要点精讲 把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。
1. 结构定理（通解等于特解与导出组通解之和）的证明，以及为什么解集不是向量空间★★ 必会 非齐次线性方程组 A x = b ( b = 0 ) x = η ∗ + ( 导出组 A x = 0 的通解 ) η ∗ 任意一个 特解。这里的要点是只有齐次部分带任意常数，特解前面不带系数 。从几何上看，非齐次方程组的解集是把通过原点的齐次解空间整体平移 η ∗ 不通过原点 ，因为当 b = 0 x = 0 不是向量空间 ，两个解之和一般不再是解。记住这一条，就不会把非齐次方程组的解集误认为子空间。
证明 / 推导 设 η ∗ A x = b ξ 1 , … , ξ n − r A x = 0 k i A ( η ∗ + ∑ k i ξ i ) = A η ∗ + ∑ k i ( A ξ i ) = b + 0 = b x A x = b A ( x − η ∗ ) = b − b = 0 x − η ∗ ∑ k i ξ i x = η ∗ + ∑ k i ξ i η ∗ + ∑ k i ξ i ■ 举例说明 取 { x 1 + x 2 + 2 x 3 = 4 , 2 x 1 + x 2 + x 3 = 5 η 1 = ( 1 , 3 , 0 ) T η 2 = ( 2 , 0 , 1 ) T η 1 + η 2 A ( η 1 + η 2 ) = A η 1 + A η 2 = b + b = 2 b = ( 8 , 10 ) T = ( 4 , 5 ) T = b , η 1 + η 2 不是 解。这就说明非齐次方程组的解集对加法不封闭，因而不是向量空间。■ 2. 特解可以另行选取而通解集合不变：任意两个特解只相差导出组的一个解★ 要懂 解题时常会遇到自己所取的特解与答案上的不一致。事实上特解并不唯一 ，解集这个仿射平面上的每一点都可以取作 η ∗ 所表示的集合完全相同 ，只是同一集合的不同参数表示。一般地，令自由未知量全取 0 来求特解，计算最简便，也最不容易出错。
证明 / 推导 设 η 1 ∗ , η 2 ∗ A x = b A ( η 1 ∗ − η 2 ∗ ) = b − b = 0 η 1 ∗ − η 2 ∗ ξ 0 = ∑ c i ξ i S 1 S 2 = { η 1 ∗ + ∑ k i ξ i } = { η 2 ∗ + ∑ k i ′ ξ i } . S 1 η 1 ∗ + ∑ k i ξ i = η 2 ∗ + ( ξ 0 + ∑ k i ξ i ) = η 2 ∗ + ∑ k i ′ ξ i ∈ S 2 k i ′ = c i + k i S 1 = S 2 ■ 举例说明 上题的解集，若取特解 η 1 = ( 1 , 3 , 0 ) T ξ = ( 1 , − 3 , 1 ) T x = ( 1 , 3 , 0 ) T + k ( 1 , − 3 , 1 ) T η 2 = ( 2 , 0 , 1 ) T x = ( 2 , 0 , 1 ) T + k ′ ( 1 , − 3 , 1 ) T η 2 − η 1 = ( 1 , − 3 , 1 ) T = ξ k = k ′ + 1 ■ 3. 有解判别法 r(A)=r(A,b) 的实质：b 能否由 A 的列向量线性表示★★ 必会 判断有没有解时，为什么要把增广列 b A x = b x 1 α 1 + ⋯ + x n α n = b 问 b A α i 。b ⟺ b r ( α 1 , … , α n ) = r ( α 1 , … , α n , b ) r ( A ) = r ( A , b ) 9 b
证明 / 推导 记 A = ( α 1 , … , α n ) A x = b ⟺ x i ∑ x i α i = b ⟺ b α 1 , … , α n b ⟺ r ( A ) = r ( A , b ) b b r ( A , b ) = r ( A ) r ( A , b ) = r ( A ) = r A r ( A , b ) b r ■ 举例说明 问 b = ( 1 , 4 , 3 ) T α 1 = ( 1 , 2 , 1 ) T , α 2 = ( 1 , 3 , 2 ) T , α 3 = ( − 1 , 1 , 2 ) T A x = b A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ( A ∣ b ) r ( A ) = r ( A , b ) = 2 ( 0 , 0 , 0 ∣ 0 ) 可以 表示，并且表示法不唯一，含 1 b = − α 1 + 2 α 2 + 0 ⋅ α 3 x = ( − 1 , 2 , 0 ) T ■ 4. 抽象综合题的一般做法：只给出秩与若干个解，求全部解★★ 必会 大题中常常不给出 A r ( A ) n − r 个数 ；② 把已知的解两两相减 得到导出组的解，因为 A ( η i − η j ) = 0 n − r 线性无关 的，就构成一组基础解系；③ 取其中任一已知解作特解 η ∗ x = η ∗ + ∑ k i ξ i 个数是否够、是否线性无关 ，它们的个数必须恰为 n − r
