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实对称矩阵的正交对角化
线性代数 · 特征值与特征向量
这一条要先会：矩阵的对角化、施密特正交化与正交矩阵
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 实对称矩阵的三条好性质
A 为实对称矩阵（AT=A，元素全是实数）时，有三条一般矩阵没有的保证：
① 特征值全是实数。 一般实矩阵的特征值可能是复数（如 (01−10) 的特征值是 ±i），实对称阵不会。
② 属于不同特征值的特征向量必定互相正交。 一般矩阵只保证线性无关，不保证正交。
③ 必可对角化，而且可以用正交矩阵对角化：存在正交矩阵 Q 使
Q−1AQ=QTAQ=Λ.
第三条含两层意思：一定对角化得了（重根也不会亏，s=k 自动成立），而且能挑出正交的那组基。
Q−1=QT 是正交矩阵的定义，所以写哪一个都行。考场上写 QTAQ=Λ 更好，因为转置不用算。
这三条是下一章二次型的全部基础：二次型的矩阵天然对称，所以总能用正交变换化成标准形。2. 正交对角化的做法：分组正交化，再单位化
流程：
① 求全部特征值，分清哪些是单根、哪些是重根。
② 对每个特征值求基础解系。
③ 正交化——只在重根内部做。 不同特征值之间已经自动正交（性质②），不要跨组做施密特，那是白费工夫，还可能把已经正交的搞乱。
④ 全部单位化（每个向量除以自己的长度）。这一步不能省，否则拼出来的不是正交矩阵。
⑤ 按列拼成 Q，对应特征值按同样顺序排成 Λ，则 QTAQ=Λ。
第 ③ 步是本节与上一节唯一的新东西。上一节只要无关就行，这里还要正交；而正交性在组间白送，只需在组内动手。
单根的组只有一个向量，无须正交化，直接单位化即可。3. 正交对角化与一般对角化的分工
适用矩阵结论正交化单位化一般可对角化可逆P−1AP=Λ不要不要正交实对称正交QTAQ=Λ重根组内要
对实对称阵，两条路都能走：只问「求 P 使 P−1AP=Λ」时，不必正交化也不必单位化，省两道工序；只有题目明确要正交矩阵 Q 或正交变换时，才做那两步。
看题眼：出现「正交矩阵」「正交变换」「QTAQ」这些字样，就要做；只说「对角化」「相似于对角阵」，不必做。
下一章会反复用到正交那一版：二次型要用正交变换化标准形，正是因为正交变换不改变长度和夹角，几何形状（椭圆、双曲线那一类）才不会被扭曲。4. 反向题：由特征信息反求实对称阵
常考形态：给出部分特征值和特征向量，反求 A。
解法一（配齐再乘回去）：
① 利用正交性把缺的特征向量补出来。 已知 α1 属于 λ1，要找属于 λ2 的 α2，只需解
α1Tx=0
——属于不同特征值的必正交，这个方程把 α2 限制住了。
② 单位化、拼 Q、写 Λ。
③ 由 A=QΛQT 乘出来。 注意这里用 QT 而不必求逆，这正是正交矩阵省事的地方。
解法二（待定元素）：设 A=(abbc)（对称性已经用掉了，只剩三个未知数），再把已知的 Aαi=λiαi 逐条代入解方程。二阶时这一条往往更快。
第①步是这类题的钥匙：正交性不是用来验算的，是用来解出未知特征向量的。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
正交对角化实对称矩阵
第一步：求全部特征值，标出哪些是重根。
第二步：对每个特征值求基础解系。
第三步：只在重根组内作施密特正交化；单根组跳过。
第四步：全部单位化，按列拼成 Q，对应特征值排成 Λ；用 AQ=QΛ 核验，并抽查 Q 的两列内积为零、长度为一。例例. 正交对角化
A=(3113)。
第一步，特征值
2,4，都是
单根。
第二步，基础解系
ξ1=(1,−1)T、
ξ2=(1,1)T。
第三步，
只在重根组内施密特——这里全是单根，
跳过。而且实对称阵不同特征值的特征向量自动正交：验
(ξ1,ξ2)=1−1=0 ✓ 这是实对称阵白送的性质。
第四步，全部单位化：
Q=21(1−111),Λ=diag(2,4).核验
AQ=QΛ ✓ 抽查两列内积为
0、长度为
1 ✓
由特征信息反求实对称阵
第一步：用正交性补出缺失的特征向量——解 αiTx=0。
第二步：全部单位化，拼成正交矩阵 Q，写出 Λ。
第三步：由 QTAQ=Λ 解出 A=QΛQT，乘开。
