行列式的概念与性质

线性代数 · 行列式

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 二阶与三阶：先把算法记牢

二阶是对角线相减：

a c b d = a d - b c .

三阶可以用对角线法则（沙路法）：主对角线方向三条相加，副对角线方向三条相减。

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33}

展开后共六项：

- a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} .

对角线法则只对二阶、三阶成立. 四阶及以上没有这种画斜线的办法——这是初学时最常见的误用，也是后面必须学展开与化三角形的原因。

行列式是一个数，不是一个表. 它用竖线

∣ \cdot ∣

括起来；用圆括号或方括号括起来的那个是矩阵，矩阵是一张表，不是数。两者的记号差别要看清，答题时写错括号意思就变了。

2. 六条性质：计算行列式全靠它们

记

D

为一个

n

阶行列式。

① 转置不变.

D^{T} = D

。于是对行成立的性质，对列全都成立——下面五条都只说行，列同理。

② 交换两行，行列式变号。

③ 某行乘以 $k$ ，行列式乘以 $k$ . 反过来说，某一行的公因子可以提到行列式外面。

注意这与矩阵不同：

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

，因为

n

行每一行都乘了

k

，要提

n

次。写成

k ∣ A ∣

是最常见的错。

④ 两行相同，行列式为零. 由②推出（见下面的「证明 / 推导」）。

⑤ 两行成比例，行列式为零. 由③④推出。

⑥ 把某一行的 $k$ 倍加到另一行，行列式不变. 这一条是化简的主力——它不改变值，却能造出一堆零。

还有一条常用的：某行是两项之和时，行列式可以拆成两个之和（只拆那一行）。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经由性质②（交换两行变号）证出了性质④（两行相同则为零）。它的手法只有一步：同一个量算两遍——交换之后，一边说「按性质应该变号」，一边说「其实一个数都没动」，两个结果一对照就逼出

D = - D

。

下面这条用的是另一条路，但同样是拿已有的性质去推新的性质：先用性质③把比例系数提出来，就化成了刚证过的那个情形。先把那一段看懂，再动笔。请你用性质③（某行乘

k

则行列式乘

k

）与刚证过的性质④，证明性质⑤：

若行列式

D

的第

i

行是第

j

行的

k

倍（

i \neq = j

），则

D = 0

。

3. 展开定理：按一行（列）降阶

余子式与代数余子式. 划掉元素

a_{ij}

所在的第 $i$ 行与第 $j$ 列，剩下的

n - 1

阶行列式称为

a_{ij}

的余子式，记作

M_{ij}

；加上符号就是代数余子式：

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij} .

那个符号按棋盘排：左上角是

+

，然后正负交替。

+ - + - + - + - +

展开定理. 行列式等于它的某一行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和：

D = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{in} A_{in} .

挑哪一行展开？挑零最多的那一行（或列）。 一个零就省掉一个

n - 1

阶行列式，这是降阶时唯一要动的脑筋。

还有一条常考的异乘变零：某一行的元素乘以另一行的代数余子式，乘积之和为零：

a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{in} A_{j n} = 0 (i \neq = j) .

道理就是性质④：那个和其实是某个「两行相同」的行列式按行展开的结果。

4. 几个特殊的行列式：一眼就能写出答案

① 上（下）三角行列式 $=$ 主对角线元素之积.

a_{11} 00 * a_{22} 0 * * a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} .

（

*

表示任意数。）这是下一节「化三角形」之所以管用的理由：化成三角形之后直接把对角线乘起来。

② 对角行列式是三角的特例，同样等于对角线之积。

③ 有一行（列）全为零，则行列式为零. 由性质③提出因子

0

即得。

④ 副对角线方向的三角行列式要多带一个符号：

(- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n 1} .

二阶时这个符号是

- 1

（即

0 c b 0 = - b c

），三阶时是

- 1

，四阶时是

+ 1

。容易记混，不确定时就按展开定理硬算一次，三阶以内都很快。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

动笔前先扫一眼：能不能直接写出答案

第一步：有没有一行（列）全为零？有就是

0

。

第二步：有没有两行（列）相同或成比例？有就是

0

。

第三步：是不是三角形或对角形？是就把对角线乘起来。

第四步：都不是，再考虑展开或化简。这三秒常常能省掉整道题。

例例. 下面四个，哪些不用算就能写出答案？

①

104205306

——第二行全为零

\Rightarrow

0

。

②

1224

——第二行是第一行的

2

倍

\Rightarrow

0

。

③

200730954

——上三角

\Rightarrow

对角线相乘

= 24

。

④

1472583610

——三条都不中，老实算（

= - 3

）。

第四步，这三秒常常能省掉整道题。考场上先扫这一眼再动笔，比算到一半才发现有两行成比例划算得多。

按行（列）展开：挑零最多的那一条

第一步：数一数每行每列各有几个零，挑最多的那一条。

第二步：按棋盘图把那一条上各元素的符号

(- 1)^{i + j}

标出来。

第三步：逐项写

a_{ij} A_{ij}

，零项直接跳过。

第四步：算出各个余子式（划掉所在行列），相加。

例例. 求

D = 135006247

。

第一步，数零：三行各有

1, 1, 0

个；三列各有

0, 2, 0

个。挑第二列。

第二步，第二列的符号：

(1, 2)

