行列式的计算

§8.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.31 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

4.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）行列式的概念与性质③ 掌握后可解锁克拉默法则特征值与特征向量的概念与计算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 化为三角形是通用方法，但三种行（列）变换对行列式值的影响各不相同★★ 必会

任何行列式都可以用初等变换化成三角形来计算，这是最通用、也最不易出错的方法。但三种变换对行列式值的影响各不相同，必须分别记清：

- 倍加（把某行的

k

倍加到另一行）：行列式的值不变，这是化简的主要手段，可以放心使用。
- 互换两行（列）：行列式变号，每互换一次就要记上一个因子

(- 1)

。
- 提公因子（从某行提出

k

）：提出以后要在行列式外面乘回 $k$ 。

化为三角形的一般步骤是：从第

1

列起，用倍加变换把对角线下方的元素消成

0

；若某个主元位置上是

0

，就与它下方的非零行互换，同时注意变号；最后取对角线上各元素之积，并把中途互换所得的符号与提出的公因子都乘回去。

举例说明

（数三 1988）计算

D = 1110110110110111

。

解. 注意到每一行元素之和都等于 $3$ ，这是化三角形之前最省力的入手处。先把第

2, 3, 4

列都加到第

1

列上（倍加变换不改变行列式的值），于是第

1

列变为

(3, 3, 3, 3)^{T}

，再提出公因子 $3$ ，提出后须在外面乘回，得

D = 31111110110110111 .

再用第

4

行分别去减第

1, 2, 3

行（倍加变换不改变值），制造出大量零元，得

D = 3 0001 00 - 1 1 0 - 1 01 - 1 001 .

末式按第

1

列展开（该列中只有第

4

行的

1

不为零），逐层降阶得

- 1

，故

D = 3 \times (- 1) = - 3

。全过程只涉及倍加不改变值 $+$ 提出公因子须乘回这两项，因而不会出错。

2. 按行（列）展开的正确做法：先造零，只留一个非零元再展开★★ 必会

拉普拉斯展开

D = \sum_{k} a_{ik} A_{ik}

是降阶的基本工具，但如果直接按某一行展开，往往越展越多，一个

4

阶行列式展成

4

个

3

阶行列式，反而更繁。正确的做法是：先用倍加变换在某一行（列）中造出尽可能多的零，最好只剩一个非零元，再沿这一行（列）展开，一步就把

n

阶干净地降为一个

n - 1

阶。选取行（列）的原则是：哪一行（列）零元多，或者容易造出零，就沿哪一行（列）展开。

此外要注意代数余子式的符号

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

，不要把

A_{ij}

与余子式

M_{ij}

混用；还要注意一条常考的结论：用某一行的元素去乘另一行的代数余子式，其和恒为零，即

\sum_{k} a_{s k} A_{ik} = 0 (s \neq = i)

。

证明 / 推导

下面证明上述结论，即

\sum_{k} a_{s k} A_{ik} = 0 (s \neq = i)

。构造新矩阵

B

：把原矩阵

A

的第

i

行整行换成第

s

行，其余各行不动。则

B

的第

i

行与第

s

行完全相同，故

∣ B ∣ = 0

。另一方面，

B

与

A

只有第

i

行不同，而代数余子式

A_{ik}

只与第

i

行以外的元素有关，故

B

的第

i

行的代数余子式仍是

A_{ik}

。把

∣ B ∣

按第

i

行展开，得

∣ B ∣ = \sum_{k} b_{ik} A_{ik} = \sum_{k} a_{s k} A_{ik}

。两式相比较，即得

\sum_{k} a_{s k} A_{ik} = ∣ B ∣ = 0

。

■

举例说明

（数三 2024）设

A = a + 1 a 1 b \frac{b}{2} 1 312

，

M_{ij}

为元素

a_{ij}

的余子式。若

∣ A ∣ = - \frac{1}{2}

且

- M_{21} + M_{22} - M_{23} = 0

，求

a, b

。

解. 关键在于把余子式的组合化成代数余子式的组合：由

A_{2 j} = (- 1)^{2 + j} M_{2 j}

得

A_{21} = - M_{21}, A_{22} = M_{22}, A_{23} = - M_{23}

，故

- M_{21} + M_{22} - M_{23} = A_{21} + A_{22} + A_{23} .

它是用

(1, 1, 1)

去乘第二行的代数余子式，恰好等于把 $A$ 的第二行换成 $(1, 1, 1)$ 以后所得的行列式：

a + 1 11 b 11 312 = 0.

