二次型及其标准形、规范形

§13.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

4.64 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

5.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算特征值与特征向量的概念与计算③ 掌握后可解锁化二次型为标准形（配方法、正交变换）合同变换与惯性定理正定二次型

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 二次型的秩的三种说法：它等于矩阵的秩，等于标准形中非零平方项的个数，也等于非零特征值的个数★★ 必会

二次型的秩并不是新的概念，它就是矩阵

A

的秩

r (A)

，并且它同时等于化成标准形以后非零平方项的个数，也等于非零特征值的个数（按重数计算）。三者相等的原因在于，化标准形所作的是合同变换

A \to C^{T} A C

，其中

C

可逆，而合同变换不改变矩阵的秩。因此求二次型的秩不必先对角化，直接对

A

作初等变换求秩最为简便。

证明 / 推导

设

C

可逆。矩阵乘以可逆矩阵秩不变，故

r (C^{T} A C) = r (A)

（先由

r (A C) = r (A)

，再由

r (C^{T} (A C)) = r (A C)

）。取

C

使

C^{T} A C = diag (d_{1}, \dots, d_{n})

，则

r (A) = r (diag (d_{1}, \dots, d_{n})) =

非零

d_{i}

的个数

=

标准形中非零平方项的个数。又因为正交变换是一种特殊的合同变换，

Q^{T} A Q = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

，它的非零对角元就是非零特征值，所以秩也等于非零特征值的个数。

■

举例说明

（数三2004）求二次型

f = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} - x_{3})^{2} + (x_{3} + x_{1})^{2}

的秩。不必对角化，二次型的秩就是它的矩阵的秩。展开得

f = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3}

，故它的矩阵为

A = 211 12 - 1 1 - 1 2

。对

A

作初等行变换

\to 100 2 - 3 0 - 1 30

，最后一行全为零，故

r (A) = 2

，即二次型的秩为

2

。这是因为三个一次型

x_{1} + x_{2}, x_{2} - x_{3}, x_{3} + x_{1}

之和为零，它们线性相关，所以这个平方和只含

2

个独立的方向。整个过程只对

A

求秩，并没有用到特征值。

2. 标准形的系数可以任意伸缩，保持不变的只有正、负、零系数的个数 $(p, q, r)$ ★★ 必会

标准形并不唯一。事实上，标准形中非零系数的数值并没有绝对的意义：给定一个标准形

\sum d_{i} y_{i}^{2}

，再作可逆的伸缩变换

y_{i} = k_{i} z_{i}

（

k_{i} \neq = 0

），就得到

\sum (d_{i} k_{i}^{2}) z_{i}^{2}

，各系数都乘上了正数

k_{i}^{2}

，数值可大可小，唯有符号不变。所以在合同变换下保持不变的，只有正系数的个数

p

与负系数的个数

q

（以及

r = p + q

）。把非零系数一律化为

\pm 1

，就得到唯一的规范形，而

(p, q, r)

是它的完全不变量。

证明 / 推导

设

f

有标准形

\sum_{i = 1}^{n} d_{i} y_{i}^{2}

。对每一个非零的

d_{i}

与任意的

k_{i} \neq = 0

，令

y_{i} = k_{i} z_{i}

（

d_{i} = 0

的项则令

y_{i} = z_{i}

）。这是可逆的线性变换，代入得

f = \sum_{i} d_{i} k_{i}^{2} z_{i}^{2}

。因为

k_{i}^{2} > 0

，

d_{i} k_{i}^{2}

与

d_{i}

同号，所以正、负系数的个数不变，而数值

d_{i} k_{i}^{2}

随

k_{i}

任意变化。特别地，取

k_{i} = 1/ ∣ d_{i} ∣

，就把非零系数化为

\pm 1

，即得规范形。

■

举例说明

（数三2009）设

f = a x_{1}^{2} + a x_{2}^{2} + (a - 1) x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3}

，它的矩阵

A = a 01 0 a - 1 1 - 1 a - 1

的特征值为

a, a + 1, a - 2

。问

a

为何值时

f

的规范形为

y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

。规范形只取决于正、负系数的个数：

y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

对应于

(p, q, r) = (2, 0, 2)

