线性方程组解的判定

§11.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.39 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

1.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的秩齐次线性方程组与基础解系非齐次线性方程组解的结构

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 方阵专用的克拉默法则（Cramer）：|A|≠0 时唯一解的显式公式

当系数矩阵

A

是

n

阶方阵且

∣ A ∣ \neq = 0

时，

A x = b

有唯一解，并且每个分量都可以直接用行列式写出：

x_{j} = \frac{∣ A _{j} ∣}{∣ A ∣} (j = 1, \dots, n),

其中

A_{j}

是把

A

的第 $j$ 列换成 $b$ 后所得的矩阵。它的作用有两方面：一是在理论上给出了唯一解判据

∣ A ∣ \neq = 0

的构造性证明；二是在只求某一个未知量，或者系数含参数而需要保留

λ

时，用起来很方便。它的局限也必须记清楚：只有对方阵、且

∣ A ∣ \neq = 0

时才能使用；当

∣ A ∣ = 0

或系数矩阵不是方阵时，一律改用秩来讨论。

证明 / 推导

当

∣ A ∣ \neq = 0

时

A

可逆，故

x = A^{- 1} b = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} b

，其中

A^{*}

是伴随矩阵，

(A^{*})_{j i} = A_{ij}

，这里

A_{ij}

为代数余子式。于是

x_{j} = \frac{1}{∣ A ∣} i = 1 \sum n A_{ij} b_{i} = \frac{1}{∣ A ∣} i = 1 \sum n b_{i} A_{ij} .

而

\sum_{i = 1}^{n} b_{i} A_{ij}

恰好是行列式

∣ A_{j} ∣

按第

j

列（该列已换成

b

）的展开式，故

\sum_{i} b_{i} A_{ij} = ∣ A_{j} ∣

，即

x_{j} = ∣ A_{j} ∣/∣ A ∣

。

■

举例说明

【例】 用克拉默法则解

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6, x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2, x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 2.

∣ A ∣ = 111 1 - 1 2 11 - 1 = 4 \neq = 0,

故方程组有唯一解。分别把第

1, 2, 3

列换成

b = (6, 2, 2)^{T}

，得

∣ A_{1} ∣ = 622 1 - 1 2 11 - 1 = 4, ∣ A_{2} ∣ = 111622 11 - 1 = 8, ∣ A_{3} ∣ = 111 1 - 1 2 622 = 12.

故

x_{1} = \frac{4}{4} = 1, x_{2} = \frac{8}{4} = 2, x_{3} = \frac{12}{4} = 3

，即

x = (1, 2, 3)^{T}

。代回原来的三个方程，分别得

6, 2, 2

，完全吻合。

■

2. 几何解释：秩 = 有效约束的条数，三个平面的三种相交情形★ 要懂

把每个三元方程看作

R^{3}

中的一个平面，则

r (A)

就是独立法向量的个数，也就是真正起作用的约束条数；而

r (A, b)

还把右端是否相容一并计入。三个平面的公共交集只有三种形态，恰好与判据一一对应：交于一点，对应唯一解；交于一条直线或一个平面，对应无穷多解；没有公共点，对应无解，例如三个平面两两相交却围成三棱柱。可见秩所度量的正是独立信息究竟有几条；约束越少，即秩越小，自由度

n - r

就越大。

证明 / 推导

r (A) = k

表示

A

的

m

个行向量，即各平面的法向量中，恰有

k

个线性无关，也就是有

k

条独立的约束。有解时自由度

= n - r (A)

：

-

r (A) = r (A, b) = 3 = n

：三条独立约束把

R^{3}

限定为

3 - 3 = 0

维，即一点，故解唯一；
-

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

：只有两条独立约束，交集是

3 - 2 = 1

维的，即一条直线，故有无穷多解；
-

r (A) < r (A, b)

