非齐次线性方程组解的结构

§11.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.37 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

3.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）齐次线性方程组与基础解系向量的线性组合与线性表示③ 掌握后可解锁线性方程组解的判定

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 结构定理（通解等于特解与导出组通解之和）的证明，以及为什么解集对加法不封闭★★ 必会

非齐次线性方程组

A x = b (b \neq = 0)

的通解具有确定的形状：

x = η^{*} + (导出组 A x = 0 的通解)

，其中

η^{*}

是任意一个特解。这里的要点是只有齐次部分带任意常数，特解前面不带系数。从几何上看，非齐次方程组的解集是把通过原点的齐次解空间整体平移

η^{*}

所得到的仿射平面，它不通过原点，因为当

b \neq = 0

时

x = 0

并不是解。因此这个解集对加法不封闭，两个解之和一般不再是解。记住这一条，就不会把非齐次方程组的解集误认为子空间。

证明 / 推导

设

η^{*}

是

A x = b

的一个特解，

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

是导出组

A x = 0

的一组基础解系。

(充分性) 对任意常数

k_{i}

，有

A (η^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}) = A η^{*} + \sum k_{i} (A ξ_{i}) = b + 0 = b

，可见这种形式的向量都是解。

(必要性) 设

x

是

A x = b

的任一解，则

A (x - η^{*}) = b - b = 0

，即

x - η^{*}

是导出组的解，因而可以写成

\sum k_{i} ξ_{i}

，于是

x = η^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}

。把两方面合起来，即知通解恰为

η^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}

。

■

举例说明

真题（2021 数三·选择） 设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

为

4

阶正交矩阵，

B = α_{1}^{T} α_{2}^{T} α_{3}^{T}

，

β = (1, 1, 1)^{T}

，

k

为任意常数，则

B x = β

的通解

x =

（　）。（A）

α_{2} + α_{3} + α_{4} + k α_{1}

；（B）

α_{1} + α_{3} + α_{4} + k α_{2}

；（C）

α_{1} + α_{2} + α_{4} + k α_{3}

；（D）

α_{1} + α_{2} + α_{3} + k α_{4}

。

按结构定理，通解等于特解与导出组通解之和，下面把两部分分别求出。由

A

为正交矩阵

\Rightarrow α_{i}^{T} α_{j} = δ_{ij}

。① 导出组

B x = 0

即

α_{1}^{T} x = α_{2}^{T} x = α_{3}^{T} x = 0

；

B

是

3 \times 4

矩阵，

r (B) = 3

，故基础解系含

1

个解，而

α_{4}

与

α_{1}, α_{2}, α_{3}

都正交，恰好是它的解，于是导出组的通解为

k α_{4}

。② 特解取

η^{*} = α_{1} + α_{2} + α_{3}

：它被

α_{i}^{T} (i = 1, 2, 3)

作用后各得

1

，正好有

B η^{*} = β

。两部分合起来，得

x = α_{1} + α_{2} + α_{3} + k α_{4}

。故选 D。

■

2. 特解可以另行选取而通解集合不变：任意两个特解只相差导出组的一个解★ 要懂

解题时常会遇到自己所取的特解与答案上的不一致。事实上特解并不唯一，解集这个仿射平面上的每一点都可以取作

η^{*}

。这里的结论是：任意两个特解之差是导出组的解，因此用不同的特解写出的通解所表示的集合完全相同，只是同一集合的不同参数表示。一般地，令自由未知量全取 $0$ 来求特解，计算最简便，也最不容易出错。

证明 / 推导

设

η_{1}^{*}, η_{2}^{*}

都是

A x = b

的特解，则

A (η_{1}^{*} - η_{2}^{*}) = b - b = 0

，即

η_{1}^{*} - η_{2}^{*}

是导出组的解，记它为

ξ_{0} = \sum c_{i} ξ_{i}

。于是考察两个集合

S_{1} S_{2} = {η_{1}^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}} = {η_{2}^{*} + \sum k_{i}^{'} ξ_{i}} .

对

S_{1}

中的任一元素，有

η_{1}^{*} + \sum k_{i} ξ_{i} = η_{2}^{*} + (ξ_{0} + \sum k_{i} ξ_{i}) = η_{2}^{*} + \sum k_{i}^{'} ξ_{i} \in S_{2}

，其中

k_{i}^{'} = c_{i} + k_{i}

；反过来也一样。因此

S_{1} = S_{2}

，即通解集合与特解的选取无关。

■

举例说明

【例】 取方程组

{x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 4, 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5,

