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非齐次线性方程组解的结构

线性代数 · 线性方程组

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 解的结构：一个特解 $+$ 齐次通解

对

A x = b

（

b \neq = 0

），把右端换成零得到的

A x = 0

叫它的导出组。

结构定理. 若

η^{*}

是

A x = b

的一个解（称特解），

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

是导出组的基础解系，则

A x = b

的全部解为

x = η^{*} + k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r},

k_{i}

取遍一切实数。

两件事拼起来：

① 任意两个非齐次解之差是齐次解（上一节末尾那道留给你写的证明）。所以任何解都能写成

η^{*} + (齐次解)

。

② 特解加齐次解仍是非齐次解：

A (η^{*} + ξ) = b + 0 = b

。所以上面那个式子里的每一个都确实是解。

一个管「不漏」，一个管「不多」，合起来才是「全部解」。

非齐次的解集不是向量空间：它不含零向量（

A 0 = 0 \neq = b

），对加法也不封闭。几何上它是解空间平移了

η^{*}

之后的东西。

2. 有没有解：比 $r (A)$ 与 $r (A, b)$

记增广矩阵

\overset{ˉ}{A} = (A, b)

，则

r (A) \neq = r (\overset{ˉ}{A}) r (A) = r (\overset{ˉ}{A}) = n r (A) = r (\overset{ˉ}{A}) < n 无解 唯一解 无穷多解

两步走，顺序不能反：先比两个秩定「有没有」，再和

n

比定「几个」。

和上一章完全一样：

A x = b

有解

⟺ b

能由

A

的列向量组线性表示。这就是「线性表示」那一节的判据，换了个场景。

注意 $r (A) \neq = r (\overset{ˉ}{A})$ 时只可能是 $r (\overset{ˉ}{A}) = r (A) + 1$ ：添一列秩最多加一。所以阶梯形里出现

(00 \dots 0 ∣ d), d \neq = 0

这样一行，就是「

0 = d

」这个矛盾式，立刻判无解。

3. 求通解：一次化简，两样东西都出来

标准流程（只化一次增广矩阵，特解和基础解系一起读出）：

① 把 $\overset{ˉ}{A} = (A, b)$ 化成行最简形。

② 先判有解：看有没有「

0 = d

」那样的行。无解就停。

③ 求特解：令所有自由变量取

0

，回代解出主变量，得

η^{*}

。

④ 求基础解系：把右端那一列盖住，按上一节的办法——自由变量轮流取

1

——得

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

。

⑤ 写通解

x = η^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}

。

只化一次就够：左边

A

那部分的最简形，正是求基础解系要用的；右边多出来的一列只在求特解时用。不要化两遍。

自查三条：

k

的个数等于

n - r

；特解代回原方程得

b

；任一

ξ

代回得

0

。

4. 用解的信息反推：常考的反向题

题目常给你解的样子，反过来问秩、问参数。几条常用的翻译：

① 通解里有 $t$ 个任意常数

\Rightarrow n - r (A) = t \Rightarrow r (A) = n - t

，且

r (\overset{ˉ}{A}) = r (A)

。

② 已知 $η_{1}, η_{2}$ 是两个不同的解

\Rightarrow η_{1} - η_{2} \neq = 0

是齐次非零解

\Rightarrow r (A) < n \Rightarrow

有无穷多解。

「有两个不同的解」就等于「有无穷多解」——线性方程组的解只有无解、唯一、无穷多三种，不存在「恰好两个」。

③ 解的线性组合何时仍是解：设

η_{1}, \dots, η_{t}

都是

A x = b

的解，则

A (\sum c_{i} η_{i}) = (\sum c_{i}) b .

所以

\sum c_{i} η_{i}

仍是

A x = b

的解

⟺ \sum c_{i} = 1

；是

A x = 0

的解

⟺ \sum c_{i} = 0

。

这条系数和的判据是选择题的常客，记住两个数：和为

1

落在非齐次，和为

0

落在齐次。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断 $A x = b$ 解的情况

第一步：化增广矩阵

\overset{ˉ}{A} = (A, b)

到行阶梯形。

第二步：找有没有「

0 = d

（

d \neq = 0

）」那样的行——有就无解，收工。

第三步：无此行则

r (A) = r (\overset{ˉ}{A})

，有解。

第四步：再和

n

比——等于

n

唯一解，小于

n

无穷多解。

例例. 判断

{x_{1} + x_{2} = 1 2 x_{1} + 2 x_{2} = 3

与

{x_{1} + x_{2} = 1 2 x_{1} + 2 x_{2} = 2

各有几个解。

第一步，第一组：

\overset{ˉ}{A} = (121213) r_{2} - 2 r_{1} (101011)

。

第二步，末行是「

0 = 1

」

\Rightarrow

无解，收工。

第三步，第二组化成

(101010)

，没有那样的行，

r (A) = r (\overset{ˉ}{A}) = 1

，有解。

第四步，与

n = 2

比：

1 < 2

\Rightarrow

无穷多解。

两组的系数矩阵一模一样，只有右端差一个数，结论却是「无解」与「无穷多解」——所以必须看增广矩阵，光盯着

A

判不出来。

求非齐次通解（只化一次）

第一步：

\overset{ˉ}{A}

化到行最简形，确认有解，算出

n - r

。

第二步：令全部自由变量为

0

，回代得特解

η^{*}

。

第三步：盖住右端那一列，自由变量轮流取

1

，得基础解系

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

。

第四步：写

x = η^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}

；数一遍

k

的个数，并把

η^{*}

与一个

ξ

分别代回核对。

例例. 求

{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 2 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} = 3

