齐次线性方程组与基础解系

§11.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.61 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

4.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的秩向量组的秩与极大线性无关组向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁非齐次线性方程组解的结构线性方程组解的判定特征值与特征向量的概念与计算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 方程个数少于未知数（m<n）时，Ax=0 必有非零解，由此可直接判定解的存在性

有一条最便于使用的判据：对

m \times n

的齐次线性方程组，只要方程个数 $m <$ 未知数个数 $n$ ，就可以断定它有非零解，而不必解出来。这是因为秩受行数的限制：

r (A) \leq min (m, n) \leq m < n

，于是

r (A) < n

，由基本判据即知有非零解。这条判据的用处在于把求解问题化为清点方程与未知数的个数，因此常用来证明向量组线性相关，或说明某个映射有非平凡的核。反过来必须注意：当

m \geq n

时不能作出任何结论，仍须比较

r (A)

与

n

的实际大小。

证明 / 推导

设

A

为

m \times n

矩阵。矩阵的秩既不超过它的行数，也不超过它的列数，即

r (A) \leq min (m, n)

。当

m < n

时

min (m, n) = m

，故

r (A) \leq m < n

，即

r (A) < n

。而

n

元齐次方程组

A x = 0

有非零解

⟺ r (A) < n

，这一条件已经满足，所以必有非零解，且基础解系含

n - r (A) \geq n - m \geq 1

个向量。

■

举例说明

真题（2002 数三·选择） 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，则齐次方程组

(A B) x = 0

（　）。（A）

n > m

时仅有零解；（B）

n > m

时必有非零解；（C）

m > n

时仅有零解；（D）

m > n

时必有非零解。

因

A B

是

m

阶方阵，故

(A B) x = 0

有

m

个未知数。由于乘积的秩不超过任一因子的秩，有

r (A B) \leq r (A) \leq min (m, n)

。当

m > n

时

min (m, n) = n

，故

r (A B) \leq n < m =

未知数的个数，即

r (A B) < m

，由基本判据知

(A B) x = 0

必有非零解；而当

n > m

时只有

r (A B) \leq m

，未必

< m

，因而不能作出判断。这与本节的结论一致：秩受行数或列数的限制

\Rightarrow

方程组有非零解。故选 D。

■

2. 基础解系的个数恒为 n−r，向量却不唯一：任意两组基础解系等价★★ 必会

初学者常常怀疑：自己求出的基础解系与答案不同，是不是做错了？其实基础解系并不唯一，因为自由变量可以取任何一组线性无关的赋值。但有两点是确定的：(1) 所含向量的个数恒为 $n - r (A)$ ，它是解空间的维数，与取法无关；(2) 任意两组基础解系都等价，即可以互相线性表示，且秩都等于

n - r

。因此，判定一组解是不是基础解系，只需检验两点：个数正确（ $= n - r$ ）且线性无关，不必与标准答案逐个核对。

证明 / 推导

设

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

与

η_{1}, \dots, η_{n - r}

都是

A x = 0

的基础解系。由基础解系的定义，

A x = 0

的任一解都能由

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

线性表示；而每个

η_{j}

都是解，故

η_{j}

可由

ξ

组表示。同样地，每个

ξ_{i}

也可由

η

组表示。因此这两组向量可以互相线性表示，即二者等价；等价的向量组秩相等，都等于

n - r

。又所含向量的个数

n - r

就是解空间的维数，解空间的任何一组基都恰有这么多向量，所以个数与取法无关。

■

举例说明

真题（2004 数三·选择） 设

n

阶矩阵

A

的伴随矩阵

A^{*} \neq = O

。若非齐次组

A x = b

有互不相等的解

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}, ξ_{4}

，则导出组

A x = 0

的基础解系（　）。（A）不存在；（B）仅含一个非零解向量；（C）含两个线性无关解向量；（D）含三个线性无关解向量。

解题的关键是由 $n - r (A)$ 确定基础解系所含向量的个数，为此要从两个方向把

r (A)