第四步：核对结果确实对称（AT=A），并验一条 Aαi=λiαi。例例. 三阶实对称阵
A 的特征值是
1,1,−2，
λ=−2 对应
α3=(1,1,1)T，求
A。
第一步，用
正交性补出
λ=1 的特征向量：它们满足
α3Tx=0，即
x1+x2+x3=0，基础解系
(−1,1,0)T、
(−1,0,1)T。
第二步，
λ=1 是重根，
组内施密特后全部单位化，连同
31α3 拼成
Q，
Λ=diag(1,1,−2)。
第三步，由
QTAQ=Λ 解出 A=QΛQT。这里
Q−1=QT，省掉求逆——正交矩阵最值钱的地方就在这。
第四步，乘开后核对
AT=A ✓ 验一条
Aα3=−2α3 ✓
（本题有更快的路：
A=E−α3α3T。但走标准流程更不容易错。）
判断该不该正交化、单位化
第一步：看题目要的是 P（可逆）还是 Q（正交）。
第二步：只要 P——不正交化、不单位化，省两道工序。
第三步：要 Q 或提到「正交变换」——重根组内正交化，然后全部单位化。
第四步：无论哪种，最后都用 AP=PΛ 这一式核验。例例. 同一个
A=(3113)，两种问法两种做法。
第一步，问「求
可逆矩阵
P 使
P−1AP 为对角阵」——要的是
P。
第二步，
不正交化、不单位化，直接拿基础解系拼：
P=(1−111) 就行，省两道工序。
第三步，问「求
正交矩阵
Q」，或题面出现「正交变换」——重根组内施密特，然后
全部单位化：
Q=21(1−111)。
第四步，无论哪种，最后都用
AP=PΛ 核验。
读到「正交」两个字再做那两道工序：不要求正交却单位化，不算错但白写；要求正交却忘了单位化，就是错。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
跨特征值做施密特
不同特征值的特征向量已经正交（实对称阵的性质②），组间不必再做。
跨组做纯属白费工夫，算错了反而把本来正交的弄乱。
施密特只在同一个重根的基础解系内部做。忘了单位化
只正交化不单位化，拼出来的矩阵不是正交矩阵，QTAQ=Λ 就不成立。
题目要「正交矩阵」或「正交变换」时，这一步绝不能省。
自查：Q 的每一列长度必须是 1。实对称阵还去查 s=k
实对称阵必可对角化，这是定理，不必逐题验证。
花时间去算 r(A−λE) 是浪费——除非题目问的就是某个特征子空间的维数。
反过来也要记住：可对角化的矩阵不一定对称。A=QΛQT 写反成 QTΛQ
从 QTAQ=Λ 现解一次：左乘 Q、右乘 QT，得 A=QΛQT。
写反算的是另一个矩阵。
核对办法：结果必须是对称的，而且 Aαi=λiαi 要成立。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 三条性质
练 1
实对称矩阵的特征值（ ）。练 2
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必定互相 ________。练 3
实对称矩阵（ ）。- A可能不可对角化
- B必可对角化
- C只在特征值互异时可对角化
- D必可逆
练 4
正交矩阵 Q 满足 Q−1= ________。第二组 · 做法
练 5
正交对角化时，施密特正交化应在（ ）进行。- A全部特征向量之间
- B不同特征值之间
- C同一重根的基础解系内部
- D不需要正交化
练 6
要使 Q 成为正交矩阵，正交化之后还必须 ________。练 7
设 A 为 3 阶实对称阵，特征值 2,2,5，则正交化只需对（ ）做。- Aλ=5 的那一个向量
- B全部三个向量
- C不必做
- Dλ=2 的那两个向量
练 8
由 QTAQ=Λ 解出 A= ________。第三组 · 反求与综合
练 9
2 阶实对称阵 A 的 λ1=1 对应 α1=(11)，则属于另一个特征值的特征向量可取 ________。练 10
下列说法正确的是（ ）。- A可对角化的矩阵一定是实对称阵
- B实对称阵一定可对角化
- C实对称阵的特征向量一定两两正交
- D实对称阵一定可逆
练 11
设实对称阵 A 的特征值为 1,3，对应单位特征向量按列拼成 Q，Λ=(1003)，则 trA= ________。练 12
题目只要求「求可逆 P 使 P−1AP=Λ」（A 实对称），则（ ）。- A必须正交化并单位化
- B必须单位化但不必正交化
- C必须正交化但不必单位化
- D两步都不必做