向量组的线性相关性

§10.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.37 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

5.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）向量的线性组合与线性表示矩阵的秩③ 掌握后可解锁高阶线性微分方程解的结构向量组的秩与极大线性无关组施密特正交化与正交矩阵齐次线性方程组与基础解系矩阵的对角化

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 判定的统一方法：把线性相关性化为齐次方程组 $A x = 0$ ，再比较 $r (A)$ 与向量个数 $s$ ★★ 必会

不论向量有几个、是几维，判定线性相关性都归结为同一件事：把它们按列拼成矩阵

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

，再考察

A x = 0

。相关 $⟺ A x = 0$ 有非零解 $⟺ r (A) < s$ ；无关 $⟺$ 只有零解 $⟺ r (A) = s$ 。 当它是方阵，即

s = n

时，条件化为

∣ A ∣ = 0

时相关，

∣ A ∣ \neq = 0

时无关，这样计算最为简便。如果题中带有参数，就把参数保留在矩阵中，用行列式或化为行阶梯形，定出相关与无关的分界。

证明 / 推导

k_{1} α_{1} + \dots + k_{s} α_{s} = 0

即

A x = 0

（

x = (k_{1}, \dots, k_{s})^{T}

）。存在非零

x

⟺

向量组相关。齐次方程组有非零解

⟺

未知量个数

s

大于秩，即

r (A) < s

；只有零解

⟺ r (A) = s

。当它是方阵时，

A x = 0

有非零解

⟺ ∣ A ∣ = 0

。

■

举例说明

（数三 1989） 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, 2, 3)^{T}, α_{3} = (1, 3, t)^{T}

。

t

取何值时该向量组线性相关？相关时把

α_{3}

用

α_{1}, α_{2}

表示出来。解：这是方阵的情形，

∣ A ∣ = 111123 13 t = t - 5

。

t = 5

时

∣ A ∣ = 0

，向量组相关；当

t \neq = 5

时无关。当

t = 5

时，解方程

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} = α_{3}

得

x_{1} = - 1, x_{2} = 2

，故

α_{3} = - α_{1} + 2 α_{2}

。只算一个行列式，就求出了使向量组相关的参数值。

2. 向量个数多于维数时必线性相关： $s$ 个 $n$ 维向量，只要 $s > n$ 就一定线性相关

这是最简便的判据之一：向量的个数超过它们的分量个数时，必线性相关，不必计算。例如遇到

4

个三维向量，或

n + 1

个

n

维向量，就可以直接断定它们线性相关。反过来，当

s \leq n

时不能直接判定，必须计算秩。

证明 / 推导

s

个

n

维向量拼成

n \times s

矩阵

A

，秩不超过行数与列数中的较小者，故

r (A) \leq n

。如果

s > n

，那么

r (A) \leq n < s

，由判据

r (A) < s

知它们线性相关。直观地说，未知量的个数

s

超过了方程所能给出的约束个数

n

，齐次方程组

A x = 0

必有非零解。

■

举例说明

【例】

α_{1} = (1, 2)^{T}, α_{2} = (3, 1)^{T}, α_{3} = (5, 4)^{T}

是

3

个二维向量，

3 > 2

，不必计算就知道它们线性相关。（它们的一个线性关系是

7 α_{1} + 6 α_{2} - 5 α_{3} = 0

。）

3. 部分与整体、接长与截短：四条只能单向使用的推论★★ 必会

(1) 部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关；整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关，反过来都不成立。(2) 无关组接长，即给每个向量添加分量以后仍然无关；相关组截短，即给每个向量去掉分量以后仍然相关。 这四条结论都只能单向使用，选择题常在反向上设问，必须按正确的方向使用。