作变换

r_{3} - r_{2}

，再按第三行展开，得

a + 1 - b = 0

，即

b = a + 1

。代回

∣ A ∣ = - \frac{1}{2}

并化简，得

2 b^{2} - 7 b + 5 = 0

，解得

b = 1 (a = 0)

或

b = \frac{5}{2} (a = \frac{3}{2})

。

本题充分利用了代数余子式 $\leftrightarrow$ 按行展开这一对应关系：

\sum_{k} c_{k} A_{ik}

就是把第

i

行换成

(c_{1}, \dots, c_{n})

以后的行列式；上面所说的和恒为零，就是取

c =

另一行时的特殊情形。

3. 范德蒙德行列式：注意连乘 $\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})$ 的次序，并会用归纳法证明★★ 必会

范德蒙德行列式

V_{n} = 1 x_{1} ⋮ x_{1}^{n - 1} 1 x_{2} ⋮ x_{2}^{n - 1} \dots \dots \dots 1 x_{n} ⋮ x_{n}^{n - 1} = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i})

是高阶行列式中唯一有封闭连乘公式的标准型。只要看出各列依次是同一变量的

0, 1, \dots, n - 1

次幂，就能立即写出结果。连乘的方向是下标大的减去下标小的，即 $(x_{j} - x_{i})$ ，写反就会相差一个符号。 由它可以直接推出：

V_{n} \neq = 0 ⟺ x_{1}, \dots, x_{n}

两两不同。这一结论在多项式插值以及判定线性无关时反复用到。

证明 / 推导

用归纳法（降阶）证明

V_{n} = \prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})

。自下而上消元，即对每一行作

r_{k} \to r_{k} - x_{1} r_{k - 1}

（

k = n, n - 1, \dots, 2

）。这样第

1

列中除顶端的

1

以外全变为

0

，而第

j

列（

j \geq 2

）中第

k

行的元素变为

x_{j}^{k - 1} - x_{1} x_{j}^{k - 2} = x_{j}^{k - 2} (x_{j} - x_{1})

。沿第

1

列展开，降为

n - 1

阶，再从每一列

j

中提出公因子

(x_{j} - x_{1})

，得

V_{n} = j = 2 \prod n (x_{j} - x_{1}) \cdot V_{n - 1} (x_{2}, \dots, x_{n}) .

以

V_{1} = 1

为基础反复递推，即得

V_{n} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{j} - x_{i})

。

■

举例说明

计算

4

阶行列式

1111124813927141664

。

解. 各列依次是

x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3, x_{4} = 4

的

0, 1, 2, 3

次幂，这是标准的范德蒙德行列式，直接用公式，得

V_{4} = 1 \leq i < j \leq 4 \prod (x_{j} - x_{i}) = (2 - 1) (3 - 1) (4 - 1) (3 - 2) (4 - 2) (4 - 3) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 12.

所以所求行列式

= 12

。若用化三角形的方法计算这个

4

阶行列式，要费不少工夫；一旦看出范德蒙德的结构，就可以一步得出结果。

4. 递推法：建立 $D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}$ 之后，还须用特征方程把通项解出来★ 要懂

对三对角形或元素有规律的高阶行列式，按第一行（列）展开常得到二阶线性递推关系

D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}

。写出递推关系以后往往就停住了，其实还应像解常系数线性递推数列那样把通项求出来：写出特征方程

x^{2} = p x + q

，设它的两个根为

x_{1}, x_{2}

。

- 两根相异（

x_{1} \neq = x_{2}

）时，通解为

D_{n} = c_{1} x_{1}^{n} + c_{2} x_{2}^{n}

；
- 两根相等（

x_{1} = x_{2}

）时，通解为

D_{n} = (c_{1} + c_{2} n) x_{1}^{n}

。

常数

c_{1}, c_{2}

由初值

D_{1}, D_{2}

确定。先建立递推关系

\to

再解特征方程

\to

最后定出常数，这一套步骤是求

n

阶规律型行列式的通用方法。

证明 / 推导

为什么按第一行展开能得到二阶递推关系？以三对角行列式（主对角线上是

a

，其上一条对角线上是

b

，其下一条对角线上是

c

）为例，沿第一行展开，得

D_{n} = a D_{n - 1} - b \cdot M

，其中

M

是划去第

1

行第

2

列所得的子式。对

M

再沿它的第一列展开，其中只有原来

(2, 1)

