向量的线性组合与线性表示

§10.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.47 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

3.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算矩阵的秩③ 掌握后可解锁向量组的线性相关性非齐次线性方程组解的结构

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 基本判据 $r (A) = r (A, β)$ ：把能否表示化归为方程组是否相容，三种情形分别定出解的个数★★ 必会

判断

β

能否由

α_{1}, \dots, α_{s}

线性表示，总是先按列排成

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

，再把系数矩阵的秩

r (A)

与增广矩阵的秩

r (A, β)

加以比较。共有三种情形：

r (A) < r (A, β)

时方程组无解，故不能表示；

r (A) = r (A, β) = s

时有唯一解，表示法唯一；

r (A) = r (A, β) < s

时有无穷多解，可以表示但不唯一。必须注意，判定分两步：先看两个秩是否相等，相等以后还要把这个公共的秩与向量的个数 $s$ 再比较一次。只判断能否表示而漏掉第二步，就说不出表示是否唯一。

证明 / 推导

把

β = x_{1} α_{1} + \dots + x_{s} α_{s}

按分量展开，第

i

个分量给出一个方程，其系数矩阵恰好是

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

，右端是

β

。因此

β

可以表示

⟺

A x = β

相容。由线性方程组的理论，相容

⟺ r (A) = r (A, β)

；相容时，自由未知量的个数

= s - r (A)

，它为

0

时有唯一解，

> 0

时有无穷多解。上述三种情形即由此而来。

■

举例说明

（数三 1991） 设

α_{1} = (1 + λ, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, λ + 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 1, λ + 1)^{T}, β = (0, λ, λ^{2})^{T}

，问

λ

取何值时

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

唯一表示、可表示但不唯一、不能表示。解：按列排成

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，算得

∣ A ∣ = λ^{2} (λ + 3)

。① 当

λ \neq = 0

且

λ \neq = - 3

时，

∣ A ∣ \neq = 0

，

r (A) = r (A, β) = 3

，故唯一表示；② 当

λ = 0

时，三列全为

(1, 1, 1)^{T}

，且

β = 0

，

r (A) = r (A, β) = 1 < 3

，故可表示但不唯一；③ 当

λ = - 3

时，

r (A) = 2 < 3 = r (A, β)

，故不能表示。这一道试题把上述三种情形一次考全。

2. 表示是否唯一取决于线性无关性：表示唯一 $⟺$ 参与表示的向量组线性无关★ 要懂

设

β

能由

α_{1}, \dots, α_{s}

表示。表示法是否唯一，只取决于 $α$ 这一组向量本身：如果它们线性无关，那么凡能表示的

β

，其表示法都唯一；如果它们线性相关，即其中含有多余的向量，那么只要

β

能表示，就必有无穷多种表示法，因为可以在一种表示上添加一个系数不全为零的零组合。由此可见，线性表示与下一节的线性相关性是紧密相连的。

证明 / 推导

设

β

有两个表示

β = \sum k_{i} α_{i} = \sum k_{i}^{'} α_{i}

，两式相减，得

\sum (k_{i} - k_{i}^{'}) α_{i} = 0

。
如果

α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关，那么只能

k_{i} - k_{i}^{'} = 0

，即

k_{i} = k_{i}^{'}

，故表示唯一。
反之，如果

α

这一组线性相关，那么存在不全为零的

c_{i}

使

\sum c_{i} α_{i} = 0

。把它加到任何一种表示上，得

β = \sum (k_{i} + c_{i}) α_{i}

，系数已经改变而等式仍然成立，可见表示不唯一。

■

举例说明

（数三 1999） 设

β

可由

α_{1}, \dots, α_{m}

表示，但不能由

(I) : α_{1}, \dots, α_{m - 1}

表示，记

(II) : α_{1}, \dots, α_{m - 1}, β

，则（　　）

(A)

α_{m}

不能由

(I)

线性表示，也不能由

(II)

线性表示.
(B)

α_{m}

不能由

(I)

线性表示，但可由

(II)

线性表示.
(C)

α_{m}

可由

(I)

线性表示，也可由

(II)

线性表示.
(D)

α_{m}

可由

(I)

线性表示，但不可由

(II)

线性表示.

