有的

β_{j}

都正交？这要用归纳法来验证，而验证的过程也说明了分母为什么必须取

β_{j}

。

证明 / 推导

证对

k

作归纳，证明

β_{k} ⊥ β_{l}

对一切

l < k

成立。设归纳假设

β_{1}, \dots, β_{k - 1}

已两两正交。对固定的

l < k

，有

(β_{k}, β_{l}) = (α_{k}, β_{l}) - j = 1 \sum k - 1 \frac{( α _{k} , β _{j} )}{( β _{j} , β _{j} )} (β_{j}, β_{l}) .

由归纳假设

(β_{j}, β_{l}) = 0

（除

j = l

外），求和中只剩下

j = l

一项：

= (α_{k}, β_{l}) - \frac{( α _{k} , β _{l} )}{( β _{l} , β _{l} )} (β_{l}, β_{l}) = (α_{k}, β_{l}) - (α_{k}, β_{l}) = 0.

可见

β_{k}

与前面所有的

β_{l}

都正交，归纳法完成。

■

举例说明

对

α_{1} = (1, - 1, 0)^{T}, α_{2} = (1, 0, - 1)^{T}

作正交化。取

β_{1} = α_{1}

；再由公式得

β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1} = (1, 0, - 1)^{T} - \frac{1}{2} (1, - 1, 0)^{T} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - 1)^{T} .

验证

(β_{2}, β_{1}) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 0 = 0

，两者确实正交。

3. 正交矩阵的等价刻画与性质：列标准正交为什么等价于 $Q^{T} Q = E$ ★★ 必会

正交矩阵有三种等价的说法：①

Q^{T} Q = E

（即

Q^{- 1} = Q^{T}

）；②

Q

的列向量组是

R^{n}

的一组标准正交基；③

Q

保持内积（

(Q α, Qβ) = (α, β)

），从而保持长度与夹角。主要的性质有：

∣ Q ∣ = \pm 1

；

Q

正交

\Rightarrow Q^{T}, Q^{- 1}, Q_{1} Q_{2}

均正交；对方阵有

Q^{T} Q = E ⟺ Q Q^{T} = E

，因此列标准正交时行也标准正交。

证明 / 推导

① $⟺$ ②. 记

Q = (q_{1}, \dots, q_{n})

，则

(Q^{T} Q)_{ij} = q_{i}^{T} q_{j} = (q_{i}, q_{j})

。于是

Q^{T} Q = E ⟺ (q_{i}, q_{j}) = δ_{ij} ⟺

各列两两正交且模都为

1 ⟺

各列构成标准正交基。

① $\Rightarrow$ ③（保持长度）.

∥ Q α ∥^{2} = (Q α)^{T} (Q α) = α^{T} Q^{T} Q α = α^{T} α = ∥ α ∥^{2}

；同理

(Q α, Qβ) = α^{T} Q^{T} Qβ = (α, β)

。

$∣ Q ∣ = \pm 1$ . 对

Q^{T} Q = E

两边取行列式，得

∣ Q ∣^{2} = ∣ Q^{T} ∣∣ Q ∣ = ∣ E ∣ = 1

，因此

∣ Q ∣ = \pm 1

。

行也标准正交. 对方阵，由

Q^{T} Q = E \Rightarrow Q^{T} = Q^{- 1} \Rightarrow Q Q^{T} = E

，即行向量组也是标准正交的。

■

举例说明

判断

Q = \frac{1}{3} 212 - 2 21 12 - 2

是否为正交矩阵。为此验证各列的模与两两的内积：第

1

列为

(2, 1, 2)^{T} /3

，

∥ \cdot ∥^{2} = (4 + 1 + 4) /9 = 1

；又

(2, 1, 2) \cdot (- 2, 2, 1) = - 4 + 2 + 2 = 0

，

(2, 1, 2) \cdot (1, 2, - 2) = 2 + 2 - 4 = 0

，

(- 2, 2, 1) \cdot (1, 2, - 2) = - 2 + 4 - 2 = 0

。三列标准正交，所以

Q

是正交矩阵（这里

∣ Q ∣ = 1

）。

4. 常见的构造题：补全正交矩阵，或求正交补的标准正交基

这类题目常考：已知正交矩阵的部分列，求其余各列；或者给定一个（一组）向量，求与它正交的标准正交向量。做法是：所求的列必须与已知的各列都正交，即内积为

0

，由此列出齐次方程组，解出以后再单位化；

3

阶时第三列可取前两列的向量积（叉乘），再定符号使

∣ Q ∣ = 1

。这类问题的实质是求正交补空间的一组标准正交基。

举例说明

求以

η_{1} = \frac{1}{3} (1, 1, 1)^{T}

为第一列的三阶正交矩阵。

解. 需要求出两个与

(1, 1, 1)