，故三个特征值须恰为两正一零。令

a - 2 = 0

得

a = 2

，此时特征值为

2, 3, 0

，用正交变换所得的标准形为

2 y_{1}^{2} + 3 y_{2}^{2}

，系数

2, 3

数值并不相同；而规范形把每个非零系数一律化为

1

，零仍为零，所以都写成

y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

。这正说明：非零系数

2, 3

没有绝对的意义，可以伸缩，保持不变的只有

(p, q, r)

。（

a = 0

时特征值为

0, 1, - 2

，一正一负；

a = - 1

时特征值为

- 1, 0, - 3

，两个为负，都不合要求，所以只有

a = 2

。）

3. 二次型取值的符号由特征值决定：恒正、恒负或变号，只需看 $(p, q)$ ★★ 必会

要判断

f = x^{T} A x

是恒正、恒负，还是有正有负，完全取决于特征值的符号，也就是

(p, q)

，这也是下一节正定理论的基础：
- 特征值全为正（

p = n

）

\Rightarrow f > 0 (\forall x \neq = 0)

，称为正定；
- 特征值全为负（

q = n

）

\Rightarrow f < 0

，称为负定；
- 特征值有正有负（

p \geq 1

且

q \geq 1

）

\Rightarrow f

变号，称为不定；
- 含有零特征值而其余同号时

\Rightarrow

半正定或半负定。
因此，要判断二次型能取哪些符号，只需先求出特征值的符号，不必逐点试算。

证明 / 推导

作正交变换

x = Q y

，

f = \sum_{i} λ_{i} y_{i}^{2}

，且

x \neq = 0 ⟺ y \neq = 0

。如果所有的

λ_{i} > 0

，那么任取

y \neq = 0

，都有

f > 0

；如果存在

λ_{j} > 0

与

λ_{k} < 0

，取

y = e_{j}

得

f = λ_{j} > 0

，取

y = e_{k}

得

f = λ_{k} < 0

，故

f

变号。其余情形同理可证。由此可见，二次型取值的符号完全由特征值的符号决定。

■

举例说明

（数三2023）求

f = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{1} + x_{3})^{2} - 4 (x_{2} - x_{3})^{2}

的规范形，并判断它是恒正、恒负还是变号。取特殊点试算最为简便：

f (1, 0, 0) = 1 + 1 - 0 = 2 > 0

，可取正值；

f (0, 0, 1) = 0 + 1 - 4 = - 3 < 0

，可取负值，故

f

变号，即不定，因而必有

p \geq 1, q \geq 1

。再看它的矩阵

A = 211 1 - 3 4 14 - 3

，其中第

2

、

3

行相加恰与第一行成比例，故

∣ A ∣ = 0

，于是它有零特征值，且

r \leq 2

，即

p + q \leq 2

。与

p, q \geq 1

合起来，得

p = q = 1

，故规范形为

y_{1}^{2} - y_{2}^{2}

。可见是否变号完全由

(p, q)

决定，并不需要真的化出标准形。

4. 不要把配方法所得的系数当作特征值：只有正交变换所得标准形的系数才是特征值★ 要懂

这是最容易混淆的一处概念。配方法所得标准形的系数与配方的步骤有关，它一般不是

A

的特征值；只有用正交变换法时，由于

Q^{T} A Q = Q^{- 1} A Q = Λ

，标准形的系数才恰好是特征值。两者相同之处只在于正、负系数的个数

(p, q)

相同，这由惯性定理保证。因此，凡是要用到特征值本身数值的问题，例如判断曲面的类型、求条件极值中的

λ_{m a x} / λ_{m i n}

，都必须用正交变换；如果只需要

(p, q, r)

或只需判断正定性，用配方法就够了。

证明 / 推导

对同一

f = x^{T} A x

来说：作正交变换

x = Q y

得

f = y^{T} (Q^{T} A Q) y = y^{T} Λ y = \sum_{i} λ_{i} y_{i}^{2}

，系数就是特征值。配方法所得的是可逆但一般不正交的变换

x = C z

，

f = z^{T} (C^{T} A C) z

，它的对角元

d_{i}

满足

C^{T} A C = diag (d_{i})