限定住。一方面，

A^{*} \neq = O

说明

A

有非零的

n - 1

阶子式，故

r (A) \geq n - 1

；另一方面，

A x = b

有两个以上互不相同的解，故导出组

A x = 0

有非零解，从而

r (A) < n

。两者合起来得

r (A) = n - 1

，于是基础解系恰含

n - r (A) = 1

个向量；这个个数由秩唯一确定，与如何选取无关。故选 B。

■

3. 三个等价的说法：Ax=0 有非零解 ⟺ r(A)<n ⟺ A 的列向量线性相关★ 要懂

这三句话说的是同一件事，解题时可以随时互相转换。把

A

按列写成

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

，则

A x = x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n}

。于是

A x = 0

有非零解，就是说存在不全为零的

x_{i}

使

\sum x_{i} α_{i} = 0

，这正是列向量线性相关的定义；而它又等价于

r (A) < n

。若系数矩阵为方阵，还可再添一句：

r (A) < n ⟺ ∣ A ∣ = 0

。掌握了这一串等价关系，就能在方程组、向量的相关性、矩阵的可逆性这三种说法之间自由转换。

证明 / 推导

记

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

，

x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}

，则由矩阵乘法得

A x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} α_{i}

。

（

A x = 0

有非零解

⟺

列向量线性相关）：有非零解就是存在非零的

x

使

\sum x_{i} α_{i} = 0

，这恰好是

α_{1}, \dots, α_{n}

线性相关的定义；反之亦然。

（

⟺ r (A) < n

）：这是

n

元齐次方程组的基本判据。

A

的列秩

= r (A)

，而这

n

个列向量线性相关

⟺

它们的秩

< n ⟺ r (A) < n

。

当系数矩阵为方阵（

m = n

）时，

r (A) < n ⟺ A

不可逆

⟺ ∣ A ∣ = 0

。因此这几个命题彼此等价。

■

举例说明

【例】 判断

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}, α_{2} = (2, 3, 4)^{T}, α_{3} = (3, 4, 5)^{T}

是否线性相关。

以它们为列作

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，经行变换知

r (A) = 2 < 3

。于是

A x = 0

有非零解、列向量线性相关、

∣ A ∣ = 0

这三句话同时成立，故该向量组线性相关。事实上

α_{1} - 2 α_{2} + α_{3} = (1 - 4 + 3, 2 - 6 + 4, 3 - 8 + 5)^{T} = 0

，这一相关关系就是由

A x = 0

的非零解

x = (1, - 2, 1)^{T}

给出的。

■

4. 含参数齐次方程组：参数改变 r(A)，从而改变基础解系的个数

含参数的齐次方程组是考研中常见的题型。要点在于：参数

λ

的取值会改变 $r (A)$ ，从而改变方程组有无非零解，以及基础解系含几个向量。当系数矩阵为方阵时，标准做法是：先由

∣ A ∣ = 0

解出使秩下降的临界参数值，只有取这些值时才有非零解；再对每个临界值回代，用行变换定出确切的

r (A)

与

n - r

；最后写出基础解系。必须注意，不能只回答有非零解，而不给出基础解系的个数与具体向量。

证明 / 推导

对系数矩阵为

n

阶方阵的齐次方程组

A x = 0

，有非零解

⟺ ∣ A ∣ = 0

。设

∣ A ∣ = f (λ)

是

λ

的多项式，解方程

f (λ) = 0

即得全部临界值。当参数取非临界值时

∣ A ∣ \neq = 0

，

r (A) = n

，方程组只有零解；当参数取某个临界值时，

∣ A ∣ = 0

保证

r (A) < n

，但秩究竟降到多少必须用行变换确认，可能降

1

，也可能降得更多；而

n - r

就是基础解系所含向量的个数。

■

举例说明

真题（2018 数三·解答第一问） 设实二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} - x_{2} + x_{3})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} + (x_{1} + a x_{3})^{2}