它的导出组的基础解系为

ξ = (1, - 3, 1)^{T}

。用特解

η_{1} = (1, 3, 0)^{T}

写出的通解为

x = (1, 3, 0)^{T} + k (1, - 3, 1)^{T}

；若改用另一特解

η_{2} = (2, 0, 1)^{T}

，则写作

x = (2, 0, 1)^{T} + k^{'} (1, - 3, 1)^{T}

。

二者是同一个集合：因为

η_{2} - η_{1} = (1, - 3, 1)^{T} = ξ

恰是导出组的解，只要令

k = k^{'} + 1

，就能由后一表示化到前一表示。由此可见，特解可以另行选取，解集中的每一点都能取作特解，而通解所表示的集合并不改变，改变的只是同一集合的参数表示。

■

3. 有解判别法 r(A)=r(A,b) 的实质：b 能否由 A 的列向量线性表示★★ 必会

判断有没有解时，为什么要把增广列

b

添上再比较秩？因为

A x = b

用列向量写出来就是

x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n} = b

，也就是问 $b$ 能否表示成 $A$ 的各列 $α_{i}$ 的线性组合。

b

可以表示

⟺

把

b

添进列向量组后秩不增加，即

r (α_{1}, \dots, α_{n}) = r (α_{1}, \dots, α_{n}, b)

，也就是

r (A) = r (A, b)

。由此可见，方程组有没有解这个问题，与向量的线性表示是一回事：非齐次方程组的实质，就是能否用系数矩阵的各列把

b

线性表示出来。

证明 / 推导

记

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

。

A x = b

有解

⟺

存在一组数

x_{i}

使

\sum x_{i} α_{i} = b ⟺ b

可由

α_{1}, \dots, α_{n}

线性表示。

下面再证

b

可表示

⟺ r (A) = r (A, b)

。如果

b

可由列向量组线性表示，那么添加

b

以后不会产生新的极大无关组，因而

r (A, b) = r (A)

；反之，如果

r (A, b) = r (A) = r

，取

A

的列向量的一个极大无关组，它共含

r

个向量，同时也是

(A, b)

的列向量组的极大无关组，所以

b

能由这

r

个向量线性表示，从而能由全体列向量线性表示。

■

举例说明

真题（2023 数三·选择） 已知

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}, α_{2} = (2, 1, 1)^{T}, β_{1} = (2, 5, 9)^{T}, β_{2} = (1, 0, 1)^{T}

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则

γ =

（　）。（A）

k (3, 3, 4)^{T}

；（B）

k (3, 5, 10)^{T}

；（C）

k (- 1, 1, 2)^{T}

；（D）

k (1, 5, 8)^{T}

，其中

k \in R

。

γ

可由某一组向量线性表示，就是以该组向量为列的方程组有解。设

γ = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} = l_{1} β_{1} + l_{2} β_{2}

，移项即知

(k_{1}, - l_{1}, k_{2}, - l_{2})^{T}

是齐次方程组

(α_{1}, β_{1}, α_{2}, β_{2}) x = 0

的解。对这个

3 \times 4

矩阵作行变换，求得基础解系

ξ = (3, - 1, - 1, 1)^{T}

，故

k_{1} = 3 k, k_{2} = - k

，从而

γ = k (3 α_{1} - α_{2}) = k (1, 5, 8)^{T}

。故选 D。

■

4. 抽象综合题的一般做法：只给出秩与若干个解，求全部解★★ 必会

大题中常常不给出

A

本身，只给出

r (A)

和几个解，考查的是对解的结构是否真正理解。做法分四步：① 用

n - r

定出基础解系所含解的个数；② 把已知的解两两相减得到导出组的解，因为

A (η_{i} - η_{j}) = 0

，凑够

n - r

个而且线性无关的，就构成一组基础解系；③ 取其中任一已知解作特解

η^{*}

；④ 合起来写成

x = η^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}

。难点在于判断作差所得的解个数是否够、是否线性无关，它们的个数必须恰为

n - r

。

举例说明

真题（2000 数三·选择） 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是四元非齐次线性方程组

A x = b

的三个解，

r (A) = 3

，

α_{1} = (1, 2, 3, 4)^{T}

，

α_{2} + α_{3} = (0, 1, 2, 3)^{T}

，

C

为任意常数，则通解为（　）。（A）

(1, 2, 3, 4)^{T} + C (1, 1, 1, 1)^{T}

；（B）

(1, 2, 3, 4)^{T} + C (0, 1, 2, 3)^{T}

；（C）

(1, 2, 3, 4)^{T} + C (2, 3, 4, 5)^{T}

；（D）

(1, 2, 3, 4)^{T} + C (3, 4, 5, 6)^{T}

。

题中只给出秩与几个解，按结构定理分四步求通解：①

n - r = 4 - 3 = 1

，只需找出一个非零的导出组的解；② 把非齐次解两两相减即得导出组的解，由此得到

ξ = (α_{1} - α_{2}) + (α_{1} - α_{3}) = 2 α_{1} - (α_{2} + α_{3}) = 2 (1, 2, 3, 4)^{T} - (0, 1, 2, 3)^{T} = (2, 3, 4, 5)^{T} \neq = 0

