行列式的概念与性质

先介绍两个名词。由 $1,2,\dots ,n$ 组成的一个有序数组 $j_1{j}_2\cdots j_n$ 称为一个 $n$ 级排列，这样的排列共有 $n!$ 个。在一个排列中，如果一对数中的大数排在小数之前，就说这一对数构成一个逆序；逆序的总个数记作 $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$，称为这个排列的逆序数。$\tau$ 为偶数的排列称为偶排列，为奇数的排列称为奇排列。

① 行列式的定义（$n!$ 项求和式）. $n$ 阶行列式是一个数：
$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n},$$
式中的和跑遍 $1,2,\dots ,n$ 的全部 $n!$ 个排列。每一项都是取自不同行、不同列的 $n$ 个元素之积；行标依次排定为 $1,2,\dots ,n$ 后，列标构成一个排列，该项的符号由这个排列的奇偶性决定。用定义可以验证：$n=2$ 时共两项，得 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$；$n=3$ 时共六项，恰好就是对角线法则。但必须注意，当 $n\ge 4$ 时并没有对角线法则：这时共有 $4!=24$ 项，而画对角线只能凑出其中的 $8$ 项，误用对角线法则是常见的错误。高阶行列式要靠性质化简与展开定理来计算（见 §9.2）。

② 六条基本性质（下面按行叙述，对列同样成立）：
性质 1（转置不变） $|A^{\mathrm{T}}|=|A|$，即行与列的地位完全平等；
性质 2（对换变号） 互换两行，行列式变号。其根据在于对换一定改变排列的奇偶性，参看本页相应的一条；
性质 3（数乘提出） 某一行的所有元素同乘 $k$，行列式变为 $k|A|$，也就是说某一行的公因子可以整体提到行列式之外。由此得推论 $|kA|=k^n|A|$，因为 $n$ 行要各提出一个 $k$，它并不等于 $k|A|$；
性质 4（单行可拆） 如果某一行的每个元素都是两数之和，那么这个行列式可以拆成两个行列式之和，其余各行不变；必须注意，一次只能拆一行；
性质 5（重复归零） 两行相同 $\Rightarrow |A|=0$；两行成比例 $\Rightarrow |A|=0$；含有全零行 $\Rightarrow |A|=0$；
性质 6（倍加不变） 把某一行的 $k$ 倍加到另一行上，行列式的值不变。把行列式化为三角形这一主要算法，其合法性即来源于此。

此外还应记住一条：上、下三角行列式与对角行列式都等于主对角线元素之积。必须注意：$|A+B|\ne |A|+|B|$。性质 4 只允许拆开一行，行列式对于矩阵的加法并不满足可加性。

在行列式的定义 $D=\sum (-1{)}^{\tau (j_1\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{n{j}_n}$ 中，各项的符号完全由排列的逆序数 $\tau$ 的奇偶性决定。性质 2 中互换两行（列）行列式变号这一结论，看上去像是一种规定，其实它是可以证明的事实：每作一次对换，排列的奇偶性必然改变。明白了这一点，才能真正理解行列式为什么是反对称的，以及两行相同时为什么一定为零：把相同的两行互换以后，行列式既等于它自己，又等于它自己的相反数，故只能是 $0$。后面奇排列与偶排列各占一半、$A{A}^{\ast }=|A|E$ 中异行展开等于零等结论，也都以此为根据。

把行列式看成 $n$ 个行向量的函数 $D({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$，它有三条本质的性质：(i) 对每一行是线性的，即固定其余各行时，$D$ 关于该行满足 $D(\dots ,k\alpha +l\beta ,\dots )=kD(\dots ,\alpha ,\dots )+lD(\dots ,\beta ,\dots )$；(ii) 反对称，即互换两行变号，它与两行相同时行列式为零是等价的；(iii) 规范性，即 $D(e_1,\dots ,e_n)=|E|=1$。性质 3（提公因子）与性质 4（按行拆分）合起来就是 (i)，性质 2 与性质 6 是 (ii) 的直接推论。反过来还可以证明，满足这三条的函数只有行列式一个。由此可见，行列式是唯一的规范化交错多重线性函数。考试中有大量这样的题目：已知若干列向量所构成的行列式，求由它们的线性组合构成的行列式，所依据的就是 (i) 与 (ii)。

$|AB|=|A||B|$ 是行列式最重要的整体公式，由它可以推出一系列结论：$|A^k|=|A{|}^k$；当 $A$ 可逆时 $|A^{-1}|=1/|A|$，这由 $|A||A^{-1}|=|E|=1$ 即得；相似矩阵 $B=P^{-1}AP$ 满足 $|B|=|A|$，即行列式是相似不变量；正交矩阵有 $|Q|=\pm 1$，这由 $Q^{\mathrm{T}}Q=E$ 两端取行列式即得。必须注意，这个公式只对同阶方阵成立，而且一般说来 $|A+B|\ne |A|+|B|$。下面给出一个不依赖初等矩阵、只用行列式性质的证明，它的推理十分清楚，值得掌握。

把方阵 $A$ 的各列看成 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量，则 $|A|$ 就是这些向量所张成的平行多面体的有向体积；如果把 $A$ 看成线性变换，那么 $|A|$ 就是它使体积放大的倍数，并且带有定向。有了这一几何解释，许多代数结论就变得直观了：$|A|=0$ 表示这个变换把空间压缩到了更低的维数，它与列向量线性相关、$A$ 不可逆、$Ax=0$ 有非零解都是等价的；$|AB|=|A||B|$ 说明两次变换的体积倍数相乘；互换两列变号则对应于定向的改变。判断矩阵是否可逆、向量组是否线性相关、方程组是否有非零解，实质上都是在考察这个有向体积是否为零。

由性质 4，行列式只能在某一行（列）上拆开，而整体的 $|A+B|$ 与 $|A|+|B|$ 之间没有任何关系。在抽象矩阵的题目中求 $|A|$，正确的办法不是拆开加法，而是对已知的矩阵等式两端同取行列式，把矩阵之间的关系化为数之间的关系，再解方程。常用的公式有 $|AB|=|A||B|$、$|kA|=k^n|A|$、$|A^{\mathrm{T}}|=|A|$、$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。这是把抽象问题化为可以计算的问题的关键。