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向量组的秩与极大线性无关组

线性代数 · 向量

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 极大无关组：挑到不能再挑的那一把

从向量组

α_{1}, \dots, α_{s}

里挑出一部分，记作

α_{i_{1}}, \dots, α_{i_{r}}

，若

① 这一部分线性无关；

② 再从剩下的里随便添一个进来就变成相关，

就称它是原向量组的一个极大线性无关组。

②那句话还有个等价说法，更好用：原组里每一个向量都能被这一部分线性表示。

「极大」的意思是「不能再往里加」，不是「个数最多」——不同的极大无关组个数其实都一样（下一条），但构成可以不同。

极大无关组不唯一。 例如

α_{1} = (10)

，

α_{2} = (01)

，

α_{3} = (11)

，任取其中两个都是极大无关组。所以题目问「求一个极大无关组」，答案不唯一，写出任何一个合法的都算对。

2. 向量组的秩 $=$ 极大无关组的个数 $=$ 矩阵的秩

极大无关组所含向量的个数叫向量组的秩，记作

r (α_{1}, \dots, α_{s})

。

这个数与挑法无关——不同的极大无关组可以不同，但个数一定相同。所以秩是向量组自己的性质。

而且它就是矩阵的秩：把向量按列拼成

A

，则

r (α_{1}, \dots, α_{s}) = r (A) .

于是上一章学的「化阶梯形数非零行」原样搬过来用。

三句话串成一条链，考场上随时互换：

r = s r < s r 线性无关 线性相关 极大无关组的个数

还有一条常用的：矩阵的行秩等于列秩。所以按行拼还是按列拼，算出来的秩一样——但要判线性相关性时仍须按列拼，因为判据是拿

r

和列数比。

3. 求极大无关组：化行最简形，看主元列

做法：把向量按列拼成

A

，作行变换化到行最简形，则

① 主元（每行第一个非零元，且已化为 $1$ ）所在的那几列，对应的原向量就构成一个极大无关组；

② 非主元列的系数，直接读出该向量由极大无关组表示的表示式。

为什么能这样读：初等行变换不改变列之间的线性关系。变换前第三列是前两列的

2

倍加

1

倍，变换后仍然是。所以在最简形上读出来的关系，拿回原向量上照样成立。

两个「不变」要分清：
行变换不改变列向量之间的线性关系，但会改变列向量本身。所以读关系可以在最简形上读，写答案必须写回原来的

α_{i}

。

4. 等价向量组：互相表示，秩相等

若向量组

A

的每个向量都能由

B

表示，且

B

的每个向量都能由

A

表示，就说

A

与

B

等价。

等价的向量组秩相等。 反过来不成立——秩相等的两组未必等价（它们可能撑出完全不同的方向）。

几条配套的不等式，证明题里常用：

① 若 $B$ 能由 $A$ 表示，则 $r (B) \leq r (A)$ 。 被表示的一方秩不会更大。

② $r (A, B) \leq r (A) + r (B)$ 。 拼起来的秩不超过两边之和。

③ $r (A, B) \geq max {r (A), r (B)}$ 。 添列秩不减。

①是最常用的一条：看到「能由……表示」，立刻想到秩的不等号。向量组之间的包含关系，到了秩这里就变成大小关系。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求向量组的秩与一个极大无关组

第一步：把向量按列拼成矩阵

A

。

第二步：作初等行变换，化到行阶梯形——非零行个数就是秩。

第三步：继续化到行最简形，找出主元所在的列。

第四步：主元列对应的原向量就是一个极大无关组。答案写

α_{i_{1}}, \dots, α_{i_{r}}

，不要写化简后的列。

例例. 求

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

、

α_{2} = (1, 2, 3)^{T}

、

α_{3} = (3, 5, 7)^{T}

的秩与一个极大无关组。

第一步，按列拼成

A = 111123357

。

第二步，行变换化阶梯形：

\to 100110320,

非零行

2

行

\Rightarrow

秩为

2

。

第三步，继续化行最简形：

100010120,

主元在第 $1$ 、 $2$ 列。

第四步，

α_{1}, α_{2}

是一个极大无关组。答案写原向量——别把化简后的

(1, 0, 0)^{T}

写上去，那是另一个向量。

把其余向量用极大无关组表示出来

第一步：先按上一条化到行最简形并定出主元列。

第二步：看某个非主元列，把它的各个分量按主元列的顺序对应读出。

第三步：这些数就是表示式的系数：

α_{j} = c_{1} α_{i_{1}} + \dots + c_{r} α_{i_{r}}

。

第四步：挑一个代回原向量验算——这一步能抓住绝大多数抄错。

例例. 接上题，把

α_{3}

用极大无关组表示出来。

第一步，行最简形已得，主元列是第

1

、

2

列。

第二步，看非主元列（第

3

列），它的分量按主元列的顺序读出来是

1

和

2

。

第三步，这两个数就是系数：

α_{3} = 1 \cdot α_{1} + 2 \cdot α_{2} .