：约束自相矛盾，法向量虽相容而右端冲突，故没有公共点，方程组无解。

■

举例说明

【例】 左端相同而右端不同时，相交的形态就会改变：

{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2

：两个平面平行而不重合（

r (A) = 1 < r (A, b) = 2

），没有公共点，无解。

{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 x_{1} - x_{2} = 0

：两个平面不平行（

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

），交成一条直线，有无穷多解。

再添一个方程

x_{3} = 0

（它的法向量与前两个独立，

r = r^{'} = 3

），则三个平面交于一点

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)

，解唯一。由这三个例子可以清楚地看出秩与相交形态之间的对应关系。

■

3. 含参数方阵的完整讨论：先 |A|=0 定临界值，再逐一回代验秩★★ 必会

解参数讨论题时常见的毛病，是只算出

∣ A ∣ \neq = 0 \Rightarrow

唯一解便到此为止，遗漏了临界值处的分情形讨论，而无穷多解或无解恰恰出现在使

∣ A ∣ = 0

的那几个参数上。系数矩阵为方阵时的标准做法是：① 算出

∣ A ∣

，令

∣ A ∣ = 0

解出全部临界参数值；② 对非临界值，

∣ A ∣ \neq = 0

，解唯一；③ 对每一个临界值分别回代，对

(A ∣ b)

作行变换，比较

r (A)

与

r (A, b)

，判定是无穷多解还是无解。关键在于逐个讨论，因为不同临界值的结论可能不同。

证明 / 推导

设

∣ A ∣ = f (λ)

。当

f (λ) \neq = 0

时

r (A) = n = r (A, b)

，解唯一。当

f (λ) = 0

时

r (A) < n

，此时必须回代考察

r (A, b)

：若

r (A) = r (A, b) < n

，则有无穷多解；若

r (A) < r (A, b)

，则无解。可见行列式只能判定解是否唯一；一旦它为零，究竟是无穷多解还是无解，必须靠比较秩来确定。

■

举例说明

真题（2010 数三·解答） 设

A = λ 01 1 λ - 1 1 10 λ

，

b = (a, 1, 1)^{T}

，已知

A x = b

存在两个不同的解。（Ⅰ）求

λ, a

；（Ⅱ）求通解。

先由 $∣ A ∣ = 0$ 定出临界值，再逐一回代验秩：由有两个不同的解

\Rightarrow

解不唯一

\Rightarrow r (A) < 3 \Rightarrow ∣ A ∣ = 0

。算得

∣ A ∣ = (λ - 1)^{2} (λ + 1) = 0

，得临界值

λ = 1

与

λ = - 1

，逐一回代：当

λ = 1

时

r (A) \neq = r (A, b)

，方程组无解，与题设有解矛盾，应舍去；当

λ = - 1

时，必须

a = - 2

才有

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

。故

λ = - 1, a = - 2

。此时把增广矩阵化简，得导出组的基础解系

(1, 0, 1)^{T}

与非齐次方程组的特解

(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 0)^{T}

，故通解为

x = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 0)^{T} + k (1, 0, 1)^{T}

（

k

任意）。

■

4. 用满秩作整体判定：行满秩保证存在，列满秩保证唯一★★ 必会

如果

A

（

m \times n

）的秩取到最大可能的值，就能对一切

b

得出整体的结论，这比逐个

b

去讨论方便得多：

-

r (A) = m

（行满秩）

⟺

对任意

b \in R^{m}

，

A x = b

都有解；
-

r (A) = n

（列满秩）

⟺ A x = 0

只有零解

⟺ A x = b

一旦有解就唯一。

简言之，行满秩保证存在，列满秩保证唯一。当矩阵为方阵，即

m = n

时，两者合而为一：

r = n ⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺

对任意

b

都有唯一解。许多判断是否恒有解、解是否唯一的题目，只要看行、列是否满秩就能解决。

证明 / 推导

行满秩：

A x = b

有解

⟺ r (A) = r (A, b)

。若

r (A) = m

，则由

r (A) \leq r (A, b) \leq m = r (A)

知

r (A, b) = r (A)

