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线性方程组解的判定
线性代数 · 线性方程组
这一条要先会：矩阵的秩、齐次线性方程组与基础解系、非齐次线性方程组解的结构
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 一张表把齐次与非齐次一起判完
设 A 为 m×n，n 是未知量个数。
齐次 Ax=0（永远有解，只问有没有非零解）：
r(A)=nr(A)<n只有零解有非零解，自由度 n−r
非齐次 Ax=b（两步走）：
r(A)<r(Aˉ)r(A)=r(Aˉ)=nr(A)=r(Aˉ)<n无解唯一解无穷多解
整张表只用到三个数：r(A)、r(Aˉ)、n。把它们算出来，一切都定了。
m（方程个数）不在表里，它只通过 r(A)≤m 起作用。由此得两条常用的快判：
① m<n 时齐次必有非零解。
② r(A)=m（秩等于行数）时非齐次必有解——因为 r(Aˉ)≤m=r(A) 且 ≥r(A)，只能相等。2. 含参数的方程组：先算行列式，再分情形
考研最常考的形态：系数里带一个参数 λ（或 a），问它取何值时无解 / 唯一解 / 无穷多解。
方阵时的标准打法：
① 先算 ∣A∣（含 λ 的多项式），解 ∣A∣=0 得到几个「可疑值」。
② ∣A∣=0（即 λ 不取那几个值） ⇒r(A)=n，唯一解，这一支直接结案。
③ 对每个可疑值分别代回，把 λ 的具体数字代进增广矩阵，老老实实化阶梯形，比 r(A) 与 r(Aˉ)。
为什么要先算行列式：它把「无穷多个 λ」一次性压成「几个可疑值 + 其余」。不先做这一步，就得对着带字母的矩阵作初等变换——那里每一步除法都要讨论除数是否为零，极易漏情形。
只有方阵能这样做。不是方阵时就只能直接化阶梯形，并在每次用某个元素作主元前说明它不为零。3. 齐次组的参数题：只看 ∣A∣=0
齐次方程组 Ax=0（A 为方阵）含参数时更简单，因为它永远有解：
有非零解⟺r(A)<n⟺∣A∣=0.
所以整道题就是解方程 ∣A∣=0，解出的 λ 就是答案，不必再比两个秩。
接下来常被追问「求通解」，这时才代回具体的 λ 化矩阵、取基础解系。
不是方阵时只能化阶梯形看 r(A) 与 n，没有行列式这条捷径。
一条容易忽略的：∣A∣=0 是一个关于 λ 的多项式方程，可能有多个根。题目问「λ 取何值」，答案常常不止一个，要全部写出；若还问「分别求通解」，那就要对每个根各做一遍。4. 和克拉默法则的分工
克拉默法则适用的情形很窄：方阵且 ∣A∣=0。此时唯一解为
xj=∣A∣∣Aj∣,
Aj 是把 A 的第 j 列换成 b 得到的矩阵。
它和本节判据的关系：
∣A∣=0∣A∣=0克拉默法则可用，唯一解克拉默法则失效，回到比秩
所以克拉默法则只覆盖「唯一解」这一种情形，无解和无穷多解它一句话也说不了。
实战取舍：
① 只问「有没有唯一解」——算 ∣A∣ 最快。
② 要真的把解算出来——n≥3 时克拉默法则要算 n+1 个行列式，远不如化增广矩阵快。它的价值在理论（证明、推导）而不在计算。
③ 不是方阵、或 ∣A∣=0——只能化矩阵比秩，没有别的路。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
判定一般方程组的解
第一步：数清 n（未知量个数 = 列数）。
第二步：化 Aˉ=(A,b) 到行阶梯形，同时读出 r(A)（盖住末列数非零行）与 r(Aˉ)。
第三步：r(A)=r(Aˉ) 无解；相等则有解。
第四步：有解时再与 n 比——等于 n 唯一，小于 n 无穷多（自由度 n−r）。例例. 判定
⎩⎨⎧x1+x2+x3=1x1+2x2+3x3=22x1+3x2+4x3=3 的解。
第一步，
n=3（未知量个数）。
第二步，化一张阶梯形，两个秩在
同一张上读：
Aˉ→100110120110.盖住末列数非零行得
r(A)=2；整个增广矩阵的非零行也是
2，
r(Aˉ)=2。
第三步，
r(A)=r(Aˉ) ⇒ 有解。
第四步，与
n=3 比：
2<3 ⇒ 无穷多解，自由度
n−r=1。
别为了两个秩分别化两次——很容易化出两张不同的阶梯形，读出来的数对不上。
含参数的方阵方程组（非齐次）
第一步：算 ∣A∣，解 ∣A∣=0 得全部可疑值。
第二步：∣A∣=0 的那一支直接结案——唯一解。
第三步：把每个可疑值代成具体数字后代回增广矩阵，化阶梯形。
第四步：对每个可疑值分别比 r(A) 与 r(Aˉ)，判无解还是无穷多解；要通解就按上一节的流程写出来。例例. 讨论