解：设

β = k_{1} α_{1} + \dots + k_{m} α_{m}

。若

k_{m} = 0

，那么

β

只用前

m - 1

个向量就能表示，与已知矛盾，故

k_{m} \neq = 0

。移项，得

α_{m} = \frac{1}{k _{m}} β - \sum_{i < m} \frac{k _{i}}{k _{m}} α_{i}

，即

α_{m}

可由 $(II)$ 表示。又若

α_{m}

能由

(I)

表示，则

β

也能，同样矛盾，故

α_{m}

不能由 $(I)$ 表示（选 B）。可见能否表示，取决于其中某个系数是否为零。

3. 以少表多必线性相关：一个用秩的不等式证明的常用结论

如果向量组

(I) : β_{1}, \dots, β_{t}

可由

(II) : α_{1}, \dots, α_{s}

线性表示，那么

r (I) \leq r (II)

。推论（常考）：若还有

t > s

，即被表示的向量个数多于用来表示的向量个数，那么

(I)

必线性相关。也就是说，用较少的向量去表示较多的向量时，被表示的那一组一定线性相关。这一结论在判定相关性和证明有关命题时经常用到。

证明 / 推导

(I)

可由

(II)

表示，就是说存在矩阵

C_{s \times t}

使

(β_{1}, \dots, β_{t}) = (α_{1}, \dots, α_{s}) C

。两边取秩，得

r (I) = r ((α_{1}, \dots, α_{s}) C) \leq r (α_{1}, \dots, α_{s}) = r (II)

，这里用到乘积的秩不超过任一因子的秩。
若

t > s

，则

r (I) \leq r (II) \leq s < t

，即

(I)

的秩小于它所含向量的个数

t

，因此

(I)

线性相关。

■

举例说明

【例】 任取

R^{2}

中的三个向量

β_{1}, β_{2}, β_{3}

，它们都能由基本向量

α_{1} = (1, 0)^{T}, α_{2} = (0, 1)^{T}

表示，而后者只有

2

个，又

3 > 2

，所以

β_{1}, β_{2}, β_{3}

必线性相关。

s

个

n

维向量当

s > n

时必线性相关，其根据就在于此。

4. 向量组等价不同于矩阵等价：等价 $\Rightarrow$ 秩相等，但秩相等不一定等价★ 要懂

向量组等价是指两组向量可以相互线性表示；矩阵等价是指存在可逆矩阵

P, Q

使

P A Q = B

，其充要条件是两个矩阵同型且秩相等。两个名称相近而判据不同，试题常在此处考查概念的辨析。有两条结论必须分清：向量组等价

\Rightarrow

两组的秩相等，因为二者可以相互表示，秩相互

\leq

；但秩相等未必等价，这样的反例很容易举出。

证明 / 推导

设向量组

(I), (II)

等价。因为

(I)

可由

(II)

表示

\Rightarrow r (I) \leq r (II)

，又因为

(II)

可由

(I)

表示

\Rightarrow r (II) \leq r (I)

。两式合起来即得

r (I) = r (II)

。

■

举例说明

（数三 2013） 设

A, B, C

均为

n

阶矩阵，

A B = C

且

B

可逆，则（　）(A)

C

的行向量组与

A

的行向量组等价；(B)

C

的列向量组与

A

的列向量组等价；(C)

C

的行向量组与

B

的行向量组等价；(D)