，与

A

合同而不相似，所以

d_{i}

与

λ_{i}

只是符号相同，数值一般并不相同。

■

举例说明

（数三2024）设

f = x^{T} A x

在正交变换下化为

y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2}

，求

∣ A ∣

与

tr A

。关键在于所作的是正交变换：

Q^{T} A Q = Q^{- 1} A Q = Λ

，故标准形的系数

1, - 2, 3

恰好是 $A$ 的特征值。于是

∣ A ∣ = \prod λ_{i} = 1 \cdot (- 2) \cdot 3 = - 6

，

tr A = \sum λ_{i} = 1 - 2 + 3 = 2

。必须注意：如果题目改为用配方法化出同样的

y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2}

，那么这些系数

1, - 2, 3

只与特征值同号，数值一般不同，因为这时是合同而不是相似，所以不能用它们来计算

∣ A ∣

、

tr A

，这一点必须特别注意。

💡 小知识

消去交叉项、把二次型摆正，几何上就是给二次曲面找到它自己的对称轴。这套操作在物理里称为主轴变换：刚体的转动惯量张量对角化之后，三个对角元就是绕三条主轴的转动惯量。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 写出二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 6 x_{1} x_{3} + 8 x_{2} x_{3}

的矩阵

A

，并回代验证。难度 1

规则： 平方项

x_{i}^{2}

的系数放在对角元

a_{ii}

；交叉项

x_{i} x_{j}

的系数对半均分给

a_{ij} = a_{j i}

。

- 对角元：

a_{11} = 3, a_{22} = 2, a_{33} = - 1

；
-

x_{1} x_{2}

系数

4

，均分得

a_{12} = a_{21} = 2

；
-

x_{1} x_{3}

系数

- 6

，均分得

a_{13} = a_{31} = - 3

；
-

x_{2} x_{3}

系数

8

，均分得

a_{23} = a_{32} = 4

。

A = 32 - 3 224 - 3 4 - 1 .

回代验证： 展开

x^{T} A x

，对角给出

3 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} - x_{3}^{2}

；

a_{12}, a_{21}

合起来给

2 \times 2 x_{1} x_{2} = 4 x_{1} x_{2}

，

a_{13}, a_{31}

给

2 \times (- 3) x_{1} x_{3} = - 6 x_{1} x_{3}

，

a_{23}, a_{32}

给

2 \times 4 x_{2} x_{3} = 8 x_{2} x_{3}

，与原式完全一致。

例 2 已知二次型

f = x^{T} A x

的矩阵

A = 1 - 2 0 - 2 03 034

，写出二次型

f

的表达式，并求其秩

r

。难度 1

由矩阵反写二次型： 对角元给平方项，非对角元

a_{ij}

对应交叉项系数

2 a_{ij}

。

- 对角

(1, 0, 4)

给出

x_{1}^{2} + 0 \cdot x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2}

；
-

a_{12} = - 2 \Rightarrow x_{1} x_{2}

系数

2 \times (- 2) = - 4

；
-

a_{13} = 0 \Rightarrow

无

x_{1} x_{3}

项；
-

a_{23} = 3 \Rightarrow x_{2} x_{3}

系数

2 \times 3 = 6

。

f = x_{1}^{2} + 4 x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 6 x_{2} x_{3} .

求秩： 二次型的秩就是矩阵的秩。计算

∣ A ∣ = 1 \cdot (0 \cdot 4 - 3 \cdot 3) - (- 2) \cdot (- 2 \cdot 4 - 3 \cdot 0) + 0 = - 9 - 16 = - 25 \neq = 0

，故

A

满秩，

r = 3

。

例 3 设二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2}

，写出其矩阵、用正交变换法求标准形，并给出正、负惯性指数、秩与规范形。难度 2

第一步：写矩阵。 交叉项

4 x_{1} x_{2}

均分，

a_{12} = a_{21} = 2

，其余交叉项为零：

A = 120210 00 - 3 .

第二步：求特征值（正交变换法下标准形系数即特征值）。

A

是分块对角阵。左上块

(1221)

的特征多项式

(1 - λ)^{2} - 4 = (λ - 3) (λ + 1)

，特征值

3, - 1

；第三块给出

- 3

。故

A

的特征值为

3, - 1, - 3

。

第三步：标准形。 存在正交变换

x = Q y

使

f = 3 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - 3 y_{3}^{2} .

