向量的线性组合与线性表示

§9.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.07 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

4.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算矩阵的秩③ 掌握后可解锁向量组的线性相关性非齐次线性方程组解的结构

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 基本判据 $r (A) = r (A, β)$ ：把能否表示化归为方程组是否相容，三种情形分别定出解的个数★★ 必会

判断

β

能否由

α_{1}, \dots, α_{s}

线性表示，总是先按列排成

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

，再把系数矩阵的秩

r (A)

与增广矩阵的秩

r (A, β)

加以比较。共有三种情形：

r (A) < r (A, β)

时方程组无解，故不能表示；

r (A) = r (A, β) = s

时有唯一解，表示法唯一；

r (A) = r (A, β) < s

时有无穷多解，可以表示但不唯一。必须注意，判定分两步：先看两个秩是否相等，相等以后还要把这个公共的秩与向量的个数 $s$ 再比较一次。只判断能否表示而漏掉第二步，就说不出表示是否唯一。

证明 / 推导

把

β = x_{1} α_{1} + \dots + x_{s} α_{s}

按分量展开，第

i

个分量给出一个方程，其系数矩阵恰好是

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

，右端是

β

。因此

β

可以表示

⟺

A x = β

相容。由线性方程组的理论，相容

⟺ r (A) = r (A, β)

；相容时，自由未知量的个数

= s - r (A)

，它为

0

时有唯一解，

> 0

时有无穷多解。上述三种情形即由此而来。

■

举例说明

设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, 2, 3)^{T}, α_{3} = (1, 3, 5)^{T}, β = (3, 5, 7)^{T}

。把增广矩阵化为行最简形，得

100010 - 1 20 120

。这时

r (A) = r (A, β) = 2 < 3

，故可以表示，但表示法不唯一，通解为

β = (1 + t) α_{1} + (2 - 2 t) α_{2} + t α_{3}

。若把

β

改为

(3, 5, 8)^{T}

，则末行变为

(0, 0, 0 ∣ 1)

，

r (A) = 2 < 3 = r (A, β)

，于是不能表示。

2. 表示是否唯一取决于线性无关性：表示唯一 $⟺$ 参与表示的向量组线性无关★ 要懂

设

β

能由

α_{1}, \dots, α_{s}

表示。表示法是否唯一，只取决于 $α$ 这一组向量本身：如果它们线性无关，那么凡能表示的

β

，其表示法都唯一；如果它们线性相关，即其中含有多余的向量，那么只要

β

能表示，就必有无穷多种表示法，因为可以在一种表示上添加一个系数不全为零的零组合。由此可见，线性表示与下一节的线性相关性是紧密相连的。

证明 / 推导

设

β

有两个表示

β = \sum k_{i} α_{i} = \sum k_{i}^{'} α_{i}

，两式相减，得

\sum (k_{i} - k_{i}^{'}) α_{i} = 0

。
如果

α_{1}, \dots, α_{s}

线性无关，那么只能

k_{i} - k_{i}^{'} = 0

，即

k_{i} = k_{i}^{'}

，故表示唯一。
反之，如果

α

这一组线性相关，那么存在不全为零的

c_{i}

使

\sum c_{i} α_{i} = 0

。把它加到任何一种表示上，得

β = \sum (k_{i} + c_{i}) α_{i}

，系数已经改变而等式仍然成立，可见表示不唯一。

■

举例说明

α_{1} = (1, 0)^{T}, α_{2} = (0, 1)^{T}, α_{3} = (1, 1)^{T}

线性相关，因为

α_{3} = α_{1} + α_{2}

。于是

β = (2, 3)^{T}

既可写成

2 α_{1} + 3 α_{2}

，也可写成

α_{1} + 2 α_{2} + α_{3}

，还可写成

3 α_{1} + 4 α_{2} - α_{3}

，这样的写法有无穷多种。原因就在于

α

这一组中含有多余的向量。

3. 以少表多必线性相关：一个用秩的不等式证明的常用结论

如果向量组

(I) : β_{1}, \dots, β_{t}

可由

(II) : α_{1}, \dots, α_{s}

线性表示，那么

r (I) \leq r (II)

。推论（常考）：若还有

t > s

，即被表示的向量个数多于用来表示的向量个数，那么

(I)

必线性相关。也就是说，用较少的向量去表示较多的向量时，被表示的那一组一定线性相关。这一结论在判定相关性和证明有关命题时经常用到。

证明 / 推导

(I)

可由

(II)

表示，就是说存在矩阵

C_{s \times t}

使

(β_{1}, \dots, β_{t}) = (α_{1}, \dots, α_{s}) C

。两边取秩，得

r (I) = r ((α_{1}, \dots, α_{s}) C) \leq r (α_{1}, \dots, α_{s}) = r (II)