C

的列向量组与

B

的列向量组等价。解：记

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

。由

A B = C

知

C

的每一列

γ_{j} = \sum_{i} b_{ij} α_{i}

都是

A

的各列的线性组合，故

C

的列可由

A

的列表示；又

B

可逆，

A = C B^{- 1}

，故

A

的列也可由

C

的列表示。两组能相互表示，即列向量组等价，选 B。注意判据是能否相互表示，它与矩阵等价

P A Q = B

是两回事。

💡 小知识

线性表示这个词，是线性代数这门课名称的由来：整门课研究的，就是数乘与相加这一种运算到底能生成什么。RGB 三原色配色、把声音按频率分解、量子态的叠加，做的都是同一件事，即用一组向量把目标线性表示出来。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

β = (2, 3, 5)^{T}

。判断

β

能否由

α_{1}, α_{2}

线性表示；若能，写出表示式。难度 1

设

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} = β

，按分量写开：

x_{1} (1, 0, 1)^{T} + x_{2} (0, 1, 1)^{T} = (x_{1}, x_{2}, x_{1} + x_{2})^{T} = (2, 3, 5)^{T} .

由前两个分量直接读出

x_{1} = 2, x_{2} = 3

；代入第三分量检验

x_{1} + x_{2} = 2 + 3 = 5

，恰好吻合，方程组相容。故

β

可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，且

β = 2 α_{1} + 3 α_{2} .

（验证：

2 (1, 0, 1)^{T} + 3 (0, 1, 1)^{T} = (2, 3, 5)^{T} = β

。）

■

例 2 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 4)^{T}

，

α_{3} = (1, 3, 9)^{T}

，

β = (2, 0, - 4)^{T}

。判断

β

能否由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示；若能，求表示式。难度 1

把向量按列拼成增广矩阵

(α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣ β)

，作初等行变换：

111124139 20 - 4 r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100113128 2 - 2 - 6 r_{3} - 3 r_{2} 100110122 2 - 2 0 .

r (A) = r (A, β) = 3 =

向量个数，方程组有唯一解。回代：末行

2 x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = 0

；中行

x_{2} + 2 x_{3} = - 2 \Rightarrow x_{2} = - 2

；首行

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 \Rightarrow x_{1} = 4

。故

β = 4 α_{1} - 2 α_{2} + 0 \cdot α_{3} = 4 α_{1} - 2 α_{2} .

（验证：

4 (1, 1, 1)^{T} - 2 (1, 2, 4)^{T} = (2, 0, - 4)^{T} = β

。）

■

例 3 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

，

β = (3, 5, 7)^{T}

。讨论

β

能否由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，表示是否唯一。难度 2

对增广矩阵

(α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣ β)

作初等行变换化到行最简形：

111123135357 r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100112124324 r_{3} - 2 r_{2} r_{1} - r_{2} 100010 - 1 20 120 .

于是

r (A) = r (A, β) = 2

，方程组相容，故

β

可被表示；但

r = 2 < 3 =

向量个数，有一个自由未知量，表示不唯一。令

x_{3} = t

，由行最简形得

x_{1} = 1 + t, x_{2} = 2 - 2 t

，即

β = (1 + t) α_{1} + (2 - 2 t) α_{2} + t α_{3} (t \in R) .

取

t = 0

得最简单的一个：

β = α_{1} + 2 α_{2}

。（验证：

(1, 1, 1)^{T} + 2 (1, 2, 3)^{T} = (3, 5, 7)^{T} = β

。）
要点：

r (A) = r (A, β)

保证「能表示」；是否唯一，看这个公共秩与向量个数是否相等。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　　）。

A $k 334, k \in R$
B $k 3510, k \in R$
C $k - 1 12, k \in R$
D $k 158, k \in R$

2019 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

已知向量组 I：

α_{1} = 114, α_{2} = 104, α_{3} = 12 a^{2} + 3

与 II：

β_{1} = 11 a + 3, β_{2} = 02 1 - a, β_{3} = 13 a^{2} + 3

. 若向量组 I 与 II 等价，求

a

的取值，并将

β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示.