恒成立，故对任意

b

都有解；反之，若对任意

b

都有解，取

b

遍历

R^{m}

的标准基，可知

A

的列能张成整个

R^{m}

，故

r (A) = m

。

列满秩：解唯一

⟺

导出组

A x = 0

只有零解

⟺ r (A) = n

。

■

举例说明

真题（2025 数三·选择） 设

A

是

m \times n

矩阵，

β

是

m

维非零向量。若

A

有

k

阶非零子式，则（　）。（A）

k = m

时

A x = β

有解；（B）

k = m

时

A x = β

无解；（C）

k < m

时

A x = β

有解；（D）

k < m

时

A x = β

无解。

这是行满秩保证存在的直接应用：

A

有

k

阶非零子式

\Rightarrow r (A) \geq k

。当

k = m

时

r (A) \geq m

，又

r (A) \leq min {m, n} \leq m

，故

r (A) = m

，即

A

行满秩。于是由

r (A) \leq r (A, β) \leq m = r (A)

得

r (A, β) = r (A)

，因而对任意

β

，包括本题中的非零

β

，方程组都有解，故 (A) 正确。当

k < m

时

r (A)

不能确定，有解与无解都有可能：例如取

A = (0 1)

，则

β = (1 0)

时无解，而

β = (0 1)

时有解，故 (C)(D) 都不对。选 A。

■

💡 小知识

无解、唯一解、无穷多解这三种判定，背后是 19 世纪的罗歇–卡佩利定理（Rouché–Capelli）。今天手机做人脸识别、导航做定位，都是在实时地判定并求解一个大型线性方程组，而秩就是用来衡量已知信息到底够不够的那个量。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断线性方程组

{x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2, 2 x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3} = 5

是否有解。难度 1

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = (12 - 1 - 2 1225) r_{2} - 2 r_{1} (10 - 1 0 1021) .

系数矩阵部分

r (A) = 1

；增广矩阵出现非零行

(0, 0, 0 ∣ 1)

，故

r (A, b) = 2

。

因为

r (A) = 1 < 2 = r (A, b)

，方程组无解。直观上：第二个方程左端恰是第一个的

2

倍（应等于

4

），右端却是

5

，自相矛盾（

0 = 1

）。

■

例 2 判断方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1, 2 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 4, x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 3

解的情况；若有解，求通解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换：

(A ∣ b) = 121132 - 1 12 143 r_{2} - 2 r_{1} r_{3} - r_{1} 100111 - 1 33 122 r_{3} - r_{2} r_{1} - r_{2} 100010 - 4 30 - 1 20 .

r (A) = r (A, b) = 2 < 3 = n

，故有无穷多解。主元

x_{1}, x_{2}

，自由变量

x_{3}

，且

x_{1} = - 1 + 4 x_{3}, x_{2} = 2 - 3 x_{3}

。

特解（取

x_{3} = 0

）

η^{*} = (- 1, 2, 0)^{T}

，导出组基础解系

ξ = (4, - 3, 1)^{T}

，通解为

x = (- 1, 2, 0)^{T} + k (4, - 3, 1)^{T} (k 任意) .

验证

η^{*}

：

- 1 + 2 - 0 = 1

，

- 2 + 6 + 0 = 4

，

- 1 + 4 + 0 = 3

，均成立。

■

例 3 讨论参数

a, b

取何值时，方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 3, x_{1} + 4 x_{2} + a x_{3} = b

有唯一解、无穷多解、无解；无穷多解时求通解。难度 2

对增广矩阵作初等行变换（把参数一路带下去）：

(A ∣ b) = 111124 13 a 13 b r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100113 12 a - 1 12 b - 1 r_{3} - 3 r_{2} 100110 12 a - 7 12 b - 7 .

关键看末行

(0, 0, a - 7 ∣ b - 7)

。

情形一： $a \neq = 7$ 。

a - 7 \neq = 0

，

r (A) = r (A, b) = 3 = n

，唯一解（对任意

b

）。

情形二： $a = 7, b = 7$ 。 末行全为零，

r (A) = r (A, b) = 2 < 3

，无穷多解。此时

x_{2} = 2 - 2 x_{3}, x_{1} = 1 - x_{2} - x_{3} = - 1 + x_{3}

，取

x_{3} = 0

得特解

(- 1, 2, 0)^{T}

，基础解系

(1, - 2, 1)^{T}

，通解

x = (- 1, 2, 0)^{T} + k (1, - 2, 1)^{T} .