举例说明 设 4 A x = b r ( A ) = 2 η 1 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) T , η 2 = ( 0 , 1 , 0 , 1 ) T , η 3 = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) T n − r = 4 − 2 = 2 2 0 A x = 0 ξ 1 ξ 2 = η 1 − η 3 = ( 0 , − 1 , 0 , − 1 ) T = η 2 − η 3 = ( − 1 , 0 , − 1 , 0 ) T . 2 = n − r η ∗ = η 3 x = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) T + k 1 ( 0 , − 1 , 0 , − 1 ) T + k 2 ( − 1 , 0 , − 1 , 0 ) T . η 1 − η 2 = ( 1 , − 1 , 1 , − 1 ) T = ξ 1 − ξ 2 ■ 真题精选 近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。
2025 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分
设矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) α 1 , α 2 , α 3 α 1 + α 2 = α 3 + α 4 A x = α 1 + 4 α 4 x =
2018 年 · 数二 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分
已知
a 是常数，且矩阵
A = 1 1 2 2 3 7 a 0 − a 可经初等列变换化为矩阵
B = 1 0 − 1 a 1 1 2 1 1 。
（Ⅰ）求
a ；
（Ⅱ）求满足
A P = B 的可逆矩阵
P 。
2017 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分
设 3 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) 3 α 3 = α 1 + 2 α 2 r ( A ) = 2 β = α 1 + α 2 + α 3 A x = β
2016 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分
设矩阵
A = 1 1 a + 1 1 0 1 1 − a a a + 1 ，
β = 0 1 2 a − 2 ，且方程组
A x = β 无解。
（Ⅰ）求
a 的值；
（Ⅱ）求方程组
A T A x = A T β 的通解。
随堂练习 先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。
练习 1 · 选择题
设 η 1 , η 2 A x = b ( b = 0 ) ξ A x = 0 A x = b
A η 1 + η 2 B η 1 + ξ C ξ D 2 η 1 + 2 η 2 练习 2 · 选择题
设 η 1 , η 2 , η 3 A x = b 一定 是 A x = b
A η 1 + η 2 − η 3 B η 1 + η 2 + η 3 C 2 η 1 − 3 η 2 D η 1 − η 2 练习 3 · 填空题
设 A x = b r ( A ) = r ( A , b ) = 2 n = 5
练习 4 · 选择题
设 A 4 × 5 A x = b r ( A ) = 4 A x = b
A 有唯一解B 有无穷多解，通解含 1 C 无解D 有无穷多解，通解含 2 练习 5 · 填空题
非齐次线性方程组
⎩ ⎨ ⎧ x 1 + x 2 = 2 , x 2 + x 3 = 3 , x 1 + 2 x 2 + x 3 = 5 的一个特解（取自由变量
x 3 = 0 ）为 ____。
练习 6 · 选择题
设 A 4 b = 0 A x = b 3 r ( A )
练习 7 · 填空题
设 A x = b 4 r ( A ) = 3 η 1 = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) T η 2 = ( 2 , 3 , 4 , 5 ) T A x = b k
练习 8 · 解答题
已知非齐次线性方程组
⎩ ⎨ ⎧ x 1 + x 2 − x 3 = 1 , 2 x 1 + 3 x 2 + a x 3 = 3 , x 1 + a x 2 + 3 x 3 = b . ( 1 ) 讨论
a , b 取何值时方程组有唯一解、无穷多解、无解；
( 2 ) 当方程组有无穷多解时，求出它的通解。
2015 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分
设矩阵
A = 1 1 1 1 2 4 1 a a 2 ，
b = 1 d d 2 。若集合
Ω = { 1 , 2 } ，则线性方程组
A x = b 有无穷多解的充分必要条件为（ ）
A a ∈ / Ω , d ∈ / Ω B a ∈ / Ω , d ∈ Ω C a ∈ Ω , d ∈ / Ω D a ∈ Ω , d ∈ Ω 2014 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分
设矩阵
A = 1 0 1 − 2 1 2 3 − 1 0 − 4 1 − 3 ，
E 为
3 阶单位矩阵。
（Ⅰ）求方程组
A x = 0 的一个基础解系；
（Ⅱ）求满足
A B = E 的所有矩阵
B 。