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二次型及其标准形、规范形

线性代数 · 二次型

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 二次型与它的矩阵：交叉项要对半分

每一项都是二次的多项式叫二次型，例如

f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 3 x_{2}^{2} .

把它写成矩阵形式

f = x^{T} A x, x = x_{1} ⋮ x_{n},

其中

A

规定取对称矩阵，这样

A

才唯一。

怎么填 $A$ ：

① 对角线

a_{ii}

=

x_{i}^{2}

的系数，原样照抄。

② 非对角

a_{ij} = a_{j i} = \frac{x _{i} x _{j} 的系数}{2}

—— 交叉项的系数要对半分到两个对称位置。

上例中

x_{1} x_{2}

的系数是

4

，对半分得

a_{12} = a_{21} = 2

：

A = (1223) .

「对半分」是本节最容易错的一步。不分、或者只填一边，矩阵就不对称，后面所有基于对称性的结论（正交对角化、合同、正定）全部失效。

反向读也要熟：给一个对称矩阵，要能立刻写回二次型——对角元配

x_{i}^{2}

，非对角元

a_{ij}

要乘

2

再配

x_{i} x_{j}

。

2. 标准形与规范形：把交叉项消干净

只含平方项、没有交叉项的二次型

f = d_{1} y_{1}^{2} + d_{2} y_{2}^{2} + \dots + d_{n} y_{n}^{2}

叫标准形。

若系数只取

1, - 1, 0

三种值：

f = y_{1}^{2} + \dots + y_{p}^{2} - y_{p + 1}^{2} - \dots - y_{p + q}^{2},

叫规范形。

两者都通过「换元」得到：令

x = C y

（

C

可逆，称可逆线性变换），则

f = x^{T} A x = (C y)^{T} A (C y) = y^{T} (C^{T} A C) y .

所以新矩阵是

C^{T} A C

，要它成为对角阵。注意是 $C^{T} A C$ ，不是 $C^{- 1} A C$ ——这是二次型与相似的分水岭，下一节细说。

标准形不唯一（换个

C

，系数就变），但规范形唯一（下一节的惯性定理）。

三个数要分清：

p q p + q 正项个数（正惯性指数） 负项个数（负惯性指数） 非零项个数， = r (A)

3. 用特征值直接写出标准形

A

是实对称阵，由上一章，存在正交矩阵

Q

使

Q^{T} A Q = Λ = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) .

而正交矩阵满足 $Q^{T} = Q^{- 1}$ ，所以这同时也是一个合法的二次型换元（

C = Q

）。令

x = Q y

：

f = y^{T} Λ y = λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2} .

结论：二次型经正交变换化出的标准形，系数就是

A

的全部特征值。

于是不用配方也能一眼写出标准形——只要把特征值算出来。

三个量立刻可读：

p q r (A) 正特征值的个数 负特征值的个数 非零特征值的个数

正交变换的额外好处：它不改变长度和夹角，所以几何形状（椭圆、双曲线、椭球那一类）不会被扭曲，只是转了个方向。配方法得到的

C

一般不正交，形状会被拉伸。

4. 二次型的秩：就是矩阵的秩

二次型的秩定义为它的矩阵

A

的秩

r (A)

。

它等于标准形里非零项的个数：化成

d_{1} y_{1}^{2} + \dots + d_{n} y_{n}^{2}

后，非零的

d_{i}

有几个，秩就是几。

为什么：换元矩阵

C

可逆，而可逆矩阵乘上去不改变秩，故

r (C^{T} A C) = r (A) .

左边是对角阵，它的秩就是非零对角元的个数。

所以秩是个「换元不变量」——无论你用配方法还是正交变换、无论标准形的系数怎么变，非零项的个数永远一样。

和特征值的关系：

r (A) =

非零特征值的个数（实对称阵才有这条，因为它必可对角化）。

注意区分：

p + q = r (A)

是非零项个数；

n - r (A)

是零项个数。题目给「秩为

2

的三元二次型」，意思就是标准形里恰有一项是零。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

由二次型写出矩阵 $A$

第一步：对角线

a_{ii}

直接抄

x_{i}^{2}

的系数；没有该项就填

0

。

第二步：每个交叉项

x_{i} x_{j}

的系数对半分，填到

a_{ij}

与

a_{j i}

两个位置。

第三步：没出现的交叉项填

0

。

第四步：核对

A

确实对称，并从

A

反读一遍二次型（非对角元要乘

2

）。

例例. 写出

f = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 2 x_{2} x_{3} + 3 x_{3}^{2}

的矩阵

A

。

第一步，对角线抄平方项系数：

a_{11} = 1

、

a_{33} = 3

；

x_{2}^{2}

没出现，

a_{22} = 0

。

第二步，交叉项对半分：

4 x_{1} x_{2}

给

a_{12} = a_{21} = 2

；

- 2 x_{2} x_{3}

给

a_{23} = a_{32} = - 1

。

第三步，

x_{1} x_{3}

没出现

\Rightarrow

a_{13} = a_{31} = 0

。

第四步，

A = 120 20 - 1 0 - 1 3 .

对称 ✓ 再从 $A$ 反读一遍：非对角元要乘 $2$ ，得

4 x_{1} x_{2} - 2 x_{2} x_{3}

✓ 对上了。

忘了对半分（把

4

直接填进

a_{12}

）是唯一会错的地方，而反读一遍当场就能发现。

用正交变换化标准形

第一步：写出对称矩阵

A

。

第二步：求

A

的全部特征值——它们就是标准形的系数。

第三步：标准形即

f = λ_{1} y_{1}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2}

。

第四步：若题目还要变换矩阵，就按上一章正交对角化求出

Q

（重根组内施密特、全部单位化），换元为

x = Q y

。

例例. 用正交变换把

f = 3 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{2}^{2}

化为标准形。

第一步，对称矩阵

A = (3113)

（交叉项系数

2

对半分成两个

1

）。

第二步，特征值

λ_{1} = 2

、

λ_{2} = 4

——它们就是标准形的系数。

第三步，标准形

f = 2 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} .

