行列式的计算

线性代数 · 行列式

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 主力方法：化成三角形

上一节说过，三角行列式等于主对角线之积。所以计算的主线就是：用性质把左下方全化成零，再把对角线乘起来。

能用的三种变换，以及它们对值的影响：

某行的 k 倍加到另一行 交换两行 某行提出公因子 k 值不变 变号 值除以 k

主力是第一条（倍加不变）——它不改变值却能造零，所以可以放心用。另外两条用的时候要记账。

化简的次序：先用第一行把第一列下面全化成零，再用第二行把第二列下面化成零，如此往下。每一步只用上面的行去加下面的行，这样已经化好的零不会被破坏。

首项是零怎么办：先交换两行把非零的换上来（记得变号），或者用倍加凑出一个非零的首项。

2. 降阶：先造零，再按那一行展开

不想一路化到三角形时，可以只造出足够多的零，然后按那一行（列）展开，把

n

阶降成

n - 1

阶。

做法三步：

① 挑一行（列），最好本来就有零，或者有一个

1

（便于造零）。

② 用倍加把那一行（列）化到只剩一个非零元素。

③ 按它展开，整个行列式就等于「那个元素 × 它的代数余子式」，只剩一项。

和化三角形相比：化三角形是一条道走到底，适合元素规整的；降阶适合某一行（列）本来就有很多零、或者有明显的

1

的。

两者常常混用：先倍加造几个零，降一阶，再看新的行列式适合哪种。

有一个 $1$ 是宝贵的——用它去消同一列的其他元素不会产生分数。没有

1

时可以先用倍加凑一个出来（例如两个相邻元素相减）。

3. 两类有固定套路的行列式

① 每行（列）元素之和相同. 把其余各列全加到第一列上，第一列就变成同一个数，提出来之后那一列全是

1

，再化简就很轻。

例如主对角线是

a

、其余是

b

的

n

阶行列式，每行之和都是

a + (n - 1) b

，用这一招立刻降下来。

② 范德蒙行列式. 形如

1 x_{1} x_{1}^{2} 1 x_{2} x_{2}^{2} 1 x_{3} x_{3}^{2}

（第一行全是

1

，往下每行是上一行的对应次幂）。它的值是所有「后减前」之差的乘积：

1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) .

三阶时就是

(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2})

。

认出它的标志是「每列成等比、首行全 $1$ 」。顺带一个常考的结论：范德蒙行列式为零当且仅当有两个 $x_{i}$ 相等——乘积里有一个因子为零。

次序别写反：是「后面的减前面的」，写反了整体差一个符号（偶数个因子时才不差）。

4. 抽象行列式：用性质而不是算元素

有一类题不给具体数字，而是给出抽象矩阵的条件，问某个行列式的值。这类题一个元素都不用算，全靠性质和下面几条公式。

乘积的行列式（

A

、

B

同阶）：

∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣.

注意加法没有这条：

∣ A + B ∣ \neq = ∣ A ∣ + ∣ B ∣

，而且一般毫无关系。

数乘：

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

（上一节强调过）。

转置：

∣ A^{T} ∣ = ∣ A ∣

。

逆（

A

可逆时）：

∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ A ∣}

。由

A A^{- 1} = E

两边取行列式即得。

解这类题的次序：先把式子用上面几条拆成若干

∣ A ∣

、

∣ B ∣

的乘积，再代入已知的数值。

最常见的错是对和用乘积公式——

∣ A + B ∣

拆不开，看到加号就要停下来想别的办法。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

化三角形：从左上往右下，一列一列地化

第一步：用第一行把第一列下面全化成零（

r_{i} - k r_{1}

，值不变）。

第二步：用第二行把第二列下面化成零。如此往下。

第三步：首项为零时先交换两行换一个非零的上来，记得变号。

第四步：化成三角形后把主对角线乘起来，再处理之前记下的符号与公因子。

例例. 求

D = 012123235

。

第一步，第一列首项是

0

，先交换

r_{1} \leftrightarrow r_{2}

，记一个负号：

D = - 102213325 .

第二步，用第一行消第一列（

r_{3} - 2 r_{1}

）：第三行成为

(0, - 1, - 1)

。

第三步，用第二行消第二列（

r_{3} + r_{2}

）：

D = - 100210321 .

第四步，对角线相乘得

1

，再乘上记下的负号：

D = - 1

。

那个负号最容易在化到一半时忘掉。交换的当下就写在行列式前面，别留到最后回忆。

降阶：造零到只剩一个，再展开

第一步：挑一行（列）——本来有零的，或者有

1

的。

第二步：用倍加把那一行（列）化到只剩一个非零元素。

第三步：按它展开，写出「那个元素 ×

(- 1)^{i + j}

× 余子式」。

第四步：对低一阶的行列式重复判断，选化三角形还是继续降阶。

例例. 求

D = 111123149

。

第一步，挑第一列（全是

1

，最好消）。

第二步，倍加消到只剩一个非零元素：

r_{2} - r_{1}

、

r_{3} - r_{1}

，

D = 100112138 .