⎩⎨⎧x1+x2+x3=1x1+λx2+x3=1x1+x2+λx3=1 的解。
第一步，
r2−r1、
r3−r1 后得
∣A∣=(λ−1)2，解
∣A∣=0 得
可疑值 λ=1。
第二步，
λ=1 时
∣A∣=0 ⇒ 唯一解，这一支结案。
第三步，把
λ=1 代成具体数字再代回增广矩阵：
111111111111→100100100100.第四步，
r(A)=r(Aˉ)=1<3 ⇒ 无穷多解；特解
(1,0,0)T，基础解系
(−1,1,0)T、
(−1,0,1)T。
代成具体数字再化是关键：带着
λ 做行变换，一不小心就除以了
λ−1，而那正是要讨论的那个情形。
含参数的齐次方程组
第一步：确认是方阵——不是就只能化阶梯形。
第二步：解 ∣A∣=0，所有根都是答案，一个都不能漏。
第三步：若还要求通解，把每个根代回，化行最简形。
第四步：自由变量轮流取 1 得基础解系；不同的根通常给出不同的通解，要分别写。例例. λ 取何值时
⎩⎨⎧λx1+x2+x3=0x1+λx2+x3=0x1+x2+λx3=0 有非零解？求此时的通解。
第一步，是方阵 ✓
第二步，每行之和都是
λ+2，把
c2,c3 加到
c1 提出公因子再化简，得
∣A∣=(λ+2)(λ−1)2.令它为零得
λ=−2 或
λ=1——
两个根都是答案，一个都不能漏。
第三步，
λ=1：三个方程全变成
x1+x2+x3=0，
r=1，基础解系
(−1,1,0)T、
(−1,0,1)T。
第四步，
λ=−2：化简后
r=2，基础解系只有一个向量
(1,1,1)T（验：
−2+1+1=0 ✓）。
不同的根给出不同的通解，要分别写——只答出
λ 的值，是半道题。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
对带字母的矩阵硬作初等变换
拿含 λ 的式子当主元去消元，必须先声明它不为零，否则那一步非法。
分支作着作着就长成一棵树，漏掉一根是常事。
方阵时先算 ∣A∣，把问题剪成「非零一支 + 几个具体值」，代回之后矩阵里全是数，再无需要讨论的地方。∣A∣=0 的根只写了一个
∣A∣ 是关于 λ 的多项式，n 阶时可能有 n 个根。
λ2−1=0 有 λ=±1 两个，只写 λ=1 就丢了一半分。
而且不同的根往往给出不同的通解，要分别做。∣A∣=0 就断言无解
∣A∣=0 只说明「不是唯一解」，接下来无解和无穷多解都有可能。
必须代回去比 r(A) 与 r(Aˉ) 才能定。
齐次组另当别论——它永远有解，∣A∣=0 直接等于「有非零解」。n≥3 还用克拉默法则硬算
三元要算 4 个三阶行列式，四元要算 5 个四阶行列式，而化一次增广矩阵就全出来了。
克拉默法则是理论工具：用来判「∣A∣=0⇒ 唯一解」，或参与证明。
真要算数，化矩阵。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 读判据表
练 1
设 n=4，r(A)=r(Aˉ)=4，则 Ax=b 有 ________ 解。练 2
设 r(A)=2，r(Aˉ)=3，则 Ax=b（ ）。练 3
齐次方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是 r(A) ________ n（填不等号）。练 4
设 A 为 3×5 矩阵，r(A)=3，则 Ax=b（ ）。第二组 · 含参数
练 5
{λx1+x2=0x1+x2=0 有非零解时 λ= ________。练 6
含参数的方阵非齐次方程组，先算 ∣A∣ 的好处是（ ）。- A可以直接写出通解
- B把无穷多个参数值压成几个可疑值，其余一支直接结案
- C能判断无解
- D能省去化矩阵
练 7
若 ∣A∣=λ2−4，则使 Ax=0 有非零解的 λ 为 ________。练 8
非齐次方程组中 ∣A∣=0，则（ ）。- A必无解
- B必有无穷多解
- C无解或无穷多解，需进一步判断
- D必有唯一解
第三组 · 克拉默与综合
练 9
克拉默法则适用的条件是：方阵且 ∣A∣ ________ 0（填关系）。练 10
关于克拉默法则，下列说法正确的是（ ）。- A它能判断方程组无解
- B它适用于任意 m×n 方程组
- Cn 较大时它比化增广矩阵快
- D它只覆盖「唯一解」这一种情形
练 11
设 A 为 n 阶方阵，Ax=b 对任意 b 都有解，则 r(A)= ________。练 12
设 A 为 4 阶方阵，r(A)=3，Ax=b 有解，则其通解中任意常数的个数为（ ）。