，这里用到乘积的秩不超过任一因子的秩。
若

t > s

，则

r (I) \leq r (II) \leq s < t

，即

(I)

的秩小于它所含向量的个数

t

，因此

(I)

线性相关。

■

举例说明

任取

R^{2}

中的三个向量

β_{1}, β_{2}, β_{3}

，它们都能由基本向量

α_{1} = (1, 0)^{T}, α_{2} = (0, 1)^{T}

表示，而后者只有

2

个，又

3 > 2

，所以

β_{1}, β_{2}, β_{3}

必线性相关。

s

个

n

维向量当

s > n

时必线性相关，其根据就在于此。

4. 向量组等价不同于矩阵等价：等价 $\Rightarrow$ 秩相等，但秩相等不一定等价

向量组等价是指两组向量可以相互线性表示；矩阵等价是指存在可逆矩阵

P, Q

使

P A Q = B

，其充要条件是两个矩阵同型且秩相等。两个名称相近而判据不同，试题常在此处考查概念的辨析。有两条结论必须分清：向量组等价

\Rightarrow

两组的秩相等，因为二者可以相互表示，秩相互

\leq

；但秩相等未必等价，这样的反例很容易举出。

证明 / 推导

设向量组

(I), (II)

等价。因为

(I)

可由

(II)

表示

\Rightarrow r (I) \leq r (II)

，又因为

(II)

可由

(I)

表示

\Rightarrow r (II) \leq r (I)

。两式合起来即得

r (I) = r (II)

。

■

举例说明

(I) : (1, 0)^{T}

与

(II) : (0, 1)^{T}

的秩都等于

1

，但由

(1, 0)^{T}

表示不出

(0, 1)^{T}

，反过来也不行，因此二者不等价。由此可见，秩相等这一条件比等价弱得多；判断是否等价，仍须回到能否相互表示。

💡 小知识

线性表示这个词，就是线性代数这门课名称的来处：整门课研究的就是数乘与相加这一种运算到底能生成什么。RGB 三原色配色、声音按频率分解、量子态的叠加，做的都是同一件事，即用一组向量把目标表示出来。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

β = (2, 3, 5)^{T}

。判断

β

能否由

α_{1}, α_{2}

线性表示；若能，写出表示式。难度 1

设

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} = β

，按分量写开：

x_{1} (1, 0, 1)^{T} + x_{2} (0, 1, 1)^{T} = (x_{1}, x_{2}, x_{1} + x_{2})^{T} = (2, 3, 5)^{T} .

由前两个分量直接读出

x_{1} = 2, x_{2} = 3

；代入第三分量检验

x_{1} + x_{2} = 2 + 3 = 5

，恰好吻合，方程组相容。故

β

可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，且

β = 2 α_{1} + 3 α_{2} .

（验证：

2 (1, 0, 1)^{T} + 3 (0, 1, 1)^{T} = (2, 3, 5)^{T} = β

。）

■

例 2 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 4)^{T}

，

α_{3} = (1, 3, 9)^{T}

，

β = (2, 0, - 4)^{T}

。判断

β

能否由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示；若能，求表示式。难度 1

把向量按列拼成增广矩阵

(α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣ β)

，作初等行变换：

111124139 20 - 4 r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100113128 2 - 2 - 6 r_{3} - 3 r_{2} 100110122 2 - 2 0 .

r (A) = r (A, β) = 3 =

向量个数，方程组有唯一解。回代：末行

2 x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = 0

；中行

x_{2} + 2 x_{3} = - 2 \Rightarrow x_{2} = - 2

；首行

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 \Rightarrow x_{1} = 4

。故

β = 4 α_{1} - 2 α_{2} + 0 \cdot α_{3} = 4 α_{1} - 2 α_{2} .

（验证：

4 (1, 1, 1)^{T} - 2 (1, 2, 4)^{T} = (2, 0, - 4)^{T} = β

。）

■

例 3 设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

，

β = (3, 5, 7)^{T}

。讨论

β

能否由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，表示是否唯一。难度 2

对增广矩阵

(α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣ β)

作初等行变换化到行最简形：

111123135357 r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100112124324 r_{3} - 2 r_{2} r_{1} - r_{2} 100010 - 1 20 120 .

于是

r (A) = r (A, β) = 2

，方程组相容，故

β

可被表示；但

r = 2 < 3 =

向量个数，有一个自由未知量，表示不唯一。令

x_{3} = t

，由行最简形得

x_{1} = 1 + t, x_{2} = 2 - 2 t

，即

β = (1 + t) α_{1} + (2 - 2 t) α_{2} + t α_{3} (t \in R) .

