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向量的线性组合与线性表示
线性代数 · 向量
这一条要先会：矩阵的运算、矩阵的秩
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 向量就是一列数，线性组合就是「配比后相加」
n 个数排成一列，叫一个 n 维列向量：
α=a1a2⋮an.
排成一行就是行向量。考研里默认用列向量，因为它能直接当矩阵的一列。
给一组向量 α1,α2,…,αs 和一组数 k1,k2,…,ks，
k1α1+k2α2+⋯+ksαs
叫它们的一个线性组合，ki 叫系数。
只有两种运算：对应位置相加、整列同乘一个数。没有第三种。
几何上，n=2,3 时线性组合就是「沿这几个方向各走一段，再首尾相接」。两个不平行的向量的所有线性组合铺满一个平面；三个不共面的向量的所有线性组合铺满整个空间。2. 「能否线性表示」就是「方程组有没有解」
若存在一组数 k1,…,ks 使
β=k1α1+⋯+ksαs,
就说 β 能由 α1,…,αs 线性表示。
这句话和「方程组有解」是同一句话。 把向量按列拼成 A=(α1,…,αs)，上式就是
Ax=β.
所以：
β 能被表示⟺Ax=β 有解.
这一步翻译是本章的枢纽。 往后凡是遇到「能不能表示」「表示法唯不唯一」，一律先翻成方程组，再用秩去判——不要在向量语言里硬想。3. 判据：比 r(A) 和 r(A,β)
由上一条，问题变成「Ax=β 有没有解」，而这件事只看两个秩：
β 能被表示⟺r(A)=r(A,β).
这里 (A,β) 是把 β 添在 A 右边得到的增广矩阵。
为什么是这个判据：添一列之后秩要么不变、要么加一。不变说明 β 没带来新的方向，它落在原来那些列撑出的范围里；加一说明 β 指向了一个全新的方向，拼不出来。
进一步，设 s 是向量个数：
r(A)=r(A,β)r=r(A,β)=sr=r(A,β)<s不能表示唯一表示无穷多种
「能不能」和「唯不唯一」是两个问题：第一个比两个秩，第二个再把秩和向量个数 s 比。4. 表示法唯一还是无穷多，取决于 r 与 s
承上，能表示的前提下，记 r=r(A)=r(A,β)，s 是向量个数（也就是未知数个数）：
r=s 时表示法唯一。 方程组 Ax=β 没有自由未知量，解只有一个。
r<s 时有无穷多种表示法。 有 s−r 个自由未知量，系数可以连续地变。
r>s 不可能——秩不超过列数。
一个常用的推论：若 α1,…,αs 本身线性无关（下一节的词，即 r=s），则任何能被它们表示的 β，表示法都唯一。这就是「基」这个概念的来处。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
判断 β 能否由一组向量表示
第一步：把 α1,…,αs 按列拼成 A，把 β 添在右边，得 (A,β)。
第二步：对 (A,β) 作初等行变换，化成行阶梯形。
第三步：数左边 s 列的非零行个数得 r(A)，数整个矩阵的非零行个数得 r(A,β)。
第四步：两数相等则能表示，不等则不能。例例. β=(1,2,3)T 能否由
α1=(1,1,1)T、
α2=(1,2,4)T 线性表示？
第一步，按列拼，
β 添在右边：
(A,β)=111124123.第二步，行变换
r2−r1、
r3−r1，再
r3−3r2：
→100113112→10011011−1.第三步，左边两列的非零行
2 行
⇒ r(A)=2；整个矩阵非零行
3 行
⇒ r(A,β)=3。
第四步，
2=3，
不能表示。
几何上：
α1,α2 张成一张平面，而
β 不在那张平面上。
求出表示式的系数
第一步：先按上一条确认能表示，否则不必往下走。
第二步：把 (A,β) 继续化到行最简形（主元为 1，主元所在列其余位置为 0）。
第三步：主元列对应的未知量用其余量表出；没有自由未知量时直接读出唯一解。
第四步：把系数写回向量式 β=k1α1+⋯+ksαs，并代回核对一次。例例. β=(3,5,7)T 能否由
α1=(1,1,1)T、
α2=(1,2,3)T 表示？能就求出系数。
第一步，先判能不能：
(A,β)=111123357→100110320,r(A)=r(A,β)=2 ✓ 能表示。
第二步，继续化到
行最简形（
r1−r2）：
100010120.第三步，主元在第
1、
2 列，没有自由未知量，直接读出
k1=1、
k2=2。
第四步，写回向量式并核对：