处的元素

c

不为零，而余下的子式恰是

D_{n - 2}

，故

M = c D_{n - 2}

，于是

D_{n} = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2}

。特征方程法之所以有效，是因为把

D_{n} = x^{n}

代入齐次递推关系

D_{n} - p D_{n - 1} - q D_{n - 2} = 0

后得

x^{n - 2} (x^{2} - p x - q) = 0

，故当

x

取特征根时

x^{n}

是一个解，再由线性叠加与初值即可唯一地确定通项。

■

举例说明

（数三 2008）证明

n

阶三对角行列式

D_{n} = 2 a a^{2} 1 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ ⋱ ⋱ a^{2} 1 2 a = (n + 1) a^{n}

。

解. 沿第一行展开（沿第一列同理），得二阶线性递推关系

D_{n} D_{1} = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2} = 2 a, D_{2} = (2 a)^{2} - a^{2} = 3 a^{2} .

下面用特征方程把它解出来：特征方程为

x^{2} = 2 a x - a^{2}

，即

(x - a)^{2} = 0

，得重根

x_{1} = x_{2} = a

。故通解应取重根的形式

D_{n} = (c_{1} + c_{2} n) a^{n}

。代入初值：由

n = 1

得

(c_{1} + c_{2}) a = 2 a

，由

n = 2

得

(c_{1} + 2 c_{2}) a^{2} = 3 a^{2}

，解得

c_{1} = c_{2} = 1

。于是

D_{n} = (1 + n) a^{n} = (n + 1) a^{n} . ■

这是重根情形的典型例子：与两根相异的例子（

D_{n} = 2^{n + 1} - 1

）相比可以看出，特征方程一旦出现重根，通解中就必须带有因子

n

。

💡 小知识

范德蒙德行列式以 18 世纪的法国数学家范德蒙德命名，可是在他本人的著作里，其实并没有写下这个后来冠上他名字的行列式。数学史上这类张冠李戴式的命名并不罕见，它是其中著名的一例。今天，这个行列式在多项式插值和信号处理中随处可见。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用化三角形的方法计算

D = 123231112

。难度 1

主线：用『倍加不变』把主对角线下方消成 $0$ ，化成上三角，再取对角线乘积。
第一步，把第

1

行的

(- 2)

倍加到第

2

行、

(- 3)

倍加到第

3

行（倍加不改变行列式值）：

D = 100 2 - 1 - 5 1 - 1 - 1 .

第二步，把第

2

行的

(- 5)

倍加到第

3

行：

D = 100 2 - 1 0 1 - 1 4 = 1 \times (- 1) \times 4 = - 4.

所以

D = - 4

。全程只用倍加（不变号、不提公因子），最稳妥。

例 2 计算

D = 522252225

。难度 1

识别结构：每行元素之和都相等（都是

5 + 2 + 2 = 9

），这是『行和相等型』，标准套路是把其余各列加到第一列，提出公因子。
把第

2, 3

列加到第

1

列，第一列变成

(9, 9, 9)^{T}

，提出

9

：

D = 9111252225 .

再把第

1

行的

(- 1)

倍加到第

2, 3

行，化为下三角：

D = 9100230203 = 9 \times (1 \times 3 \times 3) = 81.

所以

D = 81

。（也可套『对角为

a

、其余为

b

』的公式

[a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1} = [5 + 2 \times 2] (5 - 2)^{2} = 9 \times 9 = 81

。）

例 3 计算范德蒙德型行列式

D = 1241391525

。难度 2

认结构：第

1

列是

2

的

0, 1, 2

次幂

(1, 2, 4)

，第

2

列是

3

的各次幂

(1, 3, 9)

，第

3

列是

5

的各次幂

(1, 5, 25)

，即

x_{1} = 2, x_{2} = 3, x_{3} = 5

的范德蒙德行列式。直接套公式

D = 1 \leq i < j \leq 3 \prod (x_{j} - x_{i}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) .

代入：

D = (3 - 2) (5 - 2) (5 - 3) = 1 \times 3 \times 2 = 6.

所以

D = 6

。注意连乘方向是『下标大的减下标小的』，写反会差一个符号。

例 4 计算爪形（箭形）行列式

D = 2111110010101001

。难度 2

爪形行列式的套路：用对角线上的元素把『爪尖』（第一行或第一列的那串非零元）消掉，化成三角形。 这里第

2, 3, 4

列的对角元都是

1

，正好拿来消第一行的三个

1

。
把第

2, 3, 4

列都减到第

1

列上（即

C_{1} \to C_{1} - C_{2} - C_{3} - C_{4}

，倍加不变）：第

1

列由

(2, 1, 1, 1)^{T}

变为

(2 - 1 - 1 - 1, 1 - 1, 1 - 1, 1 - 1)^{T} = (- 1, 0, 0, 0)^{T}

：

D = - 1 000 110010101001 .