（

a

为参数），求

f = 0

的解。

f

是三个实数平方之和，故

f = 0

当且仅当三个括号内的式子同时为零，于是化为含参数的齐次方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0, x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + a x_{3} = 0,

其系数矩阵

A 行变换 100010 21 a - 2

。参数

a

只出现在最后一行：

-

a \neq = 2

：

r (A) = 3 = n

，

n - r = 0

，只有零解

x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0

；
-

a = 2

：

r (A) = 2

，

n - r = 1

，基础解系

ξ = (- 2, - 1, 1)^{T}

，通解

X = k (- 2, - 1, 1)^{T}

（

k

任意）。

对同一组方程，只要

a

取到临界值

2

，

r (A)

就由

3

降为

2

，基础解系所含向量的个数便由

0

变为

1

。这就是参数改变秩、从而改变基础解系个数的典型例子。

■

💡 小知识

齐次方程组的解空间就是矩阵的零空间，也叫核，英文是 null space。它在图像压缩、电路的基尔霍夫定律以及机器人运动学的冗余自由度分析中随处可见。式子里的 n−r，量化的是一个系统还剩下多少可以自由支配的方向。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求齐次线性方程组

{x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 0, 2 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = 0

的基础解系与通解。难度 1

对系数矩阵作初等行变换：

A = (12 1 - 1 - 3 - 3) r_{2} - 2 r_{1} (10 1 - 3 - 3 3) r_{2} \div (- 3) r_{1} - r_{2} (1001 - 2 - 1) .

r (A) = 2

，

n = 3

，故基础解系含

n - r = 1

个向量。主元为

x_{1}, x_{2}

，自由变量为

x_{3}

，且

x_{1} = 2 x_{3}, x_{2} = x_{3}

。

取

x_{3} = 1

，得基础解系

ξ = (2, 1, 1)^{T}

。通解为

x = k (2, 1, 1)^{T} (k 为任意常数) .

验证：

2 + 1 - 3 = 0

，

4 - 1 - 3 = 0

，均成立。

■

例 2 求齐次线性方程组

{x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0, x_{1} + x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 0

的基础解系与通解。难度 2

对系数矩阵作初等行变换：

A = (11 - 1 1 1 - 1 - 1 3) r_{2} - r_{1} (10 - 1 2 1 - 2 - 1 4) r_{2} \div 2 r_{1} + r_{2} (1001 0 - 1 12) .

r (A) = 2

，

n = 4

，基础解系含

n - r = 2

个向量。主元为

x_{1}, x_{2}

，自由变量为

x_{3}, x_{4}

，且

x_{1} = - x_{4}, x_{2} = x_{3} - 2 x_{4}

。

取

(x_{3}, x_{4}) = (1, 0)

得

ξ_{1} = (0, 1, 1, 0)^{T}

；取

(x_{3}, x_{4}) = (0, 1)

得

ξ_{2} = (- 1, - 2, 0, 1)^{T}

。通解为

x = k_{1} (0, 1, 1, 0)^{T} + k_{2} (- 1, - 2, 0, 1)^{T} (k_{1}, k_{2} 任意) .

■

例 3 求齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, 2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 0, 3 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 0

的通解。难度 2

三行的系数成等差，可预感存在线性相关。对系数矩阵作初等行变换：

A = 123234345 r_{2} - 2 r_{1} r_{3} - 3 r_{1} 100 2 - 1 - 2 3 - 2 - 4 r_{3} - 2 r_{2} r_{2} \div (- 1) 100210320 r_{1} - 2 r_{2} 100010 - 1 20 .

出现一行全零，

r (A) = 2 < 3 = n

，基础解系含

1

个向量。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = x_{3}, x_{2} = - 2 x_{3}

。

取

x_{3} = 1

得

ξ = (1, - 2, 1)^{T}

，通解为

x = k (1, - 2, 1)^{T} (k 任意) .

