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施密特正交化与正交矩阵

线性代数 · 向量

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 内积、长度、正交：先把度量工具备齐

两个

n

维向量

α = (a_{1}, \dots, a_{n})^{T}

、

β = (b_{1}, \dots, b_{n})^{T}

的内积定义为

(α, β) = α^{T} β = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} .

结果是一个数，不是向量。

由它定出两件事：

长度（范数）：

∥ α ∥ = (α, α) = a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2}

。

正交：

(α, β) = 0

时称

α

与

β

正交，记

α ⊥ β

。

n = 2, 3

时就是「互相垂直」。

零向量与任何向量正交，这是定义的直接后果，判断题里常考。

单位向量：长度为

1

的向量。把

α \neq = 0

变成单位向量叫单位化：

α^{0} = \frac{α}{∥ α ∥} .

内积的几条性质（都可直接验证）：对称

(α, β) = (β, α)

；线性

(k α, β) = k (α, β)

、

(α + γ, β) = (α, β) + (γ, β)

；正定

(α, α) \geq 0

且等号仅在

α = 0

时成立。

2. 正交向量组必线性无关

定理. 若非零向量

α_{1}, \dots, α_{s}

两两正交，则它们线性无关。

反过来不成立：无关的向量组未必正交（随便两个不垂直的无关向量就是）。所以「正交」比「无关」更强。

这条定理的用处：正交性往往一眼看得出（算几个内积），而无关性要去化矩阵。能用正交性说明无关，就省掉了一整轮计算。

两个相关的词：

正交向量组：两两正交的非零向量组。

标准正交基：既两两正交、每个长度又都是

1

的基。标准基

ε_{1}, \dots, ε_{n}

就是最熟悉的一组。

标准正交基的好处：在它之下求坐标不用解方程，直接拿内积算——

α = i = 1 \sum n (α, ε_{i}) ε_{i} .

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条「正交必无关」的证明，手法是两边与 $α_{j}$ 作内积，用正交性把其余项打掉。设

α_{1}, \dots, α_{s}

两两正交且均非零，

β = k_{1} α_{1} + \dots + k_{s} α_{s}

。

证明：

k_{j} = \frac{( β , α _{j} )}{( α _{j} , α _{j} )}

。

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

3. 施密特正交化：一个一个地「减掉投影」

给一组线性无关的

α_{1}, \dots, α_{s}

，要造出与之等价的正交组

β_{1}, \dots, β_{s}

。做法是逐个来：

β_{1} β_{2} β_{3} = α_{1}, = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1}, = α_{3} - \frac{( α _{3} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1} - \frac{( α _{3} , β _{2} )}{( β _{2} , β _{2} )} β_{2},

依此类推。

每一步在做同一件事：把 $α_{k}$ 在前面那些 $β$ 上的「影子」减掉，剩下的部分自然与它们都垂直。

\frac{( α , β )}{( β , β )} β

这一块叫

α

在

β

上的投影。

三件要点：

① 减的是 $β$ ，不是 $α$ 。 前面已经正交化好的那些才是基准。

② 做完通常还要单位化：

γ_{i} = β_{i} /∥ β_{i} ∥

，得到标准正交组。题目说「求标准正交基」就必须做这一步。

③ 正交化前后张成的空间不变，所以得到的组与原组等价。

4. 正交矩阵：列向量是一组标准正交基

n

阶实方阵

Q

若满足

Q^{T} Q = E (等价地 Q^{- 1} = Q^{T}),

称为正交矩阵。

这个条件翻译过来就是：

Q

的列向量两两正交且都是单位向量——即构成一组标准正交基。因为

Q^{T} Q

的

(i, j)

元恰是第

i

列与第

j

列的内积，要它等于单位阵，就是「对角线上为

1

（单位），其余为

0

（正交）」。

行向量同样是标准正交基（由

Q Q^{T} = E

）。

几条常用性质：

∣ Q ∣ Q^{- 1}, Q^{T} Q_{1} Q_{2} ∥ Q α ∥ \pm 1 仍是正交矩阵 仍是正交矩阵 = ∥ α ∥

最后一条说明正交变换不改变长度（也不改变夹角），几何上就是旋转或反射。

$∣ Q ∣ = \pm 1$ 别记成 $= 1$ ：反射的行列式是

- 1

。反过来，

∣ Q ∣ = 1

推不出

Q

正交。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

施密特正交化（两个或三个向量）

第一步：取

β_{1} = α_{1}

，不作任何改动。

第二步：

β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1}

——减去

α_{2}

在

β_{1}

上的投影。

第三步：

β_{3} = α_{3} - \frac{( α _{3} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1} - \frac{( α _{3} , β _{2} )}{( β _{2} , β _{2} )} β_{2}

——前面每个都要减一次。

第四步：每步算完立刻验一下内积为零；最后按题目要求单位化。

例例. 把

α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

、

α_{2} = (1, 0, 1)^{T}

正交化。

第一步，

β_{1} = α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

，原样不动。

第二步，

(α_{2}, β_{1}) = 1

、

(β_{1}, β_{1}) = 2

，

β_{2} = α_{2} - \frac{1}{2} β_{1} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)^{T} .

