乐思数学通 › 先打基础 › 特征值与特征向量的概念与计算
特征值与特征向量的概念与计算
线性代数 · 特征值与特征向量
这一条要先会：行列式的计算、矩阵的运算、齐次线性方程组与基础解系
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 定义：被 A 作用后方向不变的那些向量
设 A 为 n 阶方阵。若存在数 λ 和非零向量 α 使
Aα=λα,
则称 λ 是 A 的特征值，α 是属于 λ 的特征向量。
「非零」是定义的一部分。 否则 A⋅0=λ⋅0 对任何 λ 都成立，特征值就失去意义了。
几何意义：一般的向量被 A 一乘，方向会变；特征向量是那些方向不变的，只被拉长或压缩 λ 倍（λ<0 时还要反向）。
特征值可以是 0，特征向量不可以是零向量——这两件事常被混在一起。λ=0 意味着 Aα=0 有非零解，即 A 不可逆。
把定义移项：
(A−λE)α=0.
这就是一个齐次方程组，而 α=0 要求它有非零解。于是
∣A−λE∣=0.
整章的计算全从这一步出发。2. 特征多项式：解 ∣A−λE∣=0
∣A−λE∣ 展开后是关于 λ 的 n 次多项式，称 A 的特征多项式；方程
∣A−λE∣=0
称特征方程，它的根就是全部特征值。
求特征向量：把每个 λi 代回，解齐次方程组
(A−λiE)x=0,
它的非零解就是属于 λi 的特征向量，基础解系给出全部。
两条校验公式（算完必查，几秒钟，能挡住大半计算错误）：
和积∑λi=trA∏λi=∣A∣
左边是算出来的特征值，右边是从原矩阵一眼就能读出的量（对角线之和、行列式）。两边对不上就是算错了。
n 重根要按重数计入。请你先证
照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。
上面那条证明的手法是
两边左乘 A 造出第二个式子，再配倍数相减，把一项打掉。设
A 可逆，
λ 是
A 的特征值，
α 是属于
λ 的特征向量。
证明：
λ=0，且
λ1 是
A−1 的特征值，
α 仍是对应的特征向量。
照着刚才那条证明的起手式，自己写一遍。
3. 由 A 的特征值推出一族矩阵的特征值
设 Aα=λα（α=0）。在等式两边动手脚，就得到一整族结论——特征向量 α 始终不变，只有特征值在变：
AkaA+bEA−1A∗P−1APλkaλ+b1/λ∣A∣/λλ
（A−1、A∗ 那两行要求 A 可逆；最后一行的特征向量变成 P−1α。）
更一般地：对多项式 f(x)，f(A) 的特征值是 f(λ)。
推法都一样，以 A2 为例：
A2α=A(Aα)=A(λα)=λ(Aα)=λ2α.
注意最后一行的例外：相似变换下特征值不变，但特征向量要跟着变。其余几行的特征向量都原样不动。
反过来不成立：A+B 的特征值不是 λA+λB，AB 的也不是 λAλB。这两个是常见的想当然，没有依据——除非 A,B 恰好有公共的特征向量。4. 重数与无关特征向量的个数
设 λ0 是特征方程的 k 重根，称 k 为 λ0 的代数重数。
属于 λ0 的线性无关特征向量的个数，等于齐次方程组 (A−λ0E)x=0 的基础解系所含向量个数：
s=n−r(A−λ0E),
称为 λ0 的几何重数。
关键不等式：
1≤s≤k.
左边说明特征向量至少有一个（λ0 是根 ⇒∣A−λ0E∣=0⇒ 有非零解）；右边说明无关特征向量的个数不会超过重数。
s<k 是允许的，这正是有些矩阵不能对角化的原因（下一节细讲）。
单根必有 s=k=1：夹在 1≤s≤1 之间。所以特征值两两不同的矩阵，每个特征值恰好一个无关特征向量。
属于不同特征值的特征向量线性无关（上面证过两个的情形，一般情形同理）。这条让「把各个特征值的基础解系拼起来」仍然无关——下一节对角化全靠它。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
求特征值与特征向量
第一步：写出 A−λE——对角线每个元素都减 λ，别只减一个。
第二步：算 ∣A−λE∣，令其为零解出全部 λi（重根按重数记）。
第三步：用 ∑λi=trA、∏λi=∣A∣ 校验一遍。
第四步：对每个 λi 解 (A−λiE)x=0，基础解系即为特征向量，答案写成 kξ (k=0)。例例. 求 A=(3113) 的特征值与特征向量。
第一步，A−λE=(3−λ113−λ)——对角线上每个元素都减 λ，只减一个是最常见的开局错。
第二步，∣A−λE∣=(3−λ)2−1=λ2−6λ+8=0，得 λ1=2、λ2=4。
第三步，校验：λ1+λ2=6=trA ✓ λ1λ2=8=∣A∣ ✓
第四步，λ=2 时解 (1111)x=0，得 ξ1=(1,−1)T；λ=4 时得 ξ2=(1,1)T。特征向量写成
kξ1 (k=0),kξ2 (k=0).
