矩阵的秩

§9.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.64 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

8.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）初等变换与初等矩阵矩阵的运算③ 掌握后可解锁向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关性向量组的秩与极大线性无关组齐次线性方程组与基础解系线性方程组解的判定

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 行秩 $=$ 列秩的证明：初等变换同时保持行秩与列秩★ 要懂

行秩（即行向量组的极大无关组所含向量的个数）与列秩（即列向量组的相应个数）总是相等，这是秩这一概念得以成立的基础。证明的要点是：初等行变换保持列秩，初等列变换保持行秩，因此任意施行行、列变换都不改变行秩与列秩；把

A

化为等价标准形后，行秩与列秩显然都等于

r

。

证明 / 推导

引理. 左乘可逆矩阵

P

不改变列秩。事实上，

P A

的各列就是

P

作用在

A

的各列上所得，而

P

可逆，保持任意一组列向量的线性相关性，故

A

与

P A

的列向量组的极大无关组所含向量的个数相同，即列秩相等。与此相类似，右乘可逆矩阵不改变行秩。
证. 初等行变换

=

左乘可逆矩阵，由引理知它不改变列秩；又它显然不改变行空间，故也不改变行秩。初等列变换与此对称，两者也都不改变。于是对

A

施行行、列初等变换化为等价标准形

(E_{r} O O O)

，全过程中行秩与列秩都不变。而标准形的行秩

=

列秩

= r

（其中有

r

个单位行与单位列线性无关，其余全为零）。故

A

的行秩

=

列秩

= r

。

■

2. 两条最常用的秩不等式： $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ 与 $A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ ★★ 必会

这两条不等式在抽象的秩的题目中用得极多，而且只用列空间与解空间的语言就能说清楚，因此应当会推导，不必死记。

r (A B) \leq min

说明矩阵相乘只会减少或保持信息；

A B = O

那一条把两个矩阵的秩之和限制在

n

以内，是处理

A^{2} = O

、

A B = O

一类题目的主要工具。

证明 / 推导

$r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ .

A B

的每一列

= A \cdot (B 的对应列)

，都是

A

的各列的线性组合，故

A B

的列空间

\subseteq A

的列空间，于是

r (A B) \leq r (A)

。又

A B

的每一行都是

B

的各行的线性组合，故

r (A B) \leq r (B)

。合起来即得

\leq min

。
$A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ （其中

A

为

m \times n

，

B

为

n \times s

）. 由

A B = O

可知

B

的每一列都满足

A x = 0

，即

B

的各列都落在解空间

{x : A x = 0}

之中，而该解空间的维数为

n - r (A)

。故

r (B) \leq n - r (A)

，即

r (A) + r (B) \leq n

。

■

举例说明

【真题·数三 1988】 判断：设

A, B

都是

n

阶非零矩阵，且

A B = O

，则

r (A) < n

。
解. 正确。由

A B = O

得

r (A) + r (B) \leq n

；因为

B \neq = O

，所以

r (B) \geq 1

，故

r (A) \leq n - 1 < n

。（也可用反证法：若

r (A) = n

，则

A

可逆，于是

B = A^{- 1} (A B) = O

，与

B \neq = O

矛盾。）这就是

A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n

这一结论最常见的用法。

3. 加法与减法的秩不等式： $∣ r (A) - r (B) ∣ \leq r (A \pm B) \leq r (A) + r (B)$ ★★ 必会

加法与减法所得矩阵的秩被上下两个界夹住。上界

r (A + B) \leq r (A) + r (B)

的来由是：和的列空间不会超出两个矩阵的列空间之和；下界则由上界反过来使用得到，常用于估计

r (A + B)

可能取到的最小值，或者证明某个和式满秩。

证明 / 推导

上界.

A + B

的每一列

=

（

A

的对应列）

+

（

B

的对应列），落在由

A

的列空间

+

B

的列空间所张成的子空间之中，而该子空间的维数

\leq r (A) + r (B)

，故

r (A + B) \leq r (A) + r (B)

。
下界. 把

A

写成

A = (A + B) + (- B)

，再用上界，得

r (A) \leq r (A + B) + r (- B) = r (A + B) + r (B)

，即

r (A + B) \geq r (A) - r (B)

；由

A, B

的对称性同理可得

r (A + B) \geq r (B) - r (A)