第四步：惯性指数、秩、规范形。 正系数

1

个

\Rightarrow p = 1

；负系数

2

个

\Rightarrow q = 2

；非零系数

3

个

\Rightarrow r = p + q = 3

。把系数归一化得规范形

f = z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = (1 a + 2 b 3 - 1 - 3 a)

。若二次型

x^{T} (A A^{T}) x

的规范形为

y_{1}^{2}

，则

a + b =

______。

2024 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

在正交变换下可化为

y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2}

，则二次型

f

对应的矩阵

A

的行列式与迹分别为（　　）。

A $- 6, - 2$
B $6, - 2$
C $- 6, 2$
D $6, 2$

2023 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{1} + x_{3})^{2} - 4 (x_{2} - x_{3})^{2}

的规范形为（　　）。

A $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$
B $y_{1}^{2} - y_{2}^{2}$
C $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - 4 y_{3}^{2}$
D $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$

2022 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3 x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{3}

.
（Ⅰ）求正交变换

x = Q y

将

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

化为标准形；
（Ⅱ）证明：

x \neq = 0 min \frac{f ( x )}{x ^{T} x} = 2

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

二次型

f = 4 x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 6 x_{1} x_{2}

的矩阵为（　）。

A $(43 3 - 1)$
B $(46 6 - 1)$
C $(4331)$
D $(46 0 - 1)$

练习 2 · 填空题

设二次型

f = x^{T} A x

的矩阵

A = 3 - 2 1 - 2 04 145

，则

f

中

x_{2} x_{3}

的系数为 ____。

练习 3 · 选择题

已知二次型矩阵

A

的特征值为

5, 0, - 2

，则其（正惯性指数

p

，负惯性指数

q

，秩

r

）为（　）。

A $(1, 1, 2)$
B $(1, 1, 3)$
C $(2, 1, 3)$
D $(1, 2, 2)$

练习 4 · 填空题

二次型

f = x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4 x_{2} x_{3}

的负惯性指数

q =

____。

练习 5 · 填空题

（数三2011）设二次型

f = x^{T} A x

的秩为

1

，

A

的各行元素之和为

3

，则

f

在正交变换

x = Q y

下的标准形为 ____。

练习 6 · 选择题

设

A = (2112)

，则下列矩阵中与

A

合同但不相似的是（　）。

A $(1003)$
B $(2005)$
C $(- 1 0 0 - 3)$
D $(0001)$

练习 7 · 填空题

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} - x_{3})^{2} - (x_{3} + x_{1})^{2}

的规范形为 ____。

练习 8 · 解答题

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} .

(1) 写出

f

的矩阵

A

，并用配方法把

f

化为标准形，写出所用的可逆线性变换；

(2) 求

f

的正、负惯性指数与秩，并写出规范形；

(3) 判断

A

与单位矩阵

E

是否合同、是否相似；

A

与

diag (1, 2, 3)

是否合同、是否相似。说明理由。

2021 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - (x_{3} - x_{1})^{2}

的正惯性指数与负惯性指数依次为（　　）。

A $2, 0$ 。
B $1, 1$ 。
C $2, 1$ 。
D $1, 2$ 。

2020 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设二次型

f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2}

经正交变换

(x_{1} x_{2}) = Q (y_{1} y_{2})

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}) = a y_{1}^{2} + 4 y_{1} y_{2} + b y_{2}^{2}

，其中

a \geq b

.（Ⅰ）求

a, b

的值；（Ⅱ）求正交矩阵

Q

二次型及其标准形、规范形

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 二次型的秩的三种说法：它等于矩阵的秩，等于标准形中非零平方项的个数，也等于非零特征值的个数★★ 必会

2. 标准形的系数可以任意伸缩，保持不变的只有正、负、零系数的个数 (p,q,r)★★ 必会

3. 二次型取值的符号由特征值决定：恒正、恒负或变号，只需看 (p,q)★★ 必会

4. 不要把配方法所得的系数当作特征值：只有正交变换所得标准形的系数才是特征值★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 标准形的系数可以任意伸缩，保持不变的只有正、负、零系数的个数 $(p, q, r)$ ★★ 必会

3. 二次型取值的符号由特征值决定：恒正、恒负或变号，只需看 $(p, q)$ ★★ 必会