向量空间（基、维数、坐标、过渡矩阵）

① 向量空间的定义（两条封闭性）. 设 $V$ 是 $n$ 维向量的非空集合。如果
(i) 对加法封闭：$\alpha ,\beta \in V\Rightarrow \alpha +\beta \in V$；
(ii) 对数乘封闭：$\alpha \in V,k\in \mathbb{R}\Rightarrow k\alpha \in V$；
那么称 $V$ 为一个向量空间。这两条合起来，等价于对任意的线性组合封闭。取 $k=0$ 即知任何向量空间必含零向量，因此不含 $0$ 的集合一定不是向量空间，这是最简便的否定判别法。
常见的例子有：${\mathbb{R}}^n$；$\{0\}$；齐次方程组的解集 $\{x:Ax=0\}$（称为解空间，§12.1）；生成空间 $L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=\{k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s\}$。一个反例是非齐次方程组 $Ax=b(b\ne 0)$ 的解集：零向量不在其中，且两个解之和也不再是解。如果向量空间 $W$ 包含于向量空间 $V$，那么称 $W$ 为 $V$ 的子空间（判定子空间同样只需检查非空 $+$ 两条封闭性）。

② 基与维数. 向量空间 $V$ 中的向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 若满足：
(i) 线性无关；(ii) $V$ 中任一向量都可由它线性表示；
则称它为 $V$ 的一组基，$r$ 称为 $V$ 的维数，记 $\dim V=r$，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间（规定 $\{0\}$ 的维数为 $0$）。基不唯一，但基中向量的个数唯一（见本页维数是良定义的条）。例如 ${\mathbb{R}}^n$ 的自然基是 $e_1,\dots ,e_n$，故 $\dim {\mathbb{R}}^n=n$；并且 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意 $n$ 个线性无关向量都构成基。事实上，任取 $\beta \in {\mathbb{R}}^n$，把它加入后成为 $n+1$ 个 $n$ 维向量，必线性相关；再由无关组添一向量后变为相关 $\Rightarrow$ 该向量可以表示，即得条件 (ii)。

③ 坐标：存在且唯一. 取定基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 后，$V$ 中每个向量 $\beta$ 都可写成
$$\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_r{\alpha }_r,$$
且这组系数唯一，称 $(x_1,x_2,\dots ,x_r{)}^{\mathrm{T}}$ 为 $\beta$ 在这组基下的坐标。求坐标 $=$ 解方程组 $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)x=\beta$。基改变时坐标随之改变（换基与坐标变换的公式见本页过渡矩阵条）。

要使维数 $=$ 基所含向量的个数这一说法有意义，必须保证不同的基含有相同个数的向量，否则维数就无从谈起。这一条看似显然的事实，恰恰要用 11.1 中以少表多必相关这条基本定理来严格保证，它是整个向量空间理论的基础。

在 $n$ 维空间 $V$ 中，给定线性无关的 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k(k<n=\dim V)$，必可再添上 ${\alpha }_{k+1},\dots ,{\alpha }_n$，使它们成为 $V$ 的一组基。这条定理保证线性无关组总可以扩充成基，是构造基、补齐正交基以及讨论子空间时的常用工具。与此相对，任何一个生成组也都可以删去多余的向量而化为基。

设 $V$ 有旧基 $(\alpha )=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 与新基 $(\beta )=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)$，满足 $(\beta )=(\alpha )P$，则称可逆矩阵 $P$ 为由旧基$\to$新基的过渡矩阵。同一个向量 $\gamma$ 的旧坐标 $x$ 与新坐标 $y$ 满足 $x=Py$，可见基的变换与坐标的变换方向相反。复合律：由旧基$\to$新基$\to$更新的基的过渡矩阵，等于各过渡矩阵之积；由标准基到 $(\alpha )$ 的过渡矩阵就是 $A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 本身。实际求法是作行变换 $(\alpha \mid \beta )\to (E\mid P)$。

数一中反复出现的向量空间几乎都属于下面几类：

- 生成子空间 $L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=\{{\sum }_i{k}_i{\alpha }_i\}$，维数 $=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)$，一组基 $=$ 任何一个极大无关组；
- 齐次解空间 $\{x:Ax=0\}$，维数 $=n-r(A)$，一组基 $=$ 基础解系（这是与第 12 章相衔接的重要接口）。

判定一个子集 $W$ 是否为子空间，只需检查三条：含 $0$、对加法封闭、对数乘封闭。其中先看是否含 $0$，是最简便的否定方法。