那个 k=0 不能漏——零向量不是特征向量。
求 A 的多项式（或逆、伴随）的特征值
第一步：先拿到 A 的全部特征值 λ1,…,λn。
第二步：确认要求的矩阵只由 A 本身生成（Ak、aA+bE、A−1、A∗、f(A)），不涉及第二个矩阵。
第三步：把每个 λi 代进对应的式子：λk、aλ+b、1/λ、∣A∣/λ、f(λ)。
第四步：特征向量不变（相似变换除外）。要行列式就把新特征值全乘起来。例例. 接上题（
A 的特征值是
2,4），求
A2−3A+E、
A−1、
A∗ 的特征值。
第一步，
A 的特征值
λ=2,4。
第二步，这三个都只由
A 本身生成，
不涉及第二个矩阵 ✓ 可以直接代。
第三步，逐个代：
f(A)=A2−3A+E：
f(2)=−1、
f(4)=5；
A−1：
21、
41；
A∗=∣A∣A−1（
∣A∣=8）：
4、
2。
第四步，特征向量不变。要行列式就把新特征值乘起来：
A2−3A+E=(−1)⋅5=−5。
不能用在 A+B 上：
A 与
B 的特征值相加一般
不是 A+B 的特征值——第二步就是在拦这个。
判断某个 λ 的无关特征向量个数
第一步：由特征方程读出它的代数重数 k。
第二步：写出 A−λ0E，化阶梯形求 r(A−λ0E)。
第三步：几何重数 s=n−r(A−λ0E)。
第四步：核对 1≤s≤k；s<k 时该特征值「亏了」，A 不能对角化。例例. 设
A=200120003，
λ=2 有几个无关的特征向量？
第一步，
∣A−λE∣=(2−λ)2(3−λ)，
λ=2 的
代数重数 k=2。
第二步，
A−2E=000100001，化阶梯形得
r=2。
第三步，几何重数
s=n−r=3−2=1。
第四步，核对
1≤s≤k ✓ 但
s=1<2=k——这个特征值
「亏了」，所以
A 不能对角化。
对照 B=diag(2,2,3)：同样
k=2，而
r(B−2E)=1、
s=2=k，能对角化。两个矩阵特征值完全相同，能不能对角化却不同——差别
只在几何重数上。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
写成 ∣A−λ∣，漏掉单位阵
矩阵不能减一个数，必须写 A−λE。
漏掉 E 的典型后果是只在某一个对角元上减了 λ，其余位置忘了减——行列式整个算错。
写出 A−λE 这一步要落在纸上，别心算跳过。把零向量当特征向量
特征向量必须非零，这是定义的一部分。
所以答案写 kξ 时要注明 k=0。
但特征值可以是 0——λ=0 只说明 A 不可逆，是完全合法的特征值。这两件事别混。以为 A+B 的特征值是两者之和
没有这回事，AB 的也不是两者之积。
那一族规律（Ak、A−1、f(A)）之所以成立，是因为它们只涉及 A 一个矩阵，特征向量一路管用。
一旦出现第二个矩阵，特征向量不通用，推导就断了。算完不校验
∑λi=trA 和 ∏λi=∣A∣ 两条，几秒钟就能查完。
特征多项式展开错一个符号是高频失误，而这两条几乎必定抓得住。
对不上就回去重算，别带着错的特征值去做后面的对角化——那是整道大题一起丢分。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 认定义
练 1
λ 是 A 的特征值、α 是对应特征向量，是指（ ）。- AAα=λα，α 可以为零
- BAα=λα，且 α=0
- CAα=α
- DαA=λα
练 2
特征方程是 ∣A−λ ________ ∣=0。练 3
下列说法正确的是（ ）。- A特征值不能为 0
- B特征向量可以为零向量
- C特征值可以为 0，特征向量不能为零向量
- D两者都不能为零
练 4
设 A 的特征值为 1,2,3，则 ∣A∣= ________。第二组 · 算与校验
练 5
设 A=(3005)，则其特征值为 ________。练 6
设 A 的特征值为 2,3，则 A2 的特征值为（ ）。练 7
设 A 为 3 阶方阵，特征值为 1,2,4，则 trA= ________。练 8
设 A 可逆，特征值为 λ，则 A−1 的特征值为（ ）。第三组 · 重数与综合
练 9
设 A 为 4 阶方阵，λ0 满足 r(A−λ0E)=2，则属于 λ0 的无关特征向量有 ________ 个。练 10
设 λ0 是 A 的 k 重特征值，属于它的无关特征向量有 s 个，则（ ）。- As=k 恒成立
- Bs≥k
- C1≤s≤k
- Ds 可以为 0
练 11
设 A 的特征值为 1,2，则 2A+3E 的特征值为 ________。练 12
设 A,B 均为 n 阶方阵，λ 是 A 的特征值、μ 是 B 的特征值，则（ ）。- Aλ+μ 必是 A+B 的特征值
- Bλμ 必是 AB 的特征值
- C以上都不一定成立
- Dλ−μ 必是 A−B 的特征值