题目只问标准形的话，到这里就完了。

第四步，还要变换矩阵就按正交对角化求

Q = \frac{1}{2} (1 - 1 11)

，换元

x = Q y

。

验一下：

x_{1} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}

、

x_{2} = \frac{- y _{1} + y _{2}}{2}

，代回

f

确实得

2 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2}

✓

求秩与正负惯性指数

第一步：写出

A

，求特征值（或直接配方化标准形）。

第二步：数正的个数得

p

，负的个数得

q

。

第三步：

r (A) = p + q

，零项个数

= n - r (A)

。

第四步：规范形写成

y_{1}^{2} + \dots + y_{p}^{2} - y_{p + 1}^{2} - \dots - y_{p + q}^{2}

，与系数的具体大小无关。

例例. 求

f = 2 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2}

与

g = y_{1}^{2} - 3 y_{2}^{2}

（三元，

y_{3}

的系数为

0

）的秩与正负惯性指数，并写出规范形。

第一步，

f

的系数是

2, 4

；

g

的是

1, - 3, 0

。

第二步，

f

：正的

2

个，

p = 2

、

q = 0

。

g

：

p = 1

、

q = 1

。

第三步，

r (f) = 2

；

r (g) = 2

，零项

3 - 2 = 1

个。

第四步，规范形

f \to z_{1}^{2} + z_{2}^{2}, g \to z_{1}^{2} - z_{2}^{2} .

与系数的大小无关——

2

和

4

都变成

1

，

- 3

变成

- 1

。规范形只记「几个正、几个负、几个零」，这三个数才是合同变换下不变的东西。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

交叉项没有对半分

x_{1} x_{2}

的系数是

6

，则

a_{12} = a_{21} = 3

，不是 $6$ 。

只填一边或两边都填全系数，

A

就不对称了，后面正交对角化、合同、正定全部失效。

从 $A$ 反读一遍二次型（非对角元乘

2

），对不上就是这里错了。

把 $C^{T} A C$ 写成 $C^{- 1} A C$

二次型换元得到的是合同

C^{T} A C

，不是相似

C^{- 1} A C

。

x

在

x^{T} A x

里出现两次，代入后两侧各留一个

C

，左边那个带转置。

只有 $C$ 正交时两者才重合（

C^{T} = C^{- 1}

）——这正是正交变换特殊的地方。

以为标准形唯一

标准形不唯一：换个换元矩阵，系数就变。配方法和正交变换给出的系数通常不同。

唯一的是规范形，以及

p

、

q

、

r (A)

这三个数（惯性定理）。

所以「求标准形」的答案不止一种，但正负项的个数必须一致。

换元矩阵没有说明可逆

x = C y

中的

C

必须可逆，否则秩会掉、信息会丢，两个二次型不再等价。

配方之后要回头验一下：由

y

能否唯一反解出

x

。

写答案时把

C

或反解式写出来，是这一步的交代。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 写矩阵

练 1

f = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}

的矩阵

A =

________。

练 2

二次型的矩阵规定取（）。

A对称矩阵
B上三角矩阵
C任意矩阵
D可逆矩阵

练 3

矩阵

A = (1332)

对应的二次型中，

x_{1} x_{2}

的系数是 ________。

练 4

只含平方项、无交叉项的二次型称为（）。

A规范形
B标准形
C正定二次型
D合同形

第二组 · 标准形

练 5

若

A

的特征值为

1, - 2, 0

，则经正交变换得到的标准形为 ________。

练 6

二次型换元

x = C y

（

C

可逆）后，新矩阵为（）。

A $C^{- 1} A C$
B $C A C^{T}$
C $C^{T} A C$
D $C A$

练 7

三元二次型的矩阵秩为

2

，则其标准形中非零项有 ________ 项。

练 8

下列关于标准形的说法正确的是（）。

A标准形唯一
B标准形的系数一定是特征值
C标准形不唯一，但正负项个数唯一
D标准形一定是规范形

第三组 · 综合

练 9

设二次型的特征值为

3, - 1, - 2

，则正惯性指数

p =

________。

练 10

用正交变换化二次型为标准形，相比配方法的好处是（）。

A计算更简单
B不改变长度与夹角，几何形状不被扭曲
C能处理配方法做不了的二次型
D得到的标准形唯一

练 11

f = 2 x_{1} x_{2}

的矩阵

A =

________。

练 12

二次型

f

的矩阵为

A

，换元

x = C y

要求

C

可逆，是因为（）。

A不可逆时 $C^{T} A C$ 不对称
B不可逆时秩可能下降，两个二次型不再等价
C不可逆时无法计算
D习惯而已

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

二次型及其标准形、规范形

先打基础

1. 二次型与它的矩阵：交叉项要对半分

2. 标准形与规范形：把交叉项消干净

3. 用特征值直接写出标准形

4. 二次型的秩：就是矩阵的秩

常用结构

由二次型写出矩阵 A

用正交变换化标准形

求秩与正负惯性指数

基础易错

交叉项没有对半分

把 CTAC 写成 C−1AC

以为标准形唯一

换元矩阵没有说明可逆

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

由二次型写出矩阵 $A$

把 $C^{T} A C$ 写成 $C^{- 1} A C$