验证：

1 - 4 + 3 = 0

，

2 - 6 + 4 = 0

，

3 - 8 + 5 = 0

，均成立。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　　）。

A $k 334, k \in R$
B $k 3510, k \in R$
C $k - 1 12, k \in R$
D $k 158, k \in R$

2021 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

为

4

阶正交矩阵，矩阵

B = α_{1}^{T} α_{2}^{T} α_{3}^{T}

，

β = 111

，

k

为任意常数，则线性方程组

B x = β

的通解

x =

（　　）。

A $α_{2} + α_{3} + α_{4} + k α_{1}$ 。
B $α_{1} + α_{3} + α_{4} + k α_{2}$ 。
C $α_{1} + α_{2} + α_{4} + k α_{3}$ 。
D $α_{1} + α_{2} + α_{3} + k α_{4}$ 。

2020 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设 4 阶矩阵

A = (a_{ij})

不可逆，

a_{12}

的代数余子式

A_{12} \neq = 0

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为矩阵

A

的列向量组，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则方程组

A^{*} x = 0

的通解为（　　）

A $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
B $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
C $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
D $x = k_{1} α_{2} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数

2019 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A

是

4

阶矩阵，

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，若线性方程组

A x = 0

的基础解系中只有

2

个向量，则

r (A^{*}) =

（　　）

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A

为

5 \times 4

矩阵，

r (A) = 3

，则齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系含（　）个解向量。

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

练习 2 · 选择题

n

元齐次线性方程组

A x = 0

只有零解的充要条件是（　）。

A $r (A) = n$
B $r (A) < n$
C $r (A) = m$ （ $m$ 为方程个数）
D $A$ 有一行全为零

练习 3 · 填空题

若齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, x_{1} + 3 x_{2} + a x_{3} = 0

有非零解，则

a =

____。

练习 4 · 选择题

设

A

为

3

阶矩阵，

r (A) = 1

，

ξ_{1}, ξ_{2}

是

A x = 0

的两个线性无关的解，则

A x = 0

的通解为（　）。

A $k ξ_{1}$ （ $k$ 任意）
B $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}$ （ $k_{1}, k_{2}$ 任意）
C $ξ_{1} + ξ_{2}$
D $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + k_{3} (ξ_{1} + ξ_{2})$ （ $k_{i}$ 任意）

练习 5 · 选择题

下列关于

n

元齐次线性方程组

A x = 0

的说法，正确的是（　）。

A $A x = 0$ 可能无解
B若 $r (A) = n$ ，则 $A x = 0$ 有非零解
C $A x = 0$ 的全体解对加法和数乘封闭
D基础解系所含向量个数等于方程个数

练习 6 · 选择题

设

A, B

均为

4

阶矩阵，且

A B = O

，

r (B) = 2

。则（　）。

A $r (A) = 2$
B $r (A) \geq 2$
C $r (A) \leq 2$
D $A = O$

练习 7 · 填空题

若齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + a x_{3} = 0, x_{1} + a x_{2} + x_{3} = 0, a x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

的基础解系含

2

个解向量，则

a =

____。

练习 8 · 解答题

设齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = 0, 2 x_{1} + 3 x_{2} + λ x_{3} + x_{4} = 0, x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} - x_{4} = 0.

(1) 讨论

λ

取何值时，该方程组的基础解系分别含

1

个、

2

个解向量；

(2) 求各种情形下的基础解系与通解；

(3) 问

λ

取何值时

ξ = (5, - 4, 1, 0)^{T}

是该方程组的解。

2005 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 13 分

已知齐次线性方程组

(i) ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, 2 x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} = 0, x_{1} + x_{2} + a x_{3} = 0, (ii) {x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = 0, 2 x_{1} + b^{2} x_{2} + (c + 1) x_{3} = 0

同解，求

a, b, c

的值.

2004 年 · 数三 · 第 13 题 · 选择题 · 4 分

设

n

阶矩阵

A

的伴随矩阵

A^{*} \neq = O

，若

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}, ξ_{4}

是非齐次线性方程组

A x = b

的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系（　　）

A不存在.
B仅含一个非零解向量.
C含有两个线性无关的解向量.
D含有三个线性无关的解向量.