正交的单位向量。为此解

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

，取基础解系

ξ_{1} = (1, - 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (1, 1, - 2)^{T}

，它们恰好互相正交，因为

(1, - 1, 0) \cdot (1, 1, - 2) = 0

。再单位化，得

η_{2} = \frac{1}{2} (1, - 1, 0)^{T}, η_{3} = \frac{1}{6} (1, 1, - 2)^{T}

。于是

Q = (η_{1}, η_{2}, η_{3}) = 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 2 - 1/ 2 0 1/ 6 1/ 6 - 2/ 6

即为所求的正交矩阵。

💡 小知识

施密特正交化以 Gram 和 Schmidt 两人命名，但拉普拉斯与柯西早就用过这套做法。如今它是数值线性代数中 QR 分解的基础，在 GPS 定位和信号处理里也是标准手段，用来把彼此歪斜的测量方向重新摆正成一组相互正交的方向。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 将线性无关向量组

α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

，

α_{2} = (1, 0, 1)^{T}

施密特正交化，并单位化。难度 1

正交化。 取

β_{1} = α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

。

计算

(α_{2}, β_{1}) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1

，

(β_{1}, β_{1}) = 2

，故

β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1} = (1, 0, 1)^{T} - \frac{1}{2} (1, 1, 0)^{T} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)^{T} .

验证正交：

(β_{2}, β_{1}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0

。

单位化。

∥ β_{1} ∥ = 2

，

∥ β_{2} ∥ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{6}{2}

。注意

β_{2} = \frac{1}{2} (1, - 1, 2)^{T}

，故

γ_{1} = \frac{1}{2} (1, 1, 0)^{T}, γ_{2} = \frac{1}{6} (1, - 1, 2)^{T} .

■

例 2 将线性无关向量组

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 1, 0)^{T}

，

α_{3} = (1, 0, 0)^{T}

施密特正交化，并单位化。难度 2

取

β_{1} = α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

(β_{1}, β_{1}) = 3

。

(α_{2}, β_{1}) = 2

，故

β_{2} = α_{2} - \frac{2}{3} β_{1} = (1, 1, 0)^{T} - \frac{2}{3} (1, 1, 1)^{T} = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3})^{T}

，

(β_{2}, β_{2}) = \frac{2}{3}

。

(α_{3}, β_{1}) = 1

，

(α_{3}, β_{2}) = \frac{1}{3}

，故

β_{3} = α_{3} - \frac{1}{3} β_{1} - \frac{1/3}{2/3} β_{2} = (1, 0, 0)^{T} - \frac{1}{3} (1, 1, 1)^{T} - \frac{1}{2} (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3})^{T} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 0)^{T} .

验证：

(β_{3}, β_{1}) = 0

，

(β_{3}, β_{2}) = 0

，正交无误。

单位化（注意

β_{2} = \frac{1}{3} (1, 1, - 2)^{T}

，

β_{3} = \frac{1}{2} (1, - 1, 0)^{T}

）：

γ_{1} = \frac{1}{3} (1, 1, 1)^{T}, γ_{2} = \frac{1}{6} (1, 1, - 2)^{T}, γ_{3} = \frac{1}{2} (1, - 1, 0)^{T} .

■

例 3 验证矩阵

Q = \frac{1}{3} 212 - 2 21 12 - 2

是否为正交矩阵；若是，写出

Q^{- 1}

。难度 2

正交矩阵的充要条件是列向量组为标准正交基（等价于

Q^{T} Q = E

）。三列分别为

q_{1} = \frac{1}{3} (2, 1, 2)^{T}, q_{2} = \frac{1}{3} (- 2, 2, 1)^{T}, q_{3} = \frac{1}{3} (1, 2, - 2)^{T} .