，个数恰为

1 = n - r

，故它就是基础解系；③ 取特解

η^{*} = α_{1}

；④ 于是通解为

x = (1, 2, 3, 4)^{T} + C (2, 3, 4, 5)^{T}

。故选 C。

■

💡 小知识

通解等于特解加上齐次通解，这个结构在微分方程里一模一样：非齐次线性 ODE 的通解，也是一个特解加上齐次方程的通解。线性方程组与线性微分方程遵循的是同一条线性叠加原理，它也是整个线性世界通行的法则。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求非齐次线性方程组

{x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 4, 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5

的通解。难度 1

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = (12112145) r_{2} - 2 r_{1} (10 1 - 1 2 - 3 4 - 3) r_{2} \times (- 1) r_{1} - r_{2} (1001 - 1 3 13) .

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

，有无穷多解。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = 1 + x_{3}, x_{2} = 3 - 3 x_{3}

。

特解（取

x_{3} = 0

）：

η^{*} = (1, 3, 0)^{T}

。导出组基础解系（令右端为

0

，则

x_{1} = x_{3}, x_{2} = - 3 x_{3}

，取

x_{3} = 1

）：

ξ = (1, - 3, 1)^{T}

。通解为

x = (1, 3, 0)^{T} + k (1, - 3, 1)^{T} (k 任意) .

验证特解：

1 + 3 + 0 = 4

，

2 + 3 + 0 = 5

。

■

例 2 求非齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2, x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + 4 x_{4} = 3, 2 x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{4} = 5

的通解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换（注意第三行恰是前两行之和，将化出一行全零）：

(A ∣ b) = 112123 1 - 1 0 145235 r_{2} - r_{1} r_{3} - 2 r_{1} 100111 1 - 2 - 2 133211 r_{3} - r_{2} r_{1} - r_{2} 100010 3 - 2 0 - 2 30 110 .

r (A) = r (A, b) = 2 < 4

，有无穷多解。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}, x_{4}

，且

x_{1} = 1 - 3 x_{3} + 2 x_{4}, x_{2} = 1 + 2 x_{3} - 3 x_{4}

。

特解（取

x_{3} = x_{4} = 0

）：

η^{*} = (1, 1, 0, 0)^{T}

。导出组基础解系：取

(x_{3}, x_{4}) = (1, 0)

得

ξ_{1} = (- 3, 2, 1, 0)^{T}

，取

(x_{3}, x_{4}) = (0, 1)

得

ξ_{2} = (2, - 3, 0, 1)^{T}

。通解为

x = (1, 1, 0, 0)^{T} + k_{1} (- 3, 2, 1, 0)^{T} + k_{2} (2, - 3, 0, 1)^{T} .

■

例 3 设

A x = b

是

4

元非齐次线性方程组，

r (A) = 3

，已知它的两个解

η_{1} = (1, 2, 1, 2)^{T}

，

η_{2} = (3, 1, 2, 0)^{T}

。求

A x = b

的通解。难度 2

本题不给

A

，只给秩与两个解，须用解的结构定理。

由

η_{1}, η_{2}

都是

A x = b

的解，其差是导出组 $A x = 0$ 的解：

A (η_{1} - η_{2}) = A η_{1} - A η_{2} = b - b = 0.

算出

η_{1} - η_{2} = (1, 2, 1, 2)^{T} - (3, 1, 2, 0)^{T} = (- 2, 1, - 1, 2)^{T}

。

因为

n = 4, r (A) = 3

，导出组基础解系恰含

n - r = 1

个向量，而

(- 2, 1, - 1, 2)^{T} \neq = 0

已是一个齐次解，故它就是一组基础解系

ξ = (- 2, 1, - 1, 2)^{T}

。

取特解为

η_{1}

，则通解为

x = η_{1} + k ξ = (1, 2, 1, 2)^{T} + k (- 2, 1, - 1, 2)^{T} (k 任意) .