第四步，代回验算：

(1, 1, 1)^{T} + 2 (1, 2, 3)^{T} = (3, 5, 7)^{T}

✓

为什么能直接读：初等行变换不改变列与列之间的线性关系。化简后第

3

列是前两列的

1, 2

倍组合，原来的第

3

列就也是——这一条是整个方法的根。

证明两个向量组等价

第一步：等价要两个方向，缺一不可。

第二步：证

B

能由

A

表示——比较

r (A)

与

r (A, B)

，相等即可。

第三步：证

A

能由

B

表示——比较

r (B)

与

r (A, B)

。

第四步：两步都过，则

r (A) = r (B) = r (A, B)

，两组等价。

例例. 证明

A : α_{1} = (1, 0)^{T}, α_{2} = (0, 1)^{T}

与

B : β_{1} = (1, 1)^{T}, β_{2} = (1, - 1)^{T}

等价。

第一步，等价要两个方向，缺一不可。

第二步，

(A, B) = (100111 1 - 1)

已是行最简形，

r (A, B) = 2 = r (A)

\Rightarrow

B

能由

A

表示。

第三步，

11 1 - 1 = - 2 \neq = 0

，故

r (B) = 2 = r (A, B)

\Rightarrow

A

能由

B

表示。

第四步，两步都过，

r (A) = r (B) = r (A, B) = 2

，两组等价。

■

注意「

r (A) = r (B)

」单独推不出等价：

(1, 0)^{T}

与

(0, 1)^{T}

这两个单向量组秩都是

1

，却谁也表示不了谁。 $r (A, B)$ 必须也等于它们。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

答案写成化简后的列向量

极大无关组是原来的

α_{i_{1}}, \dots, α_{i_{r}}

，不是行最简形里的那几列。

行变换改变了列向量本身，只保住了列之间的关系。

写答案时写 $α_{1}, α_{3}$ 这样的编号，别把化简后的数字抄上去。

为了「方便」作了列变换

求极大无关组只能作行变换。

列变换会把列搅混，读出来的表示式不再是原向量的关系。

（求矩阵的秩时行列变换都可以用——但那是另一件事，别把两个场景的规矩混起来。）

以为极大无关组唯一

极大无关组不唯一，个数才唯一。

{α_{1}, α_{3}}

和

{α_{2}, α_{3}}

可以同时都是。

所以「求一个极大无关组」的标准答案不止一种，按主元列挑出来的那个只是最方便的一个。

把「秩相等」当成「等价」

等价

\Rightarrow

秩相等，反过来不成立。

{(10)}

和

{(01)}

秩都是

1

，但谁也表示不了谁。

要判等价必须回到互相可表示，或者验

r (A) = r (B) = r (A, B)

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认概念

练 1

若向量组的秩为

3

，则它的任一极大无关组含有 ________ 个向量。

练 2

向量组

α_{1}, \dots, α_{s}

的极大无关组（）。

A唯一
B不唯一，但所含向量个数唯一
C不唯一，所含向量个数也不唯一
D一定是 ${α_{1}}$

练 3

把

n

个向量按列拼成矩阵

A

，则向量组的秩与

r (A)

的关系是 ________。

练 4

求极大无关组时应作（）。

A只作初等行变换
B只作初等列变换
C行、列变换都可以
D先列后行

第二组 · 算秩

练 5

向量组

(12), (24), (36)

的秩为 ________。

练 6

设向量组的秩为

r

，向量个数为

s

，则该向量组线性无关的充要条件是（）。

A $r < s$
B $r > s$
C $r = s$
D $r = 0$

练 7

已知

B

能由

A

线性表示，

r (A) = 2

，则

r (B)

________

2

（填不等号）。

练 8

化到行最简形后主元在第

1, 3

列，则一个极大无关组是（）。

A最简形的第 $1, 3$ 列
B原向量 $α_{1}, α_{3}$
C原向量 $α_{1}, α_{2}$
D最简形的全部非零列

第三组 · 读表示式

练 9

行最简形为

100010230

，则

α_{3} =

________

α_{1} +

________

α_{2}

。

练 10

设

A

与

B

等价，则必有（）。

A $A$ 与 $B$ 含有相同个数的向量
B $r (A) = r (B)$
C $A$ 与 $B$ 完全相同
D $A$ 、 $B$ 都线性无关

练 11

设

r (A) = r (B) = r (A, B) = 3

，则

A

与

B

________（填「等价」或「不等价」）。

练 12

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

的秩为

2

，且

α_{1}, α_{2}

线性无关，则（）。

A $α_{3} = 0$
B $α_{1}, α_{3}$ 必线性相关
C $α_{3}$ 能由 $α_{1}, α_{2}$ 唯一表示
D $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

向量组的秩与极大线性无关组

先打基础

1. 极大无关组：挑到不能再挑的那一把

2. 向量组的秩 = 极大无关组的个数 = 矩阵的秩

3. 求极大无关组：化行最简形，看主元列

4. 等价向量组：互相表示，秩相等

常用结构

求向量组的秩与一个极大无关组

把其余向量用极大无关组表示出来

证明两个向量组等价

基础易错

答案写成化简后的列向量

为了「方便」作了列变换

以为极大无关组唯一

把「秩相等」当成「等价」

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 向量组的秩 $=$ 极大无关组的个数 $=$ 矩阵的秩