β=α1+2α2=(1,1,1)T+2(1,2,3)T=(3,5,7)T ✓ 判断向量组 B 能否由向量组 A 表示
第一步：B 的每一个向量都要能被 A 表示才算数。
第二步：一次性处理——比较 r(A) 与 r(A,B)（把 B 的列全添在 A 右边）。
第三步：r(A)=r(A,B) 则 B 能由 A 表示。
第四步：若还要问「两组互相可表示」（等价向量组），就再比一次 r(B) 与 r(A,B)。例例. A: α1=(1,0)T,α2=(0,1)T；
B: β1=(1,1)T,β2=(2,3)T。
B 能由
A 表示吗？两组等价吗？
第一步，
B 的
每一个向量都要能被
A 表示才算。
第二步，一次性处理——把
B 的列全添到
A 右边：
(A,B)=(10011123),已是行最简形，
r(A)=2、
r(A,B)=2。
第三步，相等
⇒ B 能由
A 表示（确实
β1=α1+α2、
β2=2α1+3α2）。
第四步，再比
r(B)：
1123=1=0，
r(B)=2=r(A,B) ⇒ A 也能由
B 表示。两条都过，
两组等价。
只验一个方向就下「等价」的结论，是半道题。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
按行拼矩阵，判据就全错了
被组合的向量必须按列站成 A，判据 r(A)=r(A,β) 才成立。
按行拼的话 Ax 算出来不是线性组合，后面全盘对不上。
检查办法：拼完看一眼形状——s 个 n 维向量拼出来应该是 n×s，行数是维数，列数是个数。只算 r(A) 就下结论
r(A) 单独一个数说明不了任何事，必须和 r(A,β) 比。
常见错法：看到 r(A)=2<3 就说「不能表示」。错——那只说明这三个向量自己相关，和 β 没关系。
一定要把 β 添进去再化一次。把「能表示」当成「唯一表示」
r(A)=r(A,β) 只回答了能不能。
唯不唯一要再比一次：r=s 才唯一，r<s 是无穷多种。
题目问「表示法是否唯一」而你只答了「能表示」，这一问就是零分。把「线性表示」和「线性相关」搅在一起
两件事：
线性表示说的是 β 和一组向量的关系（β 在不在它们撑出的范围里）。
线性相关说的是一组向量自己内部的关系（有没有多余的）。
β 能被 α1,α2 表示，和 α1,α2 是否相关，是两个独立的问题。下一节专讲后者。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 先把算术做熟
练 1
设 α1=(12)，α2=(31)，则 2α1+α2= ________。练 2
下列哪一个一定是 α1,α2 的线性组合（ ）。- Aα1α2
- B零向量 0
- Cα1/α2
- Dα12
练 3
把 α1,α2,α3（每个都是 4 维）按列拼成矩阵 A，则 A 是 ________ 行 ________ 列的。练 4
「β 能由 α1,…,αs 线性表示」等价于（ ）。- AAx=β 有解（A=(α1,…,αs)）
- BAx=0 有非零解
- C∣A∣=0
- Dβ=0
第二组 · 用秩来判
练 5
已知 r(A)=3，r(A,β)=4，则 β ________（填「能」或「不能」）由 A 的列向量线性表示。练 6
设 α1=(11)，α2=(22)，β=(12)，则（ ）。- Aβ 能表示，且表示法唯一
- Bβ 能表示，有无穷多种表示法
- Cβ 不能表示
- D条件不足，无法判断
练 7
设 α1,α2,α3 为 3 维向量，r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β)=2，则 β 的表示法有 ________ 种。练 8
已知 β 能由 α1,α2,α3 线性表示且表示法唯一，则必有（ ）。- Ar(α1,α2,α3)=2
- Bβ=0
- Cr(α1,α2,α3)=3
- Dα1,α2,α3 线性相关
第三组 · 把表示式求出来
练 9
设 α1=(10)，α2=(11)，β=(43)，则 β= ________ α1+ ________ α2。练 10
设 α1,α2,α3 线性无关，β=α1+α2，则 β 由 α1,α2,α3 表示的表示法（ ）。练 11
设 α1=110，α2=011，β=121，则 β ________（填「能」或「不能」）被表示。练 12
设 A 为 3×4 矩阵，r(A)=3，则对任意 3 维向量 β，Ax=β（ ）。- A必有唯一解
- B必无解
- C必有无穷多解
- D解的个数与 β 有关