取

t = 0

得最简单的一个：

β = α_{1} + 2 α_{2}

。（验证：

(1, 1, 1)^{T} + 2 (1, 2, 3)^{T} = (3, 5, 7)^{T} = β

。）
要点：

r (A) = r (A, β)

保证「能表示」；是否唯一，看这个公共秩与向量个数是否相等。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　　）

A $k 334, k \in R$
B $k 3510, k \in R$
C $k - 1 12, k \in R$
D $k 158, k \in R$

2022 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设

α_{1} = (λ, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, λ, 1)^{T}, α_{3} = (1, 1, λ)^{T}, α_{4} = (1, λ, λ^{2})^{T}

. 若向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

与

α_{1}, α_{2}, α_{4}

等价，则

λ

的取值范围是（　　）

A ${0, 1}$ .
B ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 2}$ .
C ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1, λ \neq = - 2}$ .
D ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1}$ .

2021 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

3

阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

B = (β_{1}, β_{2}, β_{3})

，若向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

可由向量组

β_{1}, β_{2}, β_{3}

线性表示，则（　　）

A $A x = 0$ 的解均为 $B x = 0$ 的解
B $A^{T} x = 0$ 的解均为 $B^{T} x = 0$ 的解
C $B x = 0$ 的解均为 $A x = 0$ 的解
D $B^{T} x = 0$ 的解均为 $A^{T} x = 0$ 的解

2019 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

已知向量组

I

：

α_{1} = 114, α_{2} = 104, α_{3} = 12 a^{2} + 3

与

II

：

β_{1} = 11 a + 3, β_{2} = 02 1 - a, β_{3} = 13 a^{2} + 3

。若向量组

I

与

II

等价，求

a

的取值，并将

β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为

3

个三维向量，已知

r (A) = r (A, β) = 3

，则

β

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示的情况是（　）。

A可唯一表示
B有无穷多种表示
C不能表示
D无法确定

练习 2 · 填空题

设

α_{1} = (1, 2, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 3, 2)^{T}

，

β = (2, 5, a)^{T}

。若

β

能由

α_{1}, α_{2}

线性表示，则

a =

____。

练习 3 · 选择题

设

α_{1} = (1, - 1, 2)^{T}

，

α_{2} = (2, - 2, 4)^{T}

，

β = (1, 0, 1)^{T}

，则

β

由

α_{1}, α_{2}

表示的情况是（　）。

A可唯一表示
B有无穷多种表示
C不能表示
D无法确定

练习 4 · 填空题

设三维向量

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表示法唯一，则秩

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) =

____。

练习 5 · 选择题

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，

β

为同维向量，则「

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示」的充分必要条件是（　　）。

A $α_{1}, α_{2}, α_{3}, β$ 线性无关
B $α_{1}, α_{2}, α_{3}, β$ 线性相关
C $β = 0$
D $r (α_{1}, α_{2}, α_{3}, β) = 3$

练习 6 · 填空题

设

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}, α_{2} = (2, 3, a)^{T}, α_{3} = (1, 1, 1)^{T}, β = (1, 0, b)^{T}

。若

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，则

a, b

应满足的条件是 ____。

练习 7 · 解答题

设

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, 2, 3)^{T}, α_{3} = (1, 3, t)^{T}, β = (1, 4, b)^{T} .

讨论

t, b

取不同值时

β

能否由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，能表示时求出全部表示式。

2011 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设向量组

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

不能由向量组

β_{1} = (1, 1, 1)^{T}, β_{2} = (1, 2, 3)^{T}, β_{3} = (3, 4, a)^{T}

线性表示。

（Ⅰ）求

a

的值；（Ⅱ）将

β_{1}, β_{2}, β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示。

2005 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 9 分

确定常数

a

，使向量组

α_{1} = (1, 1, a)^{T}

，

α_{2} = (1, a, 1)^{T}

，

α_{3} = (a, 1, 1)^{T}

可由向量组

β_{1} = (1, 1, a)^{T}

，

β_{2} = (- 2, a, 4)^{T}

，

β_{3} = (- 2, a, a)^{T}

线性表示，但向量组

β_{1}, β_{2}, β_{3}

不能由向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示。

向量的线性组合与线性表示

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 基本判据 r(A)=r(A,β)：把能否表示化归为方程组是否相容，三种情形分别定出解的个数★★ 必会

2. 表示是否唯一取决于线性无关性：表示唯一 ⟺ 参与表示的向量组线性无关★ 要懂

3. 以少表多必线性相关：一个用秩的不等式证明的常用结论

4. 向量组等价不同于矩阵等价：等价 ⇒ 秩相等，但秩相等不一定等价

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 基本判据 $r (A) = r (A, β)$ ：把能否表示化归为方程组是否相容，三种情形分别定出解的个数★★ 必会

2. 表示是否唯一取决于线性无关性：表示唯一 $⟺$ 参与表示的向量组线性无关★ 要懂

4. 向量组等价不同于矩阵等价：等价 $\Rightarrow$ 秩相等，但秩相等不一定等价