验单位长：

∥ q_{1} ∥^{2} = \frac{4 + 1 + 4}{9} = 1

，

∥ q_{2} ∥^{2} = \frac{4 + 4 + 1}{9} = 1

，

∥ q_{3} ∥^{2} = \frac{1 + 4 + 4}{9} = 1

。

验两两正交：

(q_{1}, q_{2}) = \frac{- 4 + 2 + 2}{9} = 0

，

(q_{1}, q_{3}) = \frac{2 + 2 - 4}{9} = 0

，

(q_{2}, q_{3}) = \frac{- 2 + 4 - 2}{9} = 0

。

三列标准正交，故

Q

是正交矩阵。由

Q^{- 1} = Q^{T}

，得

Q^{- 1} = Q^{T} = \frac{1}{3} 2 - 2 1 122 21 - 2 .

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 1011, α_{2} = - 1 - 1 01, α_{3} = 01 - 1 1, β = 111 - 1

，

γ = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}

。若

γ^{T} α_{i} = β^{T} α_{i} (i = 1, 2, 3)

，则

k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} =

______.

2021 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

已知

α_{1} = 101, α_{2} = 121, α_{3} = 312

，记

β_{1} = α_{1}

，

β_{2} = α_{2} - k β_{1}

，

β_{3} = α_{3} - l_{1} β_{1} - l_{2} β_{2}

，若

β_{1}, β_{2}, β_{3}

两两正交，则

l_{1}, l_{2}

依次为（　　）

A $\frac{5}{2}, \frac{1}{2} .$
B $- \frac{5}{2}, \frac{1}{2} .$
C $\frac{5}{2}, - \frac{1}{2} .$
D $- \frac{5}{2}, - \frac{1}{2} .$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

下列矩阵中是正交矩阵的是（　）。

A $(1011)$
B $(10 0 - 1)$
C $(1111)$
D $(2001)$

练习 2 · 填空题

设

Q

为

3

阶正交矩阵，且

∣ Q ∣ < 0

，则

∣ Q ∣ =

____。

练习 3 · 填空题

向量

α = (1, 2, 2)^{T}

单位化后所得的单位向量为 ____。

练习 4 · 选择题

设

A, B

为同阶正交矩阵，则下列矩阵中一定是正交矩阵的是（　）。

A $A + B$
B $A B$
C $2 A$
D $A - B$

练习 5 · 选择题

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是线性无关的

3

维列向量，用施密特方法把它正交化（不单位化）得到

β_{1}, β_{2}, β_{3}

。记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

B = (β_{1}, β_{2}, β_{3})

，则下列结论正确的是（　）。

A存在主对角元全为 $1$ 的上三角矩阵 $R$ ，使 $A = B R$
B存在主对角元全为 $1$ 的下三角矩阵 $L$ ，使 $A = B L$
C $B^{T} B = E$
D一般有 $∣ A ∣ \neq = ∣ B ∣$

练习 6 · 填空题

设

A

为

3

阶正交矩阵，且

∣ A ∣ = - 1

，则

∣ A + E ∣ =

____。

练习 7 · 解答题

已知

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

。
（1）求与

α_{1}

正交的全体

3

维列向量所构成的解空间的一个基础解系；
（2）把（1）中所得的基础解系施密特正交化；
（3）由此构造一个

3

阶正交矩阵

Q

，使其第一列为

\frac{1}{3} (1, 1, 1)^{T}

。

1995 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 6 分

设

A

是

n

阶矩阵，满足

A A^{T} = E

（

E

为

n

阶单位矩阵，

A^{T}

为

A

的转置矩阵），

∣ A ∣ < 0

，求

∣ A + E ∣

施密特正交化与正交矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 正交向量组必线性无关：正交化以后仍能构成基★ 要懂

2. 施密特正交化的归纳证明：为什么减去的是在已正交化的 βj​ 上的投影★★ 必会

3. 正交矩阵的等价刻画与性质：列标准正交为什么等价于 QTQ=E★★ 必会

4. 常见的构造题：补全正交矩阵，或求正交补的标准正交基

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 施密特正交化的归纳证明：为什么减去的是在已正交化的 $β_{j}$ 上的投影★★ 必会

3. 正交矩阵的等价刻画与性质：列标准正交为什么等价于 $Q^{T} Q = E$ ★★ 必会