第三步，只有两个向量，到此为止。（三个的话

β_{3}

要对 $β_{1}$ 和 $β_{2}$ 各减一次，少减一次就不正交了。）

第四步，立刻验：

(β_{1}, β_{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0

✓ 要标准正交基就再单位化，

∣ β_{1} ∣ = 2

、

∣ β_{2} ∣ = 3/2

。

每步算完立刻验内积——错了当场就知道，不必等到最后发现对不上再从头找。

判断一个矩阵是不是正交矩阵

第一步：先看是不是方阵——不是就直接否定。

第二步：算

Q^{T} Q

，看是否等于

E

。

第三步：或者等价地逐列验：每列长度为

1

、两两内积为

0

。列少时这样更快。

第四步：可用

∣ Q ∣ = \pm 1

做反向排除——不等于

\pm 1

必不是正交矩阵；但等于

\pm 1

推不出是。

例例. 判断

Q = \frac{1}{2} (11 1 - 1)

是不是正交矩阵。

第一步，是方阵 ✓

第二步，

Q^{T} Q = \frac{1}{2} (11 1 - 1) (11 1 - 1) = \frac{1}{2} (2002) = E ✓

第三步，或者逐列验（列少时更快）：两列长度都是

1

✓ 内积

\frac{1}{2} (1 - 1) = 0

✓

第四步，

∣ Q ∣ = - 1 = \pm 1

，不矛盾。但这条只能反向排除：

(1011)

的行列式也是

1

，它却不是正交矩阵（两列不正交）。

行列式等于

\pm 1

是必要条件，不是充分条件。

求一个空间的标准正交基

第一步：先求出该空间的一组（任意）基——通常来自解齐次方程组。

第二步：对这组基作施密特正交化，得到正交组。

第三步：逐个单位化，得到标准正交组。

第四步：核对个数等于空间的维数，并抽验一两个内积。

例例. 求

V = {x ∣ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}

的一组标准正交基。

第一步，先求任意一组基——前面解出过

ξ_{1} = (- 1, 1, 0)^{T}

、

ξ_{2} = (- 1, 0, 1)^{T}

。

第二步，施密特：

β_{1} = ξ_{1}

；

(ξ_{2}, β_{1}) = 1

、

(β_{1}, β_{1}) = 2

，

β_{2} = ξ_{2} - \frac{1}{2} β_{1} = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)^{T},

验

(β_{1}, β_{2}) = 0

✓

第三步，单位化：

e_{1} = \frac{1}{2} (- 1, 1, 0)^{T}

，

e_{2} = \frac{2}{3} (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)^{T}

。

第四步，核对个数

2 = dim V

✓ 抽验

(e_{1}, e_{2}) = 0

✓ 并且两者的分量之和都是 $0$ ，确实还在

V

里 ✓

最后那一验最值钱：正交化中算错一个分量，向量会跑出

V

，而内积可能仍然是零。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

正交化时减的是 $α$ 而不是 $β$

公式里投影的基准是已经正交化好的

β_{1}, β_{2}, \dots

，不是原来的

α

。

写成

β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , α _{1} )}{( α _{1} , α _{1} )} α_{1}

在第二步碰巧也对（因为

β_{1} = α_{1}

），但到第三步就全错了。

从一开始就按 $β$ 写，别图省事。

忘了单位化

「正交化」和「标准正交」差一步。

题目要「标准正交基」「正交矩阵的列」时，必须除以长度。

少这一步，后面拼出来的矩阵不是正交矩阵，正交对角化那一章会直接垮掉。

把 $∣ Q ∣ = \pm 1$ 当成判定条件

正交

\Rightarrow ∣ Q ∣ = \pm 1

，反过来不成立。

(1011)

的行列式是

1

，但两列不正交，不是正交矩阵。

它只能用来反向排除，不能用来肯定。

把内积写成 $α β$ 或 $α β^{T}$

内积是

α^{T} β

，结果是一个数。

α β

不是合法的矩阵乘法；

α β^{T}

合法但是个

n \times n

矩阵（外积），完全是另一回事。

转置写错一个位置，答案的类型就变了。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 内积与长度

练 1

设

α = (12)

，

β = (3 - 1)

，则

(α, β) =

________。

练 2

(34) =

________。

练 3

两个向量正交是指（）。

A它们成比例
B它们的内积为 $0$
C它们长度相等
D它们都是单位向量

练 4

零向量与任意向量（）。

A都不正交
B只与零向量正交
C都正交
D是否正交取决于维数

第二组 · 正交化

练 5

施密特正交化中

β_{1} =

________。

练 6

β_{2} = α_{2} - k β_{1}

中的系数

k

应取（）。

A $\frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )}$
B $\frac{( β _{1} , β _{1} )}{( α _{2} , β _{1} )}$
C $(α_{2}, β_{1})$
D $∥ β_{1} ∥$

练 7

把

(05)

单位化得 ________。

练 8

非零向量两两正交的向量组必（）。

A线性相关
B是标准正交基
C线性无关
D含零向量

第三组 · 正交矩阵

练 9

Q

为正交矩阵，则

Q^{- 1} =

________。

练 10

下列矩阵中是正交矩阵的是（）。

A $(1011)$
B $(2001)$
C $(11 1 - 1)$
D $(0110)$

练 11

Q

为正交矩阵，则

∣ Q ∣ =

________。

练 12

Q

为正交矩阵，则对任意

α

有（）。

A $∥ Q α ∥ = ∥ α ∥$
B $∥ Q α ∥ = ∣ Q ∣ \cdot ∥ α ∥$
C $Q α = α$
D $∥ Q α ∥ = 0$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

施密特正交化与正交矩阵

先打基础

1. 内积、长度、正交：先把度量工具备齐

2. 正交向量组必线性无关

请你先证

3. 施密特正交化：一个一个地「减掉投影」

4. 正交矩阵：列向量是一组标准正交基

常用结构

施密特正交化（两个或三个向量）

判断一个矩阵是不是正交矩阵

求一个空间的标准正交基

基础易错

正交化时减的是 α 而不是 β

忘了单位化

把 ∣Q∣=±1 当成判定条件

把内积写成 αβ 或 αβT

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

正交化时减的是 $α$ 而不是 $β$

把 $∣ Q ∣ = \pm 1$ 当成判定条件

把内积写成 $α β$ 或 $α β^{T}$