这已是上三角行列式，等于主对角线之积：

D = (- 1) \times 1 \times 1 \times 1 = - 1.

所以

D = - 1

。爪形的关键是看准哪一排对角元能『反过来』把爪尖清零。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

3

阶非零矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，若

A^{*} = - 2 A

，则

A^{2} =

（　　）。

A $- 4 00 0 - 4 0 00 - 4$
B $- 4 00 0 - 4 0 004$
C $- 4 00 040004$
D $400040004$

2025 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = (1 - 2 2 - a)

，

B = (11 0 a)

，若

f (x, y) = ∣ x A + y B ∣

是正定二次型，则

a

的取值范围是（　　）。

A $(0, 2 - 3)$
B $(2 - 3, 2 + 3)$
C $(2 + 3, 4)$
D $(0, 4)$

2025 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

已知

f (x) = 2 x + 1 2 x 2 x + 1 2 x 3 - 3 2 - 4 2 x + 1 4 x 2 x + 1 4 x 1 - 2 1 - 2

，

g (x) = 2 x + 1 5 x + 1 0 2 x 1 - 2 1 - 2 2 x + 1 4 x 2 x + 1 4 x 3 - 3 2 - 4

，则方程

f (x) = g (x)

的不同的根的个数为______。

2024 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = a + 1 a 1 b \frac{b}{2} 1 312

，

M_{ij}

表示

A

的

i

行

j

列元素的余子式。若

∣ A ∣ = - \frac{1}{2}

，且

- M_{21} + M_{22} - M_{23} = 0

，则（　　）。

A $a = 0$ 或 $a = - \frac{3}{2}$
B $a = 0$ 或 $a = \frac{3}{2}$
C $b = 1$ 或 $b = - \frac{1}{2}$
D $b = - 1$ 或 $b = \frac{1}{2}$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

行列式

411141114 =

____。

练习 2 · 选择题

范德蒙德行列式

1111391525 =

（）。

A $8$
B $16$
C $12$
D $30$

练习 3 · 填空题

副对角线行列式

004030200 =

____。

练习 4 · 选择题

行列式

1312241200230001 =

（）。

A $4$
B $- 4$
C $- 2$
D $2$

练习 5 · 填空题

4

阶行列式

3222232222322223 =

____。

练习 6 · 选择题

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为

3

阶矩阵（

α_{i}

为列向量），

∣ A ∣ = - 3

。记

B = (α_{1} + α_{2} + α_{3}, α_{1} + 2 α_{2} + 4 α_{3}, α_{1} + 3 α_{2} + 9 α_{3}),

则

∣ B ∣ =

（）。

A $- 3$
B $- 6$
C $- 18$
D $6$

练习 7 · 填空题

行列式

2111131111411115 =

____。

练习 8 · 解答题

设

n

阶行列式

D_{n}

的第

i

行第

j

列元素为

min {i, j}

，

n

阶行列式

G_{n}

的第

i

行第

j

列元素为

max {i, j}

（

i, j = 1, 2, \dots, n

）。

(1) 写出

n = 3

时的两个行列式，并直接算出它们的值；

(2) 用逐行相减的方法证明：对一切

n \geq 1

有

D_{n} = 1

；

(3) 求

G_{n}

。

2021 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

多项式

f (x) = x 122 x x 1 - 1 12 x 1 2 x - 1 1 x

中

x^{3}

项的系数为 ______。

2020 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

______.

行列式的计算

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 化为三角形是通用方法，但三种行（列）变换对行列式值的影响各不相同★★ 必会

2. 按行（列）展开的正确做法：先造零，只留一个非零元再展开★★ 必会

3. 范德蒙德行列式：注意连乘 ∏i<j​(xj​−xi​) 的次序，并会用归纳法证明★★ 必会

4. 递推法：建立 Dn​=pDn−1​+qDn−2​ 之后，还须用特征方程把通项解出来★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 范德蒙德行列式：注意连乘 $\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})$ 的次序，并会用归纳法证明★★ 必会

4. 递推法：建立 $D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}$ 之后，还须用特征方程把通项解出来★ 要懂