的通解。

第一步，化行最简形：

(1212131413) \to (101001 - 1 2 01),

r (A) = r (\overset{ˉ}{A}) = 2

，有解；

n - r = 2

。

第二步，令全部自由变量为 $0$ （

x_{2} = x_{4} = 0

），回代得特解

η^{*} = (0, 0, 1, 0)^{T}

。

第三步，盖住右端那一列，就是上一节那个齐次组，基础解系照抄：

ξ_{1} = (- 1, 1, 0, 0)^{T}

、

ξ_{2} = (1, 0, - 2, 1)^{T}

。

第四步，

x = η^{*} + k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}

。数

k

：

2

个 ✓ 代回核对

η^{*}

：

0 + 0 + 1 + 0 = 1

✓、

0 + 0 + 3 + 0 = 3

✓

只化一次是要点：特解与基础解系用的是同一张行最简形。

判断解的线性组合属于谁

第一步：确认题中各

η_{i}

都是

A x = b

的解。

第二步：把组合的系数加起来，得

\sum c_{i}

。

第三步：

\sum c_{i} = 1

则仍是

A x = b

的解；

\sum c_{i} = 0

则是

A x = 0

的解。

第四步：其余情形两者都不是（它是

A x = (\sum c_{i}) b

的解）。

例例. 设

η_{1}, η_{2}, η_{3}

都是

A x = b

的解（

b \neq = 0

）。下面三个各是谁的解？

①

η_{1} - η_{2}

；②

2 η_{1} - η_{2}

；③

η_{1} + η_{2}

。

第一步，三个

η

都是

A x = b

的解 ✓

第二步，把系数加起来：①

1 - 1 = 0

；②

2 - 1 = 1

；③

1 + 1 = 2

。

第三步，① 和为

0

\Rightarrow

是

A x = 0

的解（验：

A (η_{1} - η_{2}) = b - b = 0

✓）；② 和为

1

\Rightarrow

仍是

A x = b

的解（

2 b - b = b

✓）。

第四步，③ 和为

2

，两者都不是——它是

A x = 2 b

的解。

把系数加起来看是

0

、

1

还是别的，这类选择题一秒就能定。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

求基础解系时没盖住右端那一列

基础解系属于导出组

A x = 0

，与

b

无关。

把

b

那一列当成系数，自由变量的个数就数错了，通解里常数的个数跟着全错。

盖住它再数主元列，这是分界线。

以为非齐次解集是向量空间

它不是：不含零向量（

A 0 = 0 \neq = b

），对加法也不封闭（

A (η_{1} + η_{2}) = 2 b

）。

它是齐次解空间平移

η^{*}

之后的集合——形状一样，位置不同。

只有齐次的那个才叫解空间。

答「恰有两个解」

线性方程组的解只有三种：无解、唯一解、无穷多解。

题目说「有两个不同的解」，结论就是无穷多解，不是两个。

因为两解之差是齐次非零解，于是

r (A) < n

，自由度至少一个。

两步判据的顺序颠倒

先比 $r (A)$ 与 $r (\overset{ˉ}{A})$ 定有没有解，再和 $n$ 比定几个。

直接拿

r (A)

和

n

比就下结论，会把无解的情形误判成有解。

r (A) = n

只说明导出组只有零解，不保证

A x = b

有解。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 有没有解

练 1

A x = b

无解的充要条件是（）。

A $r (A) = r (A, b)$
B $r (A) < n$
C $r (A) \neq = r (A, b)$
D $b = 0$

练 2

增广矩阵化简后出现一行

(000 ∣ 5)

，则方程组 ________（填「有解」或「无解」）。

练 3

A x = b

有唯一解的充要条件是（）。

A $r (A) = r (A, b) = n$
B $r (A) = n$
C $r (A) = r (A, b) < n$
D $∣ A ∣ \neq = 0$

练 4

A x = b

有解等价于

b

能由

A

的 ________ 向量组线性表示。

第二组 · 解的结构

练 5

设

η^{*}

是

A x = b

的特解，

ξ

是导出组的基础解系（只含一个向量），则通解为（）。

A $k η^{*} + ξ$
B $η^{*} + k ξ$
C $k_{1} η^{*} + k_{2} ξ$
D $η^{*} + ξ$

练 6

设

η_{1}, η_{2}

是

A x = b

的两个不同解，则该方程组有 ________ 个解。

练 7

设

η_{1}, η_{2}

都是

A x = b

的解，则一定是

A x = 0

的解的是（）。

A $η_{1} + η_{2}$
B $3 η_{1} - 2 η_{2}$
C $η_{1} - η_{2}$
D $\frac{η _{1} + η _{2}}{2}$

练 8

非齐次方程组的解集 ________（填「是」或「不是」）向量空间。

第三组 · 求通解与反推

练 9

已知

A x = b

的通解为

(1, 0, 0)^{T} + k (0, 1, 1)^{T}

，则

r (A) =

________。

练 10

设

A

为

4 \times 5

矩阵，

r (A) = 4

，则

A x = b

（）。

A可能无解
B必有唯一解
C必有无穷多解
D必只有零解

练 11

设

η_{1}, η_{2}, η_{3}

都是

A x = b