位是

-

，

(2, 2)

位是

+

，

(3, 2)

位是

-

。

第三步，前两项的元素是

0

，直接跳过；只剩

D = a_{32} A_{32} = 6 \cdot (- 1)^{3 + 2} M_{32} .

第四步，

M_{32}

是划掉第三行第二列剩下的

1324 = - 2

，所以

D = 6 \cdot (- 1) \cdot (- 2) = 12

。

挑错一条的代价很实在：按第一行展开要算两个二阶行列式，是现在的两倍工作量。

用性质化简：目标是造零

第一步：用性质⑥（某行的

k

倍加到另一行，值不变）造零。

第二步：某行有公因子就用性质③提出来，数字会变小。

第三步：交换两行能让零排得更整齐时就换，记得变号。

第四步：化到零够多时按那一行展开，或者化成三角形直接乘对角线。

例例. 求

D = 1232583814

。

第一步，用性质⑥造零（某行的

k

倍加到另一行，值不变）：

r_{2} - 2 r_{1}

、

r_{3} - 3 r_{1}

，

D = 100212325 .

第二步，没有公因子可提。

第三步，零已经排得很整齐，不必交换。

第四步，再

r_{3} - 2 r_{2}

化成上三角：

D = 100210321 = 1.

倍加不改变值，所以全程一个负号都不用记；一旦交换了两行，就要当场在旁边记下变号。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

四阶也画对角线

对角线法则只对二阶、三阶成立。

n

阶行列式展开有

n!

项，四阶是

24

项，画斜线只能凑出

8

条。

四阶及以上必须用展开定理或化三角形。

$∣ k A ∣$ 写成 $k ∣ A ∣$

正确的是

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

：

k A

的每一行都乘了

k

，要提

n

次。

这是行列式与矩阵最容易混的一处——矩阵数乘是每个元素都乘，行列式提公因子是一行一行地提。

代数余子式的符号弄反

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

，按棋盘图排：左上角

+

，每走一格翻号。

符号一错整道题就废了。展开前先把那一行（列）的符号标出来再动笔。

交换两行忘了变号

性质②：交换两行，行列式变号。化简时为了让零排整齐而换行，很容易忘。

换一次就在旁边记一个负号，最后统一处理。（注意：性质⑥的「倍加」是不变号的，两者别混。）

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 二阶三阶与性质

练 1

1324 =

________。

练 2

若行列式

D

有两行完全相同，则

D =

（）。

A $0$
B $1$
C $2$ 倍的某个子式
D无法确定

练 3

121240361 =

________。

练 4

200530974 =

________。

第二组 · 展开与符号

练 5

代数余子式

A_{23}

前面的符号是（）。

A $+$
B $-$
C由元素的正负决定
D由行列式的阶数决定

练 6

135246007 =

________。

练 7

设

A

是

3

阶矩阵且

∣ A ∣ = 2

，则

∣2 A ∣ =

（）。

A $4$
B $8$
C $16$
D $2$

练 8

下列操作中，使行列式的值不变的是（）。

A交换两行
B某行乘以 $2$
C把第一行的 $3$ 倍加到第二行
D把某行除以 $2$

第三组 · 综合判断

练 9

对角线法则（沙路法）适用于（）阶行列式。

A任意阶
B只有二阶
C四阶及以下
D二阶与三阶

练 10

设

D

的第

2

行是第

3

行的

5

倍，则

D =

________。

练 11

某行元素乘以另一行对应的代数余子式，乘积之和等于（）。

A行列式本身
B $0$
C行列式的相反数
D无法确定

练 12

0320 =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

行列式的概念与性质

先打基础

1. 二阶与三阶：先把算法记牢

2. 六条性质：计算行列式全靠它们

请你先证

3. 展开定理：按一行（列）降阶

4. 几个特殊的行列式：一眼就能写出答案

常用结构

动笔前先扫一眼：能不能直接写出答案

按行（列）展开：挑零最多的那一条

用性质化简：目标是造零

基础易错

四阶也画对角线

∣kA∣ 写成 k∣A∣

代数余子式的符号弄反

交换两行忘了变号

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

$∣ k A ∣$ 写成 $k ∣ A ∣$