矩阵的秩

线性代数 · 矩阵

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 秩：化成行阶梯形之后数非零行

矩阵

A

的秩记作

r (A)

或

R (A)

。定义有两种说法，考试用的是第二种：

① 用子式定义：

A

中非零子式的最高阶数。

② 用初等变换定义：把

A

化成行阶梯形后，非零行的个数。

两种说法给出同一个数，而第二种可以动手算，所以实战中一律用它。

关键依据：初等变换不改变矩阵的秩. 正因为如此，化简到阶梯形再数行数才是合法的。

几条立刻能看出来的：

r (A) = 0 A_{m \times n} A_{n} 可逆 A = O r (A) \leq min {m, n} r (A) = n

第二条说明秩不会超过行数、也不会超过列数，这是估计秩的上界时最常用的一句。

r (A) = n

（等于阶数）时称

A

满秩；满秩方阵就是可逆方阵。

2. 秩与可逆、与方程组

秩把矩阵、行列式、方程组三件事串了起来。设

A

是

n

阶方阵：

r (A) = n r (A) < n ∣ A ∣ \neq = 0 ∣ A ∣ = 0 A 可逆 A 不可逆

这三列说的是同一件事，哪个好算就用哪个：

二阶、三阶算行列式快；阶数高或者含参数讨论时，化阶梯形数秩更稳。

对齐次方程组 $A x = 0$ （

n

个未知数）：

r (A) = n r (A) < n 只有零解 有非零解

这正是克拉默法则那里「

D = 0

时有非零解」的推广——秩的说法对非方阵也成立，而行列式只能管方阵。

所以秩比行列式更通用：方程个数与未知数个数不等时，只有秩说得上话。

3. 几条常用的秩不等式

这些不必推导，记住并会用即可：

r (A^{T}) r (k A) r (A + B) r (A B) = r (A), = r (A) (k \neq = 0), \leq r (A) + r (B), \leq min {r (A), r (B)} .

第一条的含义很要紧：行秩等于列秩，所以「化行阶梯形数非零行」与「用列变换数」得到的是同一个数。

第四条是最常用的：乘积的秩不会超过任何一个因子的秩。直观地说，矩阵相乘是一种「投影」，只会丢信息不会造信息。

由它立刻得到一条常考的结论：

若 $A B = O$ ，则 $r (A) + r (B) \leq n$ （

A

的列数

= B

的行数

= n

）。

还有两条与可逆有关的：

乘以可逆矩阵不改变秩：

P

、

Q

可逆时

r (P A Q) = r (A)

。这正是「初等变换不改变秩」的本质——初等矩阵都是可逆的。

4. 含参数的秩：按阶梯形里的参数分类讨论

考研里秩的题多半含参数，问「

λ

取何值时

r (A) = 2

」这类。做法固定：

① 化行阶梯形. 化简过程中尽量不要用含参数的数去除——因为那个数可能为零，一除就得分情况，很乱。

实用的技巧：先交换行，把常数（不含参数的）换到左上角当主元，用它去消别人，整个过程就不必讨论。

② 化到底，看最后那一行（或几行）里的参数式子。

③ 按那个式子是否为零分类，分别数非零行。

方阵时还有一条更快的路：

r (A) < n ⟺ ∣ A ∣ = 0

，所以先解 $∣ A ∣ = 0$ 求出参数的几个候选值，再逐个代回去数秩。三阶以内这条路常常更快。

答案往往分好几种情形，每种都要写清楚参数的范围与对应的秩。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求秩：化阶梯形，数非零行

第一步：用初等行变换把矩阵化成行阶梯形。

第二步：数非零行的个数，那就是秩。

第三步：核对上界——秩不超过行数、也不超过列数。

第四步：方阵时可以用

∣ A ∣

核对：满秩

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0

。

例例. 求

A = 1212423744106

的秩。

第一步，上一条已化好行阶梯形：

100200310420 .

第二步，非零行有

2

行，故

r (A) = 2

。

第三步，核对上界：

r \leq min {3, 4} = 3

✓

第四步，这里不是方阵，用不上

∣ A ∣

。方阵时「满秩

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0

」可以当第二条核对。

数的是非零行的个数，不是矩阵的行数，也不是非零元素的个数——阶梯形里这三者往往都不一样。

含参数的秩：把讨论集中在最后一步

第一步：交换行，把不含参数的那一行换上去当主元。

第二步：用它去消别人，整个过程不出现「除以参数」。

第三步：化到底，看最后那一行里的参数式子。

第四步：按它是否为零分类，分别数非零行。方阵时也可先解

∣ A ∣ = 0

找候选值。

例例. 求

A = λ 11 1 λ 1 11 λ

的秩（按

λ

讨论）。

第一步，交换

r_{1} \leftrightarrow r_{3}

，把不含参数的那一行换上去当主元。

第二步，用它去消别人（

r_{2} - r_{1}

、

r_{3} - λ r_{1}

），全程没有「除以 $λ$ 」：

100 1 λ - 1 1 - λ λ 1 - λ 1 - λ^{2} .

