向量组的线性相关性

线性代数 · 向量

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定义：能不能用「不全为零」的系数配出零向量

对向量组

α_{1}, \dots, α_{s}

，考察方程

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} = 0.

k_{1} = \dots = k_{s} = 0

永远是一组解，叫零解。问题是：除了零解，还有别的吗？

有（即存在一组不全为零的

k_{i}

使等式成立）

\Rightarrow

称这组向量线性相关。

没有（只有零解）

\Rightarrow

称这组向量线性无关。

「不全为零」四个字是全部要害。 不是「全不为零」——只要有一个系数不是零就够了。

翻成方程组语言：按列拼成

A

之后，

相关 ⟺ A x = 0 有非零解, 无关 ⟺ A x = 0 只有零解 .

直观：相关就是「这堆向量里有多余的」，某一个能用别的配出来；无关就是「一个都不多余」。

2. 判据： $r (A)$ 和向量个数 $s$ 比大小

把

α_{1}, \dots, α_{s}

按列拼成

A

（

n \times s

），则

r (A) < s r (A) = s 线性相关 线性无关

r (A) > s

不可能，秩不超过列数。

为什么：

A x = 0

的自由未知量个数是

s - r (A)

。有自由未知量（

r < s

）就有非零解，即相关；没有（

r = s

）就只有零解，即无关。

方阵时还有一条更快的：

s

个

n

维向量，

n = s

时

A

是方阵，

相关 ⟺ ∣ A ∣ = 0, 无关 ⟺ ∣ A ∣ \neq = 0.

先看个数再动手：若

s > n

（向量个数超过维数），必定相关，一个字都不用算。因为

r (A) \leq n < s

。

3. 部分和整体：相关往外传，无关往里传

定理. 若向量组的某个部分组线性相关，则整体组线性相关。

反过来说同一件事（逆否）：若整体组线性无关，则它的任一部分组都线性无关。

口诀：相关往外扩，无关往里缩。

还有两条同样常用的，一起记：

① 含零向量的向量组必相关。 给零向量配系数

1

，其余配

0

，就凑出了不全为零的一组。

② 两个向量相关 $⟺$ 对应分量成比例。 这是

s = 2

时的具体样子。

③ 相关 $⟺$ 其中至少有一个能被其余的线性表示。 这条把本节和上一节接起来了：设

k_{i} \neq = 0

，把

α_{i}

移到一边除以

k_{i}

即得。注意是「至少有一个」，不是「每一个」。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条「部分相关

\Rightarrow

整体相关」的证明，手法是给多出来的向量补系数 $0$ 。设向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关，证明它的任一部分组

α_{1}, \dots, α_{t}

（

t \leq s

）也线性无关。

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

4. 相关 $⟺$ 其中有一个能被其余表示

定理.

α_{1}, \dots, α_{s}

（

s \geq 2

）线性相关

⟺

其中至少有一个向量能由其余

s - 1

个线性表示。

往右推：相关则有不全为零的

k_{i}

使和为零。取一个

k_{j} \neq = 0

，把第

j

项移到等号另一边再除以

k_{j}

：

α_{j} = - \frac{1}{k _{j}} i \neq = j \sum k_{i} α_{i} .

往左推：若

α_{j}

能被其余表示，把它移回来就得到一组系数，其中

α_{j}

的系数是

- 1 \neq = 0

，不全为零。

「至少有一个」不能改成「每一个」。 例如

α_{1} = (10), α_{2} = (20), α_{3} = (01)

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断一组向量的线性相关性

第一步：先数个数——若向量个数

s

大于维数

n

，直接判相关，收工。

第二步：看有没有零向量，有则直接判相关。

第三步：按列拼成

A

，化行阶梯形求

r (A)

。

第四步：

r (A) < s

由定义证明一组向量无关

第一步：设

k_{1} α_{1} + \dots + k_{s} α_{s} = 0

（这是起手式，必须写）。

第二步：想办法「打掉」除一个以外的所有项——常用手法是两边同乘某个矩阵、或代入已知的无关组。

第三步：逐个推出

k_{i} = 0

。

第四步：所有系数全为零，按定义得无关。

例例. 设

α_{1}, α_{2}

线性无关，证明

β_{1} = α_{1} + α_{2}

、

β_{2} = α_{1} - α_{2}

也线性无关。

第一步，起手式：设

k_{1} β_{1} + k_{2} β_{2} = 0

。

第二步，代入并按

α

归并：

(k_{1} + k_{2}) α_{1} + (k_{1} - k_{2}) α_{2} = 0.

第三步，由

α_{1}, α_{2}

无关，这两个系数必须都为零：

k_{1} + k_{2} = 0, k_{1} - k_{2} = 0 ⟹ k_{1} = k_{2} = 0.