。合起来即得

r (A + B) \geq ∣ r (A) - r (B) ∣

。把

B

换成

- B

，即得关于

A - B

的同样的不等式。

■

举例说明

例. 设

A, B

为

n

阶方阵且

A + B = E

，

r (A) + r (B) \leq n

，证明

r (A) + r (B) = n

。
解. 由

A + B = E

得

n = r (E) = r (A + B) \leq r (A) + r (B)

；又已知

r (A) + r (B) \leq n

。两个不等式合起来即得

r (A) + r (B) = n

。

■

4. 秩 $1$ 矩阵的完全刻画： $r (A) = 1 ⟺ A = α β^{T}$ ，且 $A^{2} = (tr A) A$ ★★ 必会

秩为

1

的矩阵是数学三中常见的结构。判据：

n

阶方阵

r (A) = 1 ⟺

存在非零的列向量

α, β

使

A = α β^{T}

。一旦写成这种形式，它的方幂与特征值都很容易求出：

A^{2} = (tr A) A

，特征值为

tr A

（一重）与

0

（

n - 1

重）。见到秩

1

或

A = α β^{T}

时，就应当立即想到这一串结论。

证明 / 推导

( $\Leftarrow$ ) 若

A = α β^{T}

（其中

α, β \neq = 0

），则它的各列都是

α

的倍数，且

A \neq = O

，故

r (A) = 1

。
( $\Rightarrow$ ) 若

r (A) = 1

，则

A

的列向量组的秩为

1

，于是存在非零的列向量

α

，使每一列

=

某个数乘

α

；记第

j

列

= β_{j} α

，令

β = (β_{1}, \dots, β_{n})^{T}

（它非零），则

A = α β^{T}

。
方幂.

A^{2} = α β^{T} α β^{T} = α (β^{T} α) β^{T} = (β^{T} α) A = (tr A) A

，这里用到

tr A = tr (α β^{T}) = β^{T} α

。

■

举例说明

例. 设

A = 123123123

，求

A^{n}

。
解. 这里

A = α β^{T}

，

α = (1, 2, 3)^{T}

，

β = (1, 1, 1)^{T}

，

tr A = 1 + 2 + 3 = 6

。故

A^{n} = (tr A)^{n - 1} A = 6^{n - 1} A

。

💡 小知识

行秩等于列秩，初学者第一次见到时多半要问一句凭什么：同一张数表，横着数线性无关的行，竖着数线性无关的列，个数永远相同。这个等式是线性代数中对偶之美的第一次亮相，它保证了无论从行出发还是从列出发，你看到的都是同一个内在维度。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求矩阵

A = 121241361

的秩。难度 1

标准动作：初等行变换化行阶梯形，数非零行。

A r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100 20 - 1 30 - 2 r_{2} \leftrightarrow r_{3} 100 2 - 1 0 3 - 2 0 .

非零行有

2

行，故

r (A) = 2

。（第

2

行恰是第

1

行的

2

倍，被消成零行，说明它不贡献秩。）

例 2 设

A = 111124 1 a a^{2}

，讨论

a

取何值时

r (A) = 3

、何值时

r (A) = 2

。难度 2

含参数求秩：先化行阶梯形，再看含参主元何时为零。

A r_{2} - r_{1}, r_{3} - r_{1} 100113 1 a - 1 a^{2} - 1 r_{3} - 3 r_{2} 100110 1 a - 1 a^{2} - 3 a + 2 .

右下角

a^{2} - 3 a + 2 = (a - 1) (a - 2)

。前两行恒为非零行，故：
- 当

(a - 1) (a - 2) \neq = 0

，即

a \neq = 1

且

a \neq = 2

时，三行皆非零，

r (A) = 3

；
- 当

a = 1

或

a = 2

时，第三行化为零行，

r (A) = 2

。
（此矩阵不可能出现

r (A) = 1

，因第

2

行主元

1

恒在。）

例 3 设

A

为

n

阶方阵且

A^{2} = O

，证明

r (A) \leq \frac{n}{2}

。难度 2

思路：利用「 $A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ 」，令 $B = A$ 。
把

A^{2} = O

看作

A \cdot A = O

。由于

A

的每一列都是齐次方程

A x = 0

的解，而

A x = 0

的解空间维数为

n - r (A)

，故

A

（作为

B

）的列向量组的秩满足

r (A) \leq n - r (A) .

（这正是结论

A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n

在

B = A

时的形式。）移项得

2 r (A) \leq n

，即

r (A) \leq \frac{n}{2} .