第三步，再

r_{3} + r_{2}

，第三行成为

(0, 0, - (λ + 2) (λ - 1))

。

第四步，按最后那一项分类：

λ \neq = 1

且

λ \neq = - 2

：

r = 3

；　

λ = 1

：二三行全零，

r = 1

；　

λ = - 2

：只第三行全零，

r = 2

。

把讨论挤到最后一行再分叉最省力；一上来就除以

λ

，要分的岔会多好几倍。

估计 $r (A B)$ ：从两头夹

第一步：看乘积本身的形状，

r (A B) \leq min {行数, 列数}

。

第二步：用

r (A B) \leq min {r (A), r (B)}

。

第三步：取两者里更小的那个作为上界。

第四步：

A B = O

时还可以用

r (A) + r (B) \leq n

。

例例.

A

是

3 \times 4

、

B

是

4 \times 2

，

r (A) = 2

、

r (B) = 2

，估计

r (A B)

。

第一步，

A B

是

3 \times 2

，所以

r (A B) \leq min {3, 2} = 2

。

第二步，

r (A B) \leq min {r (A), r (B)} = 2

。

第三步，取两者里更小的，上界是

2

。

第四步，若已知

A B = O

，还能用

r (A) + r (B) \leq n

（

n

是中间那个维数

4

）：这里

2 + 2 = 4 \leq 4

，不矛盾，所以

A B = O

在这组数据下是可能的。

反过来：若

r (A) = 3

、

r (B) = 2

而

A B = O

，就要求

3 + 2 \leq 4

，不成立——说明那组数据下

A B

不可能是零矩阵。这条不等式最常这样用。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

数行数时把全零行也算进去

秩是非零行的个数。

100210340

的秩是

2

不是

3

。

而且要先化成阶梯形再数——没化完就数是不作数的。

含参数时用参数去除

那个数可能为零，一除就要分支，越分越乱。

先交换行，把常数行换上去当主元，把讨论集中到最后一步。

把 $r (A B)$ 当成 $r (A) \cdot r (B)$ 或 $r (A) + r (B)$

正确的是

r (A B) \leq min {r (A), r (B)}

——乘积只丢信息，不造信息。

加法那一条是

r (A + B) \leq r (A) + r (B)

，不等号方向与对象都不同，别混。

以为行列式能代替秩

行列式只能说「是不是零」，秩还能说「差多少」；而且行列式只对方阵有定义。

三阶矩阵

∣ A ∣ = 0

时秩可能是

2

、

1

或

0

，这三种对应的解的结构完全不同。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 怎么数

练 1

100210340

的秩为 ________。

练 2

求矩阵的秩，实战中用的办法是（）。

A化行阶梯形，数非零行
B算所有子式
C算行列式
D数矩阵的行数

练 3

设

A

是

3 \times 5

矩阵，则

r (A)

最大是（）。

A $5$
B $8$
C $15$
D $3$

练 4

n

阶方阵

A

可逆当且仅当

r (A) =

________。

第二组 · 秩的用处

练 5

设

A = 121243367

，则

r (A) =

________。

练 6

设

A

是

3

阶方阵且

r (A) = 2

，则齐次方程组

A x = 0

（）。

A只有零解
B无解
C有非零解
D无法判断

练 7

下列不等式中正确的是（）。

A $r (A B) = r (A) r (B)$
B $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$
C $r (A B) \geq r (A) + r (B)$
D $r (A + B) = r (A) + r (B)$

练 8

r (A^{T})

与

r (A)

的关系是：两者 ________（填「相等」或「互为倒数」）。

第三组 · 含参数

练 9

设

A = (11 1 λ)

，当

λ =

________ 时

r (A) = 1

。

练 10

化简含参数的矩阵时，应当（）。

A先交换行，用不含参数的那一行当主元
B直接用含参数的那一行去消
C两边同除参数
D先假设参数不为零

练 11

设

A

是

3 \times 4

矩阵、

B

是

4 \times 3