第三步，按第一列展开。只剩

a_{11} = 1

，符号

(- 1)^{1 + 1} = +

：

D = 1 \cdot 1238 .

第四步，二阶直接算：

8 - 6 = 2

，故

D = 2

。

（这其实是三阶范德蒙：

(2 - 1) (3 - 1) (3 - 2) = 2

✓ 认出形状能一行写完——下一条就讲这个。）

先认形状：三类能省掉整道题

每行（列）之和相同 → 其余各列全加到第一列，提公因子。

首行全 $1$ 、往下逐次升幂 → 范德蒙，直接套「后减前」之积。

抽象矩阵 → 用

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣

、

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

、

∣ A^{- 1} ∣ = 1/∣ A ∣

拆。

都不是 → 老老实实化三角形或降阶。

例例. 三类形状各一道。

每行之和相同：

311131113

，每行和都是

5

。把

c_{2}, c_{3}

全加到

c_{1}

，第一列成了

(5, 5, 5)^{T}

，提出

5

：

5111131113 = 5 \cdot 4 = 20.

范德蒙：

111124139

，首行全

1

、往下逐次升幂，套「后减前」之积：

(2 - 1) (3 - 1) (3 - 2) = 2

。

抽象矩阵：

A

三阶、

∣ A ∣ = 2

，求

2 A^{- 1}

。用

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

与

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣}

：

2 A^{- 1} = 2^{3} \cdot \frac{1}{2} = 4.

都不是就化三角形或降阶。

2^{3}

里那个

3

是最常写错的地方——

n

先标在旁边。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

交换两行忘了记负号

化简中为了把非零元素换上来而交换两行，每换一次就变一次号。

换一次就在旁边记一个负号，最后统一处理。倍加（

r_{i} - k r_{j}

）则不变号，两者别混。

用下面的行去加上面的行

那样会破坏已经化好的零，下一步得重来。

按「从上往下、从左往右」走，每一步的成果才会被保留——和解方程组的消元次序是同一回事。

范德蒙的因子次序写反

是

\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})

，后面的减前面的。

写反之后，因子个数为奇数时整体差一个符号。三阶是

(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2})

，照这个样子记。

对 $∣ A + B ∣$ 用乘积公式

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣

对乘法成立，对加法完全不成立。

A = E

、

B = - E

时

∣ A ∣ = ∣ B ∣ = 1

而

∣ A + B ∣ = 0

。

看到加号就停下来：能提公因子化成乘积就提，不能就另找办法。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 化三角形

练 1

把第一行的

k

倍加到第二行，行列式的值（）。

A不变
B变号
C乘以 $k$
D变为零

练 2

100210321 =

________。

练 3

1232583814 =

________。

练 4

化三角形时应当（）。

A用下面的行去加上面的行
B从右下角往左上角化
C用上面的行去加下面的行，从左往右一列一列化
D任意次序都一样

第二组 · 降阶与套路

练 5

246111358 =

________。

练 6

行列式

1 x_{1} x_{1}^{2} 1 x_{2} x_{2}^{2} 1 x_{3} x_{3}^{2}

称为（）。

A对角行列式
B三角行列式
C范德蒙行列式
D反对称行列式

练 7

111124139 =

________。

练 8

范德蒙行列式等于零，当且仅当（）。

A有某个 $x_{i} = 0$
B所有 $x_{i}$ 都为正
C阶数为偶数
D有两个 $x_{i}$ 相等

第三组 · 抽象行列式

练 9

设

A

、

B

为同阶方阵，则下列等式成立的是（）。

A $∣ A + B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$
B $∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣$
C $∣ k A ∣ = k ∣ A ∣$
D $∣ A^{T} ∣ = - ∣ A ∣$

练 10

设

A

、

B

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

、

∣ B ∣ = 3

，则

∣2 A B ∣ =

________。

练 11

设

A

可逆且

∣ A ∣ = 5

，则

∣ A^{- 1} ∣ =

________（结果用分数）。

练 12

某

n

阶行列式每行元素之和都等于

c

，最省事的第一步是（）。

A按第一行展开
B直接化三角形
C把其余各列全加到第一列，再提出公因子 $c$
D用范德蒙公式

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

行列式的计算

先打基础

1. 主力方法：化成三角形

2. 降阶：先造零，再按那一行展开

3. 两类有固定套路的行列式

4. 抽象行列式：用性质而不是算元素

常用结构

化三角形：从左上往右下，一列一列地化

降阶：造零到只剩一个，再展开

先认形状：三类能省掉整道题

基础易错

交换两行忘了记负号

用下面的行去加上面的行

范德蒙的因子次序写反

对 ∣A+B∣ 用乘积公式

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

对 $∣ A + B ∣$ 用乘积公式