证明 / 推导

部分与整体：设部分组线性相关，即它有一个系数不全为零的线性关系，把整体中其余向量的系数补上

0

，就得到整体的一个系数不全为零的关系，故整体相关；取它的逆否命题，即得整体无关

\Rightarrow

部分无关。
接长与截短：把无关组按列拼成

A

，则它列满秩，即

r (A) = s

；给每个向量添加分量，相当于给

A

增加行，得到

\tilde{A}

，秩不会减小，即

r (\tilde{A}) \geq r (A) = s

，而列数仍为

s

，故

= s

，仍然无关。取它的逆否命题，并注意去掉行时秩不会增大，即得相关组截短以后仍然相关。

■

举例说明

【例】

(1, 1)^{T}, (1, 2)^{T}

线性无关，接长为

(1, 1, 5)^{T}, (1, 2, 9)^{T}

后仍然无关。反过来，截短后相关推不出原来相关。例如

(1, 1, 0)^{T}, (2, 2, 7)^{T}

去掉第三个分量得

(1, 1)^{T}, (2, 2)^{T}

，二者成比例因而线性相关；但原来的两个向量是线性无关的，因为若

(2, 2, 7)^{T} = k (1, 1, 0)^{T}

，由前两个分量得

k = 2

，第三个分量却给出

7 = 0

，矛盾。可见只有相关组截短后仍相关这一个方向成立。

4. 线性相关只说明其中至少有一个向量可由其余表示，并非每个向量都能被表示★ 要懂

线性相关的准确含义是：存在一组不全为零的系数，使相应的线性组合等于零；与此等价的说法是，其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示，而不是每一个向量都可以由其余向量表示。选择题常在此处设问。要判断某个指定的向量能否由其余向量表示，仍须单独解方程，不能由整个向量组线性相关直接断定。

证明 / 推导

设向量组线性相关，即有不全为零的

k_{i}

使

\sum k_{j} α_{j} = 0

。只有在某个

k_{i} \neq = 0

时，才能移项得

α_{i} = - \frac{1}{k _{i}} \sum_{j \neq = i} k_{j} α_{j}

。如果某个

α_{m}

对应的系数

k_{m}

恰为

0

，那么由这个关系式并不能把

α_{m}

解出来，因此不能断定

α_{m}

可以由其余向量表示。

■

举例说明

（数三 2003） 设

α_{1}, \dots, α_{s}

为

n

维向量，下列结论不正确的是（　）(A) 如果对任意一组不全为零的

k_{i}

都有

\sum k_{i} α_{i} \neq = 0

，那么向量组线性无关；(B) 如果向量组线性相关，那么对任意一组不全为零的

k_{i}

都有

\sum k_{i} α_{i} = 0

；(C) 线性无关

⟺

向量组的秩为

s

；(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。解：线性相关只是说存在一组不全为零的

k_{i}

使线性组合等于

0

，并不是说对任意的

k_{i}

都成立。(B) 把存在误作任意，所以不正确，应选 (B)；(A)、(C)、(D) 都是线性相关与线性无关的正确刻画。由此也可以看出，线性相关

\neq =

任意的线性组合都等于零，更

\neq =

每个向量都能由其余向量表示。

5. 常见题型：已知一组向量线性无关，判断它们的线性组合的相关性，归结为系数矩阵的秩或行列式

设

α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关，

β_{1}, \dots, β_{t}

都是它们的线性组合，记为

(β_{1}, \dots, β_{t}) = (α_{1}, \dots, α_{s}) C

。那么 $β$ 组的相关性完全由系数矩阵 $C$ 决定：

r (β_{1}, \dots, β_{t}) = r (C)

。当它是方阵时，

β

组无关

⟺ ∣ C ∣ \neq = 0

。这类题目不必回到具体的分量，只要考察

C

即可，它是解答题中常见的题型。

证明 / 推导

设

\sum_{j} x_{j} β_{j} = 0

，即

(α_{1}, \dots, α_{s}) C x = 0

，其中

x = (x_{1}, \dots, x_{t})^{T}

。由于

α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关，

(α_{1}, \dots, α_{s}) y = 0

成立当且仅当

y = 0

，故必有

C x = 0

。于是

β

组存在系数不全为零的线性关系

⟺

C x = 0

有非零解，即

β

组相关

⟺ r (C) < t

。

■

举例说明

（数三 2007） 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，下列向量组线性相关的是（　）(A)