2013 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B, C

均为

n

阶矩阵，若

A B = C

，且

B

可逆，则（　　）

A矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价.
B矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价.
C矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价.
D矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为

3

个三维向量，已知

r (A) = r (A, β) = 3

，则

β

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示的情况是（　）。

A可唯一表示
B有无穷多种表示
C不能表示
D无法确定

练习 2 · 填空题

设

α_{1} = (1, 2, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 3, 2)^{T}

，

β = (2, 5, a)^{T}

。若

β

能由

α_{1}, α_{2}

线性表示，则

a =

____。

练习 3 · 选择题

设

α_{1} = (1, - 1, 2)^{T}

，

α_{2} = (2, - 2, 4)^{T}

，

β = (1, 0, 1)^{T}

，则

β

由

α_{1}, α_{2}

表示的情况是（　）。

A可唯一表示
B有无穷多种表示
C不能表示
D无法确定

练习 4 · 填空题

设三维向量

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表示法唯一，则秩

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) =

____。

练习 5 · 填空题

设

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{2} = (2, 3, 4)^{T}

，

α_{3} = (3, 4, a)^{T}

，

β = (1, 1, 1)^{T}

。若

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

唯一地线性表示，则

a

的取值范围是 ____。

练习 6 · 填空题

设

α_{1} = (1, 0, 2)^{T}

，

α_{2} = (2, 1, 3)^{T}

，

α_{3} = (0, 1, - 1)^{T}

，

β = (1, 1, b)^{T}

。若

β

能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，则

b =

____。

练习 7 · 解答题

设

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (1, 1, 0)^{T}, α_{3} = (0, 1, - 1)^{T},

β_{1} = (1, 2, - 1)^{T}, β_{2} = (2, 1, a)^{T} .

(1) 求

r (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，并写出

α_{1}, α_{2}, α_{3}

之间的一个线性关系式；

(2) 证明

β_{1}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，并求出全部表示式；

(3) 求

a

，使

β_{2}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示；并在此

a

下判断向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

与

β_{1}, β_{2}

是否等价，说明理由。

2011 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设向量组

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

不能由向量组

β_{1} = (1, 1, 1)^{T}, β_{2} = (1, 2, 3)^{T}, β_{3} = (3, 4, a)^{T}

线性表示．（I）求

a

的值；（II）将

β_{1}, β_{2}, β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示．

2000 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 8 分

设向量组

α_{1} = (a, 2, 10)^{T}, α_{2} = (- 2, 1, 5)^{T}, α_{3} = (- 1, 1, 4)^{T}, β = (1, b, c)^{T}

. 试问：当

a, b, c

满足什么条件时，

（1）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表示唯一？

（2）

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示？

（3）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.

1999 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 3 分

设向量

β

可由向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性表示，但不能由向量组

(I) : α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}

线性表示，记向量组

(II) : α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}, β

，则（　　）

A $α_{m}$ 不能由 $(I)$ 线性表示，也不能由 $(II)$ 线性表示.
B $α_{m}$ 不能由 $(I)$ 线性表示，但可由 $(II)$ 线性表示.
C $α_{m}$ 可由 $(I)$ 线性表示，也可由 $(II)$ 线性表示.
D $α_{m}$ 可由 $(I)$ 线性表示，但不可由 $(II)$ 线性表示.

向量的线性组合与线性表示

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 基本判据 r(A)=r(A,β)：把能否表示化归为方程组是否相容，三种情形分别定出解的个数★★ 必会

2. 表示是否唯一取决于线性无关性：表示唯一 ⟺ 参与表示的向量组线性无关★ 要懂

3. 以少表多必线性相关：一个用秩的不等式证明的常用结论

4. 向量组等价不同于矩阵等价：等价 ⇒ 秩相等，但秩相等不一定等价★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 基本判据 $r (A) = r (A, β)$ ：把能否表示化归为方程组是否相容，三种情形分别定出解的个数★★ 必会

2. 表示是否唯一取决于线性无关性：表示唯一 $⟺$ 参与表示的向量组线性无关★ 要懂

4. 向量组等价不同于矩阵等价：等价 $\Rightarrow$ 秩相等，但秩相等不一定等价★ 要懂