判断一个集合是不是向量空间
第一步：先看含不含零向量——不含就直接否定，收工。
第二步：任取两个元素，验加法封闭：和还在不在集合里。
第三步：任取一个元素和一个数，验数乘封闭。
第四步：两条都过才是向量空间。注意要对任意元素验，不能只举一个例子。例例. 判断 V1={x∣x1+x2+x3=0} 与 V2={x∣x1+x2+x3=1} 是不是向量空间。
第一步，V2 不含零向量（0+0+0=0=1）⇒ 直接否定，收工。
第二步，V1 含零向量。任取 α,β∈V1，两者的分量和都是 0，相加后分量和还是 0 ⇒ 加法封闭 ✓
第三步，任取 α∈V1 与数 k，kα 的分量和是 k⋅0=0 ⇒ 数乘封闭 ✓
第四步，两条都过，V1 是向量空间。
第二、三步要对任意元素验。举一个具体例子「碰巧还在里面」证明不了封闭；而举一个反例就足以否定。
求由约束给出的空间的基与维数
第一步：把约束写成齐次方程组，解出主变量用自由变量表示。
第二步：令自由变量依次取 (1,0,…),(0,1,…),…，得到一组向量。
第三步：这组向量就是一组基，个数（即自由变量个数）就是维数。
第四步：核对——维数应等于「未知量个数减独立约束个数」。例例. 求上题 V1={x∣x1+x2+x3=0} 的一组基与维数。
第一步，约束就是齐次方程 x1+x2+x3=0。解出主变量：x1=−x2−x3，自由变量是 x2,x3。
第二步，自由变量依次取 (1,0)、(0,1)：
ξ1=(−1,1,0)T,ξ2=(−1,0,1)T.
第三步，ξ1,ξ2 就是一组基，维数 =2（自由变量的个数）。
第四步，核对：未知量 3 个，独立约束 1 个，3−1=2 ✓
几何上 V1 是过原点的一张平面，两个基向量就是平面上两个不共线的方向。
求过渡矩阵与坐标变换
第一步：分清谁是旧基、谁是新基，题目问的是哪个方向。
第二步：旧基按列拼成 A、新基按列拼成 B，由 B=AP 得 P=A−1B。
第三步：核对口诀——P 的第 j 列应是新基第 j 个向量在旧基下的坐标。
第四步：坐标用 x=Py（旧 = P 乘新）。要反着求就乘 P−1。例例. 旧基 α1=(1,0)T,α2=(0,1)T，新基 β1=(1,1)T,β2=(1,−1)T。求过渡矩阵与坐标变换。
第一步，分清方向：要的是「旧基到新基」的过渡矩阵 P。
第二步，A=(α1,α2)=E、B=(β1,β2)，由 B=AP 得
P=A−1B=(111−1).
第三步，核对口诀：P 的第 1 列应是 β1 在旧基下的坐标——β1=1⋅α1+1⋅α2，坐标 (1,1)T ✓
第四步，坐标用 x=Py（旧 = P 乘新）。某向量新坐标 y=(1,1)T，则旧坐标 x=Py=(2,0)T；验：β1+β2=(2,0)T ✓ 反着求就乘 P−1。