情形三： $a = 7, b \neq = 7$ 。 末行为

(0, 0, 0 ∣ b - 7)

且

b - 7 \neq = 0

，

r (A) = 2 < 3 = r (A, b)

，无解。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

已知

A

是

m \times n

矩阵，

β

是

m

维非零向量。若

A

有

k

阶非零子式，则（　　）。

A当 $k = m$ 时， $A x = β$ 有解
B当 $k = m$ 时， $A x = β$ 无解
C当 $k < m$ 时， $A x = β$ 有解
D当 $k < m$ 时， $A x = β$ 无解

2024 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 112 - 1 11 002 - 1 36

，

B = 112 0 - 1 - 3 1 a 2 2 a - 1 - 2

，向量

α = 023

，

β = 10 - 1

。（Ⅰ）证明：方程组

A x = α

的解均为方程组

B x = β

的解；（Ⅱ）若方程组

A x = α

与方程组

B x = β

不同解，求

a

的值。

2023 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

已知线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ a x_{1} + x_{3} = 1, x_{1} + a x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0, a x_{1} + b x_{2} = 2

有解，其中

a, b

为常数。若

a 11 0 a 2 11 a = 4

，则

11 a a 2 b 1 a 0 =

______。

2022 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}, b = 124

，则线性方程组

A x = b

的解的情况为（　　）

A无解
B有解
C有无穷多解或无解
D有唯一解或无解

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A x = b

是

5

元非齐次线性方程组，

r (A) = r (A, b) = 5

，则该方程组（　）。

A无解
B有唯一解
C有无穷多解
D无法确定

练习 2 · 选择题

下列关于

n

元线性方程组的说法，正确的是（　）。

A齐次方程组 $A x = 0$ 可能无解
B若 $r (A) = r (A, b)$ ，则 $A x = b$ 有唯一解
C齐次方程组 $A x = 0$ 一定有解
D若 $r (A) < r (A, b)$ ，则 $A x = b$ 有无穷多解

练习 3 · 填空题

设方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 2, x_{1} + 3 x_{2} + t x_{3} = 3

有无穷多解，则

t =

____。

练习 4 · 选择题

设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 0

，

b \neq = 0

，则线性方程组

A x = b

（　）。

A一定无解
B一定有无穷多解
C一定有唯一解
D无解或有无穷多解

练习 5 · 填空题

设方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, 2 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 4, 3 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} = a

有解，则

a =

____。

练习 6 · 选择题

设

A

为

4 \times 5

矩阵，

B

为

5 \times 4

矩阵，且

A B = E_{4}

（

E_{4}

为

4

阶单位矩阵）。则对任意的

4

维列向量

b

，线性方程组

A x = b

（　　）。

A都有唯一解
B都有无穷多解，且通解中含 $1$ 个自由参数
C当 $b \neq = 0$ 时可能无解
D只有当 $b = 0$ 时才有解

练习 7 · 填空题

设线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 2, x_{1} + 3 x_{2} + a x_{3} = b

有无穷多解，则

a + b =

____。

练习 8 · 解答题

设线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1, 2 x_{1} + 3 x_{2} + a x_{3} = 3, x_{1} + a x_{2} + 3 x_{3} = b .

(1) 求系数行列式

D

，并求出方程组有唯一解的条件；

(2) 讨论

a, b

取何值时方程组无解、有无穷多解；

(3) 在有无穷多解的每一种情形下求出通解。

2019 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

已知矩阵

A = 110011 - 1 - 1 a^{2} - 1

，

b = 01 a

，若线性方程组

A x = b

有无穷多解，则

a =

2016 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设矩阵

A = 11 a + 1 101 1 - a a a + 1

，

β = 01 2 a - 2

，且方程组

A x = β

无解。（Ⅰ）求

a

的值；（Ⅱ）求方程组

A^{T} A x = A^{T} β

的通解。