证明 / 推导设 λ0 的几何重数为 g，取属于 λ0 的 g 个线性无关的特征向量 ξ1,…,ξg，再补充 n−g 个向量，把它们扩充成 n 个线性无关的列向量，拼成可逆矩阵 P=(ξ1,…,ξg,ηg+1,…,ηn)。由 Aξi=λ0ξi，AP 的前 g 列依次为 λ0ξi，因此 P−1AP=(λ0EgOCB) 它是分块上三角矩阵。相似的矩阵有相同的特征多项式（见相似矩阵一节），再用上面关于分块三角矩阵的结论，得 ∣λE−A∣=∣λE−P−1AP∣=(λ−λ0)g∣λE−B∣, 由此可见，(λ−λ0)g 能整除特征多项式，所以代数重数 k≥g。■举例说明A=(2012) 的特征值 λ=2 是二重根（代数重数为 2）。但是 2E−A=(00−10) 的秩为 1，几何重数 =2−1=1<2。这个重根只给出一个线性无关的特征向量，因此 A 是亏损的，不能对角化。这是几何重数严格小于代数重数的一个典型例子。
4. 抽象矩阵：由矩阵方程定出特征值的可能取值，再用迹或行列式定出重数★★ 必会
如果题目不给出具体的元素，只给出 A 满足某个矩阵方程（例如 A2=A、A2=E、A2=3A−2E），那么既不必也无法去解特征方程。所依据的事实是：只要多项式 g 满足 g(A)=O，那么 A 的每个特征值都是 g(λ)=0 的根，于是特征值只能在有限个数值中取。但这只说明特征值可以取哪些值，要确定每个值出现的次数，也就是重数，还须再用一个整体的条件，通常是迹（它等于 =∑λi）或行列式（它等于 =∏λi），有时也用秩。
证明 / 推导设 λ 是 A 的特征值，α=0 满足 Aα=λα。由上面关于幂的规律 Amα=λmα，可知对任一多项式 g 有 g(A)α=g(λ)α。如果 g(A)=O，那么 g(λ)α=0；又因为 α=0，所以必有 g(λ)=0，即每个特征值都是 g 的根。■举例说明（数三 2002）设 3 阶实对称矩阵 A 满足 A2+2A=O，且 r(A)=2，求 A 的全部特征值。由矩阵方程定出可能的取值：设 Aα=λα(α=0)，代入得 (λ2+2λ)α=0，故 λ2+2λ=0，特征值只能取 0 或 −2。再由秩定出重数：A 是实对称矩阵，必可对角化，非零特征值的个数等于 r(A)=2，所以有两个 −2，一个 0，即 λ1=0,λ2=λ3=−2。由方程定出可能的取值，再由秩定出重数，这就是求抽象矩阵特征值的一般方法。💡 小知识
特征一词的英文 eigen 直接借自德语，意思是固有的、自己的，而特征值刻画的确实是矩阵自身固有的伸缩性质。今天每一次使用搜索引擎，背后的 PageRank 算法所做的，就是求一个上亿阶网页链接矩阵的主特征向量。