例如

n = 2

时

r (A) \leq 1

，与「

2

阶幂零矩阵秩至多为

1

」吻合。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = 101100111131

，

C = 211 a 011 b

，若存在矩阵

B

满足

A B = C

，则（　　）。

A $a = - 1, b = - 1$
B $a = 2, b = 2$
C $a = - 1, b = 2$
D $a = 2, b = - 1$

2026 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = (1 a + 2 b 3 - 1 - 3 a)

。若二次型

x^{T} (A A^{T}) x

的规范形为

y_{1}^{2}

，则

a + b =

______。

2025 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

已知

A

是

m \times n

矩阵，

β

是

m

维非零向量。若

A

有

k

阶非零子式，则（　　）。

A当 $k = m$ 时， $A x = β$ 有解
B当 $k = m$ 时， $A x = β$ 无解
C当 $k < m$ 时， $A x = β$ 有解
D当 $k < m$ 时， $A x = β$ 无解

2025 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 1 - 1 1 - 1 01 3 - 2 a 0 - a 2 - 1 - 1 3

的秩为

2

。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）求

A

的列向量组的一个极大线性无关组

α, β

，并求矩阵

H

，使得

A = G H

，其中

G = (α, β)

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

矩阵

A = 112123134145

的秩

r (A) =

____。

练习 2 · 填空题

设

α, β

均为

3

维非零列向量，

A = α β^{T}

，则

r (A) =

____。

练习 3 · 选择题

设

A

为

m \times n

矩阵，

B

为

n \times s

矩阵，则下列恒成立的是（　）

A $r (A B) = min {r (A), r (B)}$
B $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$
C $r (A B) \geq max {r (A), r (B)}$
D $r (A B) = r (A) + r (B)$

练习 4 · 填空题

设

A = t 11 1 t 1 11 t

，当

t =

____ 时

r (A) = 1

。

练习 5 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶方阵，且

A B = O

，则（　）

A $r (A) + r (B) \leq n$
B $r (A) + r (B) \geq n$
C $A = O$ 或 $B = O$
D $r (A) = r (B)$

练习 6 · 选择题

设

A

为

4 \times 3

矩阵且

r (A) = 2

，

B = 10 - 1 020203

，则

r (A B) =

（　　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

练习 7 · 填空题

设

A

为

n

阶矩阵，且

A^{2} = A

，则

r (A) + r (A - E) =

____（

E

为

n

阶单位矩阵）

练习 8 · 解答题

设

A

为

n

阶矩阵，且

A^{2} = E

（

E

为

n

阶单位矩阵）。

(1) 证明

r (A + E) + r (A - E) = n

；

(2) 对

A = 100001010

，验证

A^{2} = E

，并求出

r (A + E)

与

r (A - E)

；

(3) 证明：

r (A + E) = n

的充分必要条件是

A = E

。

2018 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，记

r (X)

为矩阵

X

的秩，

(X, Y)

表示分块矩阵，则（　　）

A $r (A, A B) = r (A)$
B $r (A, B A) = r (A)$
C $r (A, B) = max {r (A), r (B)}$
D $r (A, B) = r (A^{T}, B^{T})$

2018 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

已知

a

是常数，且矩阵

A = 112237 a 0 - a

可经初等列变换化为矩阵

B = 10 - 1 a 11 211

。

（

I

）求

a

；

（

II

）求满足

A P = B

的可逆矩阵

P

。

矩阵的秩

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 行秩 = 列秩的证明：初等变换同时保持行秩与列秩★ 要懂

2. 两条最常用的秩不等式：r(AB)≤min{r(A),r(B)} 与 AB=O⇒r(A)+r(B)≤n★★ 必会

3. 加法与减法的秩不等式：∣r(A)−r(B)∣≤r(A±B)≤r(A)+r(B)★★ 必会

4. 秩 1 矩阵的完全刻画：r(A)=1⟺A=αβT，且 A2=(trA)A★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 行秩 $=$ 列秩的证明：初等变换同时保持行秩与列秩★ 要懂

2. 两条最常用的秩不等式： $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ 与 $A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$ ★★ 必会

3. 加法与减法的秩不等式： $∣ r (A) - r (B) ∣ \leq r (A \pm B) \leq r (A) + r (B)$ ★★ 必会

4. 秩 $1$ 矩阵的完全刻画： $r (A) = 1 ⟺ A = α β^{T}$ ，且 $A^{2} = (tr A) A$ ★★ 必会