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = 101100111131

，

C = 211 a 011 b

，若存在矩阵

B

满足

A B = C

，则（　　）。

A $a = - 1, b = - 1$
B $a = 2, b = 2$
C $a = - 1, b = 2$
D $a = 2, b = - 1$

2025 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

已知

A

是

m \times n

矩阵，

β

是

m

维非零向量。若

A

有

k

阶非零子式，则（　　）。

A当 $k = m$ 时， $A x = β$ 有解
B当 $k = m$ 时， $A x = β$ 无解
C当 $k < m$ 时， $A x = β$ 有解
D当 $k < m$ 时， $A x = β$ 无解

2024 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 112 - 1 11 002 - 1 36

，

B = 112 0 - 1 - 3 1 a 2 2 a - 1 - 2

，向量

α = 023

，

β = 10 - 1

。（Ⅰ）证明：方程组

A x = α

的解均为方程组

B x = β

的解；（Ⅱ）若方程组

A x = α

与方程组

B x = β

不同解，求

a

的值。

2021 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

为

4

阶正交矩阵，矩阵

B = α_{1}^{T} α_{2}^{T} α_{3}^{T}

，

β = 111

，

k

为任意常数，则线性方程组

B x = β

的通解

x =

（　　）。

A $α_{2} + α_{3} + α_{4} + k α_{1}$ 。
B $α_{1} + α_{3} + α_{4} + k α_{2}$ 。
C $α_{1} + α_{2} + α_{4} + k α_{3}$ 。
D $α_{1} + α_{2} + α_{3} + k α_{4}$ 。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

η_{1}, η_{2}

是

A x = b (b \neq = 0)

的两个不同解，

ξ

是导出组

A x = 0

的非零解，则下列向量中仍是

A x = b

的解的是（　）。

A $η_{1} + η_{2}$
B $η_{1} + ξ$
C $ξ$
D $2 η_{1} + 2 η_{2}$

练习 2 · 选择题

设

η_{1}, η_{2}, η_{3}

是

A x = b

的解，则下列向量中一定是

A x = b

的解的是（　）。

A $η_{1} + η_{2} - η_{3}$
B $η_{1} + η_{2} + η_{3}$
C $2 η_{1} - 3 η_{2}$
D $η_{1} - η_{2}$

练习 3 · 填空题

设

A x = b

满足

r (A) = r (A, b) = 2

，未知数个数

n = 5

，则其通解中含 ____ 个自由参数。

练习 4 · 选择题

设

A

为

4 \times 5

矩阵，且

A x = b

有解，

r (A) = 4

，则

A x = b

（　）。

A有唯一解
B有无穷多解，通解含 $1$ 个自由参数
C无解
D有无穷多解，通解含 $2$ 个自由参数

练习 5 · 填空题

非齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} = 2, x_{2} + x_{3} = 3, x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 5

的一个特解（取自由变量

x_{3} = 0

）为 ____。

练习 6 · 选择题

设

A

为

4

阶矩阵，

r (A) = 3

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

都是非齐次线性方程组

A x = b

（

b \neq = 0

）的解，且

α_{1} = (1, 2, 3, 4)^{T}, α_{2} + α_{3} = (0, 1, 2, 3)^{T} .

则

A x = b

的通解为（　　）（

k

为任意常数）。

A $(1, 2, 3, 4)^{T} + k (0, 1, 2, 3)^{T}$
B $(1, 2, 3, 4)^{T} + k (1, 1, 1, 1)^{T}$
C $(1, 2, 3, 4)^{T} + k (2, 3, 4, 5)^{T}$
D $(0, 1, 2, 3)^{T} + k (1, 2, 3, 4)^{T}$

练习 7 · 填空题

设

A

为

4

阶矩阵，

r (A) = 2

，且

α_{1} = (1, 1, 0, 0)^{T}, α_{2} = (1, 0, 1, 0)^{T}, α_{3} = (1, 0, 0, 1)^{T}

都是非齐次线性方程组

A x = b

（

b \neq = 0

）的解。则

A x = b

的通解为 ____（

k_{1}, k_{2}

为任意常数）。

练习 8 · 解答题

设

A

为

3 \times 4

矩阵，

r (A) = 3

，且

η_{1} = (1, 2, 0, - 1)^{T}, η_{2} = (3, 0, 2, - 3)^{T}, η_{3} = (0, 3, - 1, 0)^{T}

都是非齐次线性方程组

A x = b

的解。

(1) 求

A x = 0

的一个基础解系，并写出

A x = b

的通解；

(2) 判断

η_{1}, η_{2}, η_{3}

的线性相关性，求向量组

η_{1}, η_{2}, η_{3}

的秩，并写出它们之间的一个线性关系式；

(3) 求

A x = b

的所有解中线性无关的解的最大个数，并给出一组达到该个数的解。

2019 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

已知矩阵

A = 110011 - 1 - 1 a^{2} - 1

，

b = 01 a

，若线性方程组

A x = b

有无穷多解，则

a =

2017 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设

3

阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

有

3

个不同的特征值，且

α_{3} = α_{1} + 2 α_{2}

。

（Ⅰ）证明

r (A) = 2

；

（Ⅱ）若

β = α_{1} + α_{2} + α_{3}

，求方程组

A x = β

的通解。