第四步，所有系数全为零，按定义

β_{1}, β_{2}

无关。

■

第一步那句「设

\dots = 0

」不是客套：证「无关」就是证「这个式子只能有零解」，不写出它，后面推什么都没有靶子。

已知相关，求某个向量的表示式

第一步：由相关写出

k_{1} α_{1} + \dots + k_{s} α_{s} = 0

，系数不全为零。

第二步：说明你要除的那个系数不为零——通常靠「去掉它之后剩下的那组无关」来反证。

第三步：移项、除以该系数，得到表示式。

第四步：若还问唯一性，用「剩下那组无关」得表示法唯一。

例例. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，而

α_{1}, α_{2}

线性无关。证明

α_{3}

可由

α_{1}, α_{2}

唯一表示。

第一步，由相关，存在不全为零的

k_{1}, k_{2}, k_{3}

使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} = 0

。

第二步，说明 $k_{3} \neq = 0$ 。反证：若

k_{3} = 0

，上式成为

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} = 0

且

k_{1}, k_{2}

不全为零——与「

α_{1}, α_{2}

无关」矛盾。

第三步，移项、除以

k_{3}

：

α_{3} = - \frac{k _{1}}{k _{3}} α_{1} - \frac{k _{2}}{k _{3}} α_{2} .

第四步，唯一性：若还有一组

l_{1}, l_{2}

，两式相减得

α_{1}, α_{2}

的一个零组合，由无关得系数全为零，故表示唯一。

■

第二步是这道题全部的分量所在——不说明除数不为零就直接除，是在用一个可能不成立的前提。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把「不全为零」看成「全不为零」

定义要的是至少有一个系数不是零，不是每个都不是零。

1 \cdot α_{1} + 0 \cdot α_{2} = 0

这组系数

(1, 0)

就是合法的「不全为零」。

看错这两个字，几乎所有判断题都会反过来。

「相关」理解成「每一个都能被其余表示」

定理说的是至少有一个。

α_{1} = (10)

、

α_{2} = (20)

、

α_{3} = (01)

方向用反：拿「整体相关」去推「部分相关」

能传的只有两个方向：部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关、整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关。

另外两个方向都是错的：

整体相关

\neq \Rightarrow

部分相关；部分无关

\neq \Rightarrow

整体无关。

(10), (01), (11)

就是反例：整体相关而前两个无关。

证无关时忘了写「设 $\sum k_{i} α_{i} = 0$ 」

证无关只有一个起手式：先设这个线性组合等于零，再推出所有系数必为零。

跳过这一句直接开算，等于没按定义走，推理链是断的。

同样地，结尾必须回到「所以

k_{1} = \dots = k_{s} = 0

，故线性无关」，把定义合上。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

向量组

α_{1}, \dots, α_{s}

线性相关是指（）。

A存在全为零的 $k_{i}$ 使 $\sum k_{i} α_{i} = 0$
B对一切 $k_{i}$ 都有 $\sum k_{i} α_{i} = 0$
C每个 $α_{i}$ 都能被其余表示
D存在不全为零的 $k_{i}$ 使 $\sum k_{i} α_{i} = 0$

练 2

含有零向量的向量组一定线性 ________。

练 3

5

个

3

维向量组成的向量组（）。

A必线性无关
B必线性相关
C可能无关也可能相关
D无法判断

练 4

α_{1} = (13)

与

α_{2} = (26)

线性 ________。

第二组 · 用秩来判

练 5

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为

4

维向量，拼成的矩阵

A

满足

r (A) = 3

，则该向量组线性 ________。

练 6

设

A

为

n

阶方阵，其列向量组线性无关，则（）。

A $∣ A ∣ = 0$
B $r (A) < n$
C $A$ 可逆
D $A x = 0$ 有非零解

练 7

若

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) =

________。

练 8

已知

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则下列一定无关的是（）。

A $α_{1}, α_{2}$
B $α_{1}, α_{2}, α_{3}, β$ （ $β$ 任意）
C $α_{1}, α_{2}, α_{3}, 0$
D $α_{1} + α_{2}, α_{1} + α_{2}$

第三组 · 相关与表示

练 9

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，

α_{1}, α_{2}

线性无关，则（）。

A $α_{1}$ 能由 $α_{2}, α_{3}$ 唯一表示
B $α_{3}$ 能由 $α_{1}, α_{2}$ 唯一表示
C $α_{3} = 0$
D三个向量两两成比例

练 10

设

α_{1}, α_{2}

线性无关，

β_{1} = α_{1} + α_{2}

，

β_{2} = α_{1} - α_{2}

，则

β_{1}, β_{2}

线性 ________。

练 11

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。

A $α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}$
B $α_{1}, α_{1} + α_{2}, α_{1} + α_{2} + α_{3}$
C $α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}$
D $2 α_{1}, 3 α_{2}, 4 α_{3}$

练 12

设

A

为

3

阶方阵且

∣ A ∣ = 0

，则

A

的列向量组线性 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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