α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}

；(B)

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

；(C)

α_{1} - 2 α_{2}, α_{2} - 2 α_{3}, α_{3} - 2 α_{1}

；(D)

α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} + 2 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1}

。解：新的向量组可以写成

= (α_{1}, α_{2}, α_{3}) C

，由于

α_{i}

线性无关，新向量组线性相关

⟺ ∣ C ∣ = 0

。四个选项中的

∣ C ∣

依次为

0, 2, - 7, 9

（选项 (A) 中三个向量之和恰好等于

0

，可以直接看出），所以 (A) 中的向量组线性相关，应选 (A)。只要考察系数矩阵

C

，就不必回到具体的分量。

💡 小知识

线性相关其实就是信息冗余的数学说法。数据压缩和主成分分析（PCA）做的是同一件事：找出并丢掉线性相关的、也就是冗余的方向，只保留一组线性无关的主方向，用尽量少的数字记录尽量多的信息。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断向量组

α_{1} = (2, - 1, 3)^{T}

，

α_{2} = (- 4, 2, - 6)^{T}

的线性相关性；若相关，写出一个线性关系式。难度 1

只有两个向量，判相关性即看它们是否成比例。逐分量比较：

- 4 = (- 2) \cdot 2, 2 = (- 2) \cdot (- 1), - 6 = (- 2) \cdot 3

，即

α_{2} = - 2 α_{1}

。存在不全为零的系数使组合为零，故

α_{1}, α_{2}

线性相关，关系式为

2 α_{1} + α_{2} = 0.

（验证：

2 (2, - 1, 3)^{T} + (- 4, 2, - 6)^{T} = (0, 0, 0)^{T}

。）

■

例 2 判断

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

α_{3} = (1, 1, 3)^{T}

的线性相关性。难度 1

3

个三维向量，是方阵情形，用行列式速判。按列拼成

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

∣ A ∣ = 101011113 = 1 \cdot 1113 - 0 + 1 \cdot 0111 = 1 \cdot (3 - 1) + 1 \cdot (0 - 1) = 2 - 1 = 1.

∣ A ∣ = 1 \neq = 0

，故

A x = 0

只有零解，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关。

■

例 3 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{3} = (1, 4, t)^{T}

。

t

取何值时向量组线性相关？此时写出一个线性关系式。难度 2

方阵情形，令行列式为零。按列拼

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

：

∣ A ∣ = 111123 14 t = 1 \cdot (2 t - 12) - 1 \cdot (t - 4) + 1 \cdot (3 - 2) = 2 t - 12 - t + 4 + 1 = t - 7.

∣ A ∣ = t - 7 = 0 ⟺ t = 7

。故 $t = 7$ 时线性相关（

t \neq = 7

时线性无关）。
当

t = 7

，

α_{3} = (1, 4, 7)^{T}

，设

α_{3} = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2}

：

x_{1} + x_{2} = 1, x_{1} + 2 x_{2} = 4

，解得

x_{1} = - 2, x_{2} = 3

，故

α_{3} = - 2 α_{1} + 3 α_{2}, 即 2 α_{1} - 3 α_{2} + α_{3} = 0.

（验证：

- 2 (1, 1, 1)^{T} + 3 (1, 2, 3)^{T} = (1, 4, 7)^{T} = α_{3}

。）

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　　）。

A $k 334, k \in R$
B $k 3510, k \in R$
C $k - 1 12, k \in R$
D $k 158, k \in R$

2020 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设

A

为 2 阶矩阵，

P = (α, A α)

，其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向量.（Ⅰ）证明

P

为可逆矩阵；（Ⅱ）若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

，求

P^{- 1} A P

，并判断

A

是否相似于对角矩阵.

2019 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

已知向量组 I：

α_{1} = 114, α_{2} = 104, α_{3} = 12 a^{2} + 3

与 II：

β_{1} = 11 a + 3, β_{2} = 02 1 - a, β_{3} = 13 a^{2} + 3

. 若向量组 I 与 II 等价，求

a

的取值，并将

β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示.

2014 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

均为

3

维向量，则对任意常数

k, l

，向量组

α_{1} + k α_{3}, α_{2} + l α_{3}

线性无关是向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关的（　　）

A必要非充分条件
B充分非必要条件
C充分必要条件
D既非充分也非必要条件

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

是

n

维向量组。若

s > n

，则该向量组（　）。

A必线性无关
B必线性相关
C可能相关也可能无关
D无法判断

练习 2 · 填空题

设

α_{1} = (1, 2)^{T}

，

α_{2} = (3, t)^{T}

线性相关，则

t =

____。

练习 3 · 选择题

设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，则下列结论一定成立的是（　）。

A其中每一个向量都可由其余两个线性表示
B其中至少有一个向量可由其余两个线性表示
C $α_{1}$ 一定可由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表示
D必有两个向量成比例

练习 4 · 填空题

设

α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

，

α_{2} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{3} = (0, 1, a)^{T}

线性相关，则

a =

____。

练习 5 · 选择题

设

A

为

m \times n

矩阵，

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

为

n

维列向量。下列命题中恒成立的是（　　）

A若 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性相关，则 $A α_{1}, \dots, A α_{s}$ 线性相关
B若 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性无关，则 $A α_{1}, \dots, A α_{s}$ 线性无关
C若 $A α_{1}, \dots, A α_{s}$ 线性相关，则 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性相关
D若 $A α_{1}, \dots, A α_{s}$ 线性无关，则 $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性相关

练习 6 · 填空题

设

α_{1} = (1, 1, 0, 0)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1, 0)^{T}

，

α_{3} = (0, 0, 1, 1)^{T}

，

α_{4} = (k, 0, 0, 1)^{T}

线性相关，则

k =

____

练习 7 · 解答题

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，令

β_{1} = α_{1} + α_{2}, β_{2} = α_{2} + t α_{3}, β_{3} = α_{3} + 2 α_{1} .

(1) 求

t

的值，使

β_{1}, β_{2}, β_{3}

线性相关；

(2) 在该

t

下写出

β_{1}, β_{2}, β_{3}

的一个非零线性关系式，并求向量组

β_{1}, β_{2}, β_{3}

的秩；

(3) 在该

t

下，把

β_{3}

用

β_{1}, β_{2}

线性表示。

2012 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

α_{1} = 00 c_{1}, α_{2} = 01 c_{2}, α_{3} = 1 - 1 c_{3}, α_{4} = - 1 1 c_{4}

，其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

为任意常数，则下列向量组线性相关的为（　　）。

A $α_{1}, α_{2}, α_{3}$
B $α_{1}, α_{2}, α_{4}$
C $α_{1}, α_{3}, α_{4}$
D $α_{2}, α_{3}, α_{4}$

2011 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设向量组

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

不能由向量组

β_{1} = (1, 1, 1)^{T}, β_{2} = (1, 2, 3)^{T}, β_{3} = (3, 4, a)^{T}

线性表示．（I）求

a

的值；（II）将

β_{1}, β_{2}, β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示．

向量组的线性相关性

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 判定的统一方法：把线性相关性化为齐次方程组 Ax=0，再比较 r(A) 与向量个数 s★★ 必会

2. 向量个数多于维数时必线性相关：s 个 n 维向量，只要 s>n 就一定线性相关

3. 部分与整体、接长与截短：四条只能单向使用的推论★★ 必会

4. 线性相关只说明其中至少有一个向量可由其余表示，并非每个向量都能被表示★ 要懂

5. 常见题型：已知一组向量线性无关，判断它们的线性组合的相关性，归结为系数矩阵的秩或行列式

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 判定的统一方法：把线性相关性化为齐次方程组 $A x = 0$ ，再比较 $r (A)$ 与向量个数 $s$ ★★ 必会

2. 向量个数多于维数时必线性相关： $s$ 个 $n$ 维向